Rotation d’un carré de liquide

Ce premier test nous permet de vérifier la convection de la masse volumique ρm et de la fraction massique de carburant Yf , qui sert de traceur pour la pseudo-phase f dans le code CAVIF. Il s’agit de la rotation d’un carré, constitué de carburant purement liquide (f = l), à l’intérieur d’un domaine bidimensionnel plan rempli de gaz (g). On résout alors les équations d’Euler (la viscosité n’est pas prise en compte) et on impose un champ de vitesse constant, à la manière de Benkenida [14] ou Truchot [163]. Un domaine carré de L = 2 cm de côté est utilisé et le carré de liquide, de côté L 4 , est initialement centré sur le point de coordonnées xc 2 et zc (figure 4.1), l’exposant c désignant le centre du domaine de calcul. Le champ de ρm est initialisé à une valeur ρ0 m typique d’un gazole liquide, à l’intérieur du carré de liquide. Ailleurs dans le domaine, ρm est initialement fixé à la valeur de la masse volumique de l’air. Le champ initial de Yf vaut 1 à l’intérieur du carré de liquide et 0 en dehors. Ce carré de liquide va subir une rotation solide, puis une rotation avec déformation. Le champ de vitesse appliqué sur le domaine, selon le cas, est représenté sur la figure 4.2.  Fig. 4.1 – Initialisation du champ de densité ρm sur le maillage carré

Rotation solide

Conformément à la figure 4.2, le champ de vitesse imposé pour une rotation solide est de la forme suivante : ⎧ ⎨ ⎩ u = −C (z − zc ) v = 0 w = C (x − xc ) (4.1) où la grandeur C est une constante fixée à 3.103 s−1. Le carré de liquide réalise donc un tour du domaine de calcul en un temps trot = 2π C . La norme de la vitesse maximale dans le domaine vaut Umax = 42, 4 m/s (dans les quatre coins du maillage) et on fixe le CFL à 1. Les résultats de cette rotation solide sont regroupés sur la figure 4.4, pour une discrétisation spatiale de 40 × 40 mailles. La sensibilité à la finesse du maillage est testée sur ce cas, en utilisant différentes grilles régulières : – 20 × 20 mailles, soit Δx = 1 mm. – 40 × 40 mailles, soit Δx = 0, 5 mm. – 80 × 80 mailles, soit Δx = 0, 25 mm. La figure 4.3 compare le profil de masse volumique ρm initial avec le profil obtenu après un tour de rotation, pour chacun de ces maillages. Modélisation de l’écoulement polyphasique à l’intérieur et en sortie des injecteurs Diesel 4.1 Rotation d’un carré de liquide 115 0 0.5 1 1.5 2 -1 -0.5 0 0.5 1 Rotation solide Rotation avec déformation X ou Z [cm] U/Umax prof Fig. 4.2 – Profil de vitesse (Umax prof est la norme de la vitesse maximale sur le profil considéré), selon la direction X ou Z, passant par le centre du domaine (point de coordonnées xc et zc ) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Profil initial Δx = 1,00 mm Δx = 0,50 mm Δx = 0,25 mm Z [cm] ρ m/ρ0 m Fig. 4.3 – Sensibilité au maillage de la convection du liquide : profils de masse volumique ρm, selon la direction Z, passant par le centre du carré de liquide (point de coordonnées xc 2 et zc), en début et fin de simulation J.B. Moreau, Thèse de Doctorat, INP Toulouse, 2005 116 Chapitre 4 : Validations t = 0 s t = 0, 19.10−3 s t = 0, 38.10−3 s t = 0, 57.10−3 s t = 0, 76.10−3 s t = 0, 95.10−3 s t = 1, 14.10−3 s t = 1, 33.10−3 s t = 1, 52.10−3 s t = 1, 71.10−3 s t = 1, 90.10−3 s t = 2, 09.10−3 s Fig. 4.4 – Rotation solide, dans le sens trigonométrique, d’un carré de liquide : champ de ρm (les iso-lignes correspondent aux valeurs : 0,3 ρ0 m – 0,5 ρ0 m – 0,7 ρ0 m) Modélisation de l’écoulement polyphasique à l’intérieur et en sortie des injecteurs Diesel 4.1 Rotation d’un carré de liquide 117 4.1.2 Rotation avec déformation Afin d’avoir une rotation avec compression et étirement, on utilise le champ de vitesse suivant (figure 4.2) : ⎧ ⎪⎪⎨ ⎪⎪⎩ u = C sin πx L  cos πz L  v = 0 w = −C cos πx L  sin πz L  (4.2) avec C une constante fixée à 10 m/s. Quand le carré de liquide a réalisé un tour complet du domaine de calcul (trot = √2πxc C ), le champ de vitesse est inversé et on poursuit la simulation pendant une seconde période trot afin que le carré de liquide retrouve sa position d’origine. Le maximum de vitesse dans le domaine vaut Umax = 10 m/s et le CFL est fixé à 1. La figure 4.5 représente les résultats de la rotation avec déformation. L’étude sur la sensibilité à la finesse du maillage est menée comme précédemment et la figure 4.6 regroupe les résultats des profils obtenus après un tour dans le sens trigonométrique et un autre dans le sens horaire. Après une période de convection (trot pour la rotation solide, 2 trot pour la rotation avec déformation), les champs sont théoriquement identiques aux champs initiaux. On peut alors calculer la norme L2 de l’erreur relative EL2 , comme au paragraphe 3.3.3. La figure 4.7 permet de vérifier que l’ordre du schéma numérique de la version modifiée du code CAVIF est compris entre 1 et 2 en espace.