Analyse mathématique

Qui dit épidémiologie dit épidémie, l’une des questions fondamentales des épidémiologistes à la première observation est de savoir s’il y a ou aura épidémie ou pas. Les mathématiciens et informaticiens dans leurs analyses prédictives ont entre autres pour mission d’y apporter des réponses. Des nombreuses modélisations présentées au Chapitre 2, les modèles à équations apparaissent comme étant les plus appropriés pour répondre à la question par une analyse mathématique du phénomène observé. En situation d’épidémie, le nombre de nouveaux malades (Infectés, Infectieux) augmente.L’analyse d’un système nous renseigne sur l’évolution de la maladie. Elle permet notamment de savoir si au bout d’un certain temps, la maladie sera contenue, le nombre de nouveaux malades se stabilisera autour d’un point d’équilibre ou alors si la maladie se répandra et donc si la population saine tendra à disparaître au profit d’une population quasi-totalement envahie par la maladie. Ce Chapitre est consacré à l’analyse mathématique des systèmes que nous avons présentés au Chapitre précédent. L’approche de modélisation incluant les facteurs climatiques tout au long du processus d’évolution des moustiques nous semblant la plus réaliste, nous nous focaliserons dans cette partie sur l’analyse des systèmes correspondants, précisé- ment sur le système (3.11) (l’analyse des systèmes (3.10) et (3.12) se faisant de manière analogue) qui représente le modèle méta-population de type SEIRS (respectivement SEIR et SEIS). Il s’agit donc pour nous d’étudier la dynamique de notre système et de voir si au bout d’un certain temps elle diverge ou converge vers un point d’équilibre, ce dernier étant défini comme un point qui annule la dynamique du système. Considérons par exemple un système différentiel de type u Nous nous proposons dans ce chapitre d’étudier la stabilité de nos modèles. Étudier la stabilité d’un système revient à déterminer les conditions dans lesquelles le système reste dans un état d’équilibre ou oscille autour de cet état. Deux cas sont généralement considérés : l’équilibre sans maladie et l’équilibre endémique.

Le système(3.11) présente une mortalité des moustiques V = ln(pi(T; RH)) dépendante de la température T et l’humidité relative RH. Il est important d’observer l’évolution de cette mortalité en fonction des variations de température et d’humidité relative. Le tableau 4.1 présente les moyennes des températures minimales mensuelles et des humidités relatives mensuelles. Nous précisons que les moustiques étant généralement actifs la nuit, la température à ce moment là est généralement minimale. La Figure 4.1 montre que dans la ville de Yaoundé, plus la température s’élève dans la nuit, plus la probabilité de survie des moustiques augmente, cela bien entendu dans les limites de l’intervalle déffinissant la température nocturne dans cette ville. La Figure 4.2 montre que la probabilité de survie des moustiques dans la ville de Yaoundé est faible lorsque la température minimale de nuit et l’humidité relative sont toutes les deux basses. Par contre, cette probabilité augmente lorsque la température minimale de la nuit et l’humidité s’élèvent. La Figure 4.3 montre que dans la ville de Yaoundé, le taux de mortalité est faible lorsque la température de nuit et l’humidité relative sont toutes les deux élevées. Par contre, cette mortalité augmente lorsque la température minimale de nuit et l’humidité relative sont toutes les deux basses. Le taux de mortalité des moustiques tel que nous venons de voir est fonction de la température et de l’humidité relative.

Ces facteurs climatiques sont dépendants du temps, donc variables et ne doivent être utilisés en l’état pour l’analyse mathématique de nos modèles. Ainsi, nous proposons pour l’étude d’équilibre de systèmes, de trouver des expressions analytiques pour la température et l’humidité relative en fonction du temps. Il est question ici pour nous de trouver une expression analytique qui ajuste la température minimale dans la ville de Yaoundé. La Figure 4.4 présente une représentation en escalier des températures minimales mensuelles de la ville de Yaoundé sur 24 mois. La Figure 4.5 présente le résultat d’un calibrage des températures minimales mensuelles pour la ville de Yaoundé effectué avec l’équation 4.1, en utilisant la fonction cf tool de Matlab. Avec cette équation, nous avons comme résultat à 95% de degré de confiance : Il est question ici pour nous de trouver une expression analytique qui ajuste la température minimale dans la ville de Yaoundé. La Figure 4.6 présente une représentation en escalier des humidités mensuelles de la ville de Yaoundé sur 24 mois. Afin de prouver que la population des humains de chaque patch est bornée, nous choisissons de montrer que la population totale des humains de tous les patches est bornée. On a : Nous pouvons observer à la Figure 4.9 que la population totale des humains dans la ville de Yaoundé, après un certain, tend à se stabiliser à environ 6 050 000. A la Figure 4.10, nous constatons que la population totale des moustiques dans la ville de Yaoundé se stabilise quant à elle, après un certain temps aux environs de 185 000.