STABILITE DES SYSTEMES NON-LINEAIRES COMMUTES

 Description des systèmes dynamiques non-linéaires

 Les systèmes dynamiques sont d’une grande importance pour de nombreuses applications dans des domaines tels que l’économie, la biologie, la sociologie, les télécommunications, etc. Il existe plusieurs variétés de systèmes dynamiques parmi lesquelles, nous pouvons distinguer des systèmes non-linéaires. Dans cette section, nous présentons les outils d’analyse de la stabilité des systèmes dynamiques non-linéaires. Formellement les systèmes dynamiques non-linéaires considérés dans ce document sont représentés par l’équation différentielle en dimension finie définie par x˙ = f(t, x) (2.1) où t ∈ R≥0 représente le temps, x ∈ R n est l’état du système et f : R≥0 × R n → R n est une fonction localement Lipschitz en x et satisfaisant les conditions de Carathéodory. Pour être précis, une fonction f : R≥0 × R n → R n est dit satisfaire les conditions de Caracthéodory si f(t, x) est mesurable pour chaque x ∈ R n fixé, f(t, .) est continue pour tout t ∈ R≥0 fixé et, pour tout compact U de R≥0 × R n , il existe une fonction intégrable mU : R≥0 → R≥0 telle que |f(t, x)| ≤ mU (t) pour tout (t, x) ∈ U. Une fonction f : R n → R n est dit localement Lipschitz si, pour tout U de R n , il existe une constante non-négative kU telle que |f(x) − f(y)| ≤ kU |x − y| pour tout (x, y) ∈ U 2 . L’existence et l’unicité de la solution de l’équation différentielle (2.1) découle de la conjonction de ces deux propriétés. La représentation mathématique du système dynamique non-linéaire (2.1) dépend explicitement du temps. Cette représentation permet de prendre en compte les systèmes dynamiques non-linéaires à entrées exogènes. 

Notion de stabilité à l’origine d’un système dynamique

 Définitions et préliminaires

 La stabilité des systèmes dynamiques reste une question fondamentale en théorie du contrôle. Elle intervient et joue un rôle important en mécanique générale, dans la stabilité des modèles économétriques, les systèmes électriques, les systèmes biologiques et beaucoup d’autres domaines. Pour illustrer notre propos, considérons un pendule dont une extrémité est fixée sur un mur et sur sa seconde extrémité est fixée une bille. Puis perturbons-la, nous constatons que le pendule oscille autour de la verticale. Les positions verticales correspondent à des points d’équilibres. Au bout d’un certain temps le système perturbé oscille et converge vers la position d’équilibre située en bas. Voir la figure ci-dessous [38]. Figure 2.1 – Pendule en oscillation La stabilité d’un point d’équilibre d’un système dynamique est sa capacité à évoluer autour d’une position d’équilibre lorsqu’il subit une petite perturbation. Lorsqu’un point d’équilibre est stable que les solutions convergent vers lui pour un déplacement initial suffisamment petit, on parle de stabilité asymptotique. En outre, si un point d’équilibre est stable et attire vers lui toutes les solutions du système, il sera appelé stable globalement asymptotiquement. Voir la figure ci-dessous pour les différents types de stabilités . Figure 2.2 – Types de stabilités Dans ce document, nous traitons de la stabilité au sens de Lyapunov de l’origine des systèmes dynamiques (2.1). Définition 1 (Stabilité). L’équilibre x = 0 du système dynamique non-linéaire (2.1) est dit stable si ∀ > 0, ∀t0 ≥ 0, ∃η = η (, t0) > 0 tel que |x0| ≤ η =⇒ |x(t, t0, x0)| ≤ , ∀t ≥ t0. Cette définition peut être trouvée dans [38]. En d’autre termes, pour tout t ≥ t0, une perturbation de la condition initiale x0 autour de l’origine génère une solution x(t, t0, x0) qui est reste proche de l’origine. L’attractivité de l’origine est une notion fondamentale pour analyser la stabilité d’un système dynamique. On définit alors la notion d’attractivité. Définition 2 (Attractivité). L’équilibre x = 0 du système dynamique non-linéaire (2.1) est dit attractif (localement) si il existe un voisinage D de l’origine tel que pour tout x0 ∈ D on ait : lim t→+∞ x(t, t0, x0) = 0. Cette définition peut être trouvée dans [38]. Si D = R, l’équilibre x = 0 du système (2.1) est dit globalement attractif. L’attractivité permet d’étudier la convergence des solutions du système dynamique (2.1) vers l’origine. Le stabilité asymptotique d’un système dynamique non-linéaire (2.1) regroupe la notion de stabilité et d’attractivité. 25 26 Définitions et préliminaires Définition 3 (AS/GAS). L’équilibre x = 0 du système dynamique non-linéaire (2.1) est dit asymptotiquement stable s’il est à la fois stable et attractif. L’origine du système (2.1) est dit globalement asymptotiquement stable s’il est à la fois stable et globalement attractif. Cette définition peut être trouvée dans [38]. Définition 4 (Stabilité uniforme). L’équilibre x = 0 du système dynamique nonlinéaire (2.1) est dit uniformément stable si ∀ > 0, ∃η = η() > 0 tel que ∀t0 ≥ 0, pour |x0| ≤ η =⇒ |x(t, t0, x0)| ≤ , ∀t ≥ t0. Cette définition peut être trouvée dans [38]. Définition 5 (Attractivité uniforme). L’équilibre x = 0 du système dynamique nonlinéaire (2.1) est dit uniformément attractif s’il existe r > 0 tel que toute solution x(t, t0, x0) de (2.1) satisfait ∀ |x0| ≤ r, ∀ > 0, ∃T = T(, r) > 0 tel que ∀t0 ≥ 0, |x(t, t0, x0)| ≤  ∀t ≥ T + t0. Cette définition peut être trouvée dans [38]. Définition 6 (Attractivité globale uniforme). L’équilibre x = 0 du système dynamique non-linéaire (2.1) est dit uniformément globalement attractif si pour tout r > 0, toute solution x(t, t0, x0) de (2.1) satisfait ∀ > 0, ∃T = T(, r) > 0 tel que ∀t0 ≥ 0, |x(t, t0, x0)| ≤  ∀t ≥ T + t0. Cette définition peut être trouvée dans [38]. La stabilité uniforme asymptotique d’un système dynamique non-linéaire regroupe la notion de stabilité uniforme et d’attractivité uniforme. Définition 7 (UAS/UGAS). L’équilibre x = 0 du système dynamique non-linéaire (2.1) est dit uniformément asymptotiquement stable s’il est uniformément stable et uniformément attractif. L’origine du système dynamique non-linéaire (2.1) est dite uniformément globalement asymptotiquement stable s’il est uniformément stable et uniformément globalement attractif. 26 27 Définitions et préliminaires Cette définition peut être trouvée dans [38]. La stabilité asymptotique, la stabilité uniforme globale asymptotique et la stabilité uniforme asymptotique du système dynamique non-linéaire (2.1) peuvent être caractérisées en terme de fonctions de comparaisons. Les fonctions de comparaisons sont des fonctions appelées fonctions de classe K et de classe KL [30]. Les différentes propositions citées dans cette section sont détaillées et prouvées dans [30][71] [38]. Proposition 1 (K-caractérisation de US). L’équilibre x = 0 du système dynamique non-linéaire (2.1) est uniformément stable si et seulement si il existe une fonction γ ∈ K et une constante r > 0 indépendante du temps initial t0 telle que pour tout t ≥ t0 ≥ 0, pour toute condition initiale donnée x0 ∈ R n vérifiant |x0| ≤ r, toute solution satisfait |x(t, t0, x0)| ≤ γ(|x0|). La preuve de cette proposition peut être trouvée dans [38]. Proposition 2 (K-caractérisation de UGS). L’équilibre x = 0 du système dynamique non-linéaire (2.1) est uniformément globalement stable si et seulement si il existe une fonction γ ∈ K telle que pour tout t ≥ t0 ≥ 0, pour toute condition initiale x0 ∈ R n donnée, toute solution satisfait |x(t, t0, x0)| ≤ γ(|x0|). La preuve de cette proposition peut être trouvée dans [38]. Proposition 3 (KL-caractérisation de UAS). L’équilibre x = 0 du système dynamique non-linéaire (2.1) est uniformément asymptotiquement stable si et seulement si il existe une fonction β ∈ KL et une constante r > 0 indépendante du temps initial t0 telle que pour tout t ≥ t0 > 0, pour toute condition initiale |x0| ≤ r, toute solution satisfait |x(t, t0, x0)| ≤ β(|x0| , t − t0). La preuve de cette proposition peut être trouvée dans [38]. 27 Caractérisation de Lyapunov de la stabilité à l’origine d’un système dynamique Proposition 4 (KL-caractérisation de UGAS). L’équilibre x = 0 du système dynamique (2.1) est uniformément asymptotiquement stable si et seulement si il existe une fonction β ∈ KL telle que pour tout t ≥ t0 > 0, pour toute condition initiale x0 ∈ R n donnée, toute solution satisfait |x(t, t0, x0)| ≤ β(|x0| , t − t0). La preuve de cette proposition peut être trouvée dans [38]. Proposition 5 (KL-caractérisation de UES). L’équilibre x = 0 du système dynamique non-linéaire (2.1) est uniformément exponentiellement stable si et seulement si il existe k1, k2, r > 0 indépendante du temps initial t0 telle que pour tout t ≥ t0 > 0, pour toute condition initiale |x0| ≤ r, toute solution satisfait |x(t, t0, x0)| ≤ k1 |x0| e −k2(t−t0) . La preuve de cette proposition peut être trouvée dans [38]. Proposition 6 (KL-caractérisation de UGES). L’équilibre x = 0 du système dynamique non-linéaire (2.1) est uniformément globalement exponentiellement stable si et seulement si il existe k1, k2 > 0 telle que pour tout t ≥ t0 > 0, pour toute condition initiale |x0| ≤ r, toute solution satisfait |x(t, t0, x0)| ≤ k1 |x0| e −k2(t−t0) . La preuve de cette proposition peut être trouvée dans [38]. 

Caractérisation de Lyapunov de la stabilité à l’origine d’un système dynamique

 L’existence d’une fonction de Lyapunov est un outil central dans l’analyse de la stabilité des systèmes dynamiques non-linéaires. Les propriétés de stabilité décrites ci-dessus peuvent être exprimées en termes de fonctions de Lyapunov. Dans cette section, nous rappelons la caractérisation de la stabilité globale asymptotique et uniforme en termes 28 29 Exemple numérique de fonction de Lyapunov. La méthode d’analyse de la stabilité en termes de fonction de Lyapunov a été introduite dans la littérature en 1892 par Alexandre Mikhaïlovitch Lypunov. Cette méthode se base sur l’étude du comportement d’une fonction définie positive le long des trajectoires du système dynamique non-linéaire considéré. Définition 8 (Fonction de Lyapunov candidate). La fonction V : R n × R≥0 → R≥0 est une fonction de Lyapunov candidate si et seulement si elle est continument différentiable et il existe α, α ∈ K∞ telles que α (|x|) ≤ V (x, t) ≤ α (|x|) (2.2) Cette définition implique notamment que V est définie positive en x et qu’elle est radialement non-bornée, uniformément en t. La caractérisation en terme de fonction de Lyapunov pour analyser la stabilité globale asymptotique uniforme de l’origine est énoncée dans le théorème ci-dessous. 

Théorème 1. 

L’origine du système dynamique non-linéaire (2.1) est uniformément globalement asymptotiquement stable si et seulement si il existe une fonction de Lyapunov candidate V et une fonction α de classe K , telles que pour tout x ∈ R n et t ≥ 0, on ait : ∂V ∂x (x, t)f(t, x) ≤ −α (|x|). (2.3) La preuve de ce théorème peut être trouvée dans [29][38][68]. La condition (2.3) impose que la dérivée de la fonction de Lyapunov V le long des trajectoires du système dynamique non-linéaire (2.1) est négative, sauf à l’origine. 

 Exemple numérique d’analyse de la stabilité à l’origine

 Dans cette section, nous illustrons par un exemple le Théorème 1 en analysant la stabilité globale asymptotique uniforme du système dynamique non-linéaire défini cidessous. Exemple 1. Considérons le système dynamique scalaire non-linéaire défini par x˙ = − arctan x + x 2 29 30 Notions de stabilité entrée-état Posons f(x) = − arctan x+ x 2 , nous remarquons que f(0) = 0 donc l’origine est un point d’équilibre du système x˙ = − arctan x + x 2 . Analysons la stabilité uniforme de l’origine du système dynamique non-linéaire considéré. Prenons comme fonction de Lyapunov candidate la fonction définie par V (x) = x 2 2 . La condition 2.2 est trivialement satisfaite avec α(s) = α(s) = s 2 2 , ∀s ≥ 0. Évaluons ∂V ∂x (x, t)f(t, x), nous obtenons : ∂V ∂x (x, t)f(t, x) = xx˙ = x  − arctan x + x 2  = −  » x arctan x − x 2 2 # . Nous remarquons que pour tout x ∈ [−1, 1], la fonction ∂V ∂x (x, t)f(t, x) ≤ 0. Nous en déduisons que le système x˙ = − arctan x+ x 2 est uniformément asymptotiquement stable sur l’intervalle [−1, 1]. La stabilité obtenue dans cet exemple est appelée la stabilité asymptotique locale uniforme puisque la stabilité asymptotique uniforme de l’origine se passe sur l’intervalle [−1, 1] , et non dans R. 2.3 Notions de stabilité entrée-état Les notions de stabilité que nous venons de développer sont des caractéristiques intrinsèques aux systèmes dynamiques sans entrées. Rappelons, la plupart des systèmes dynamiques sont définis avec des entrées exogènes pouvant représenter une perturbation, une erreur de modélisation, une incertitude paramétrique, une erreur de mesure, etc. La classe des systèmes dynamiques non-linéaires considérée dans cette section sont à entrées exogènes. Formellement, les systèmes dynamiques non-linéaires à entrées exogènes sont mathématiquement représentés par l’équation différentielle en dimension finie x˙ = f(x, u) (2.4) où x ∈ R n et u ∈ Um représente l’entrée exogène et une fonction f : R n × R m → R n localement Lipschitz. 30 31 Notions de stabilité entrée-état L’analyse de la robustesse des systèmes dynamiques non-linéaires 2.4 est celui proposé par la stabilité entrée-état (ISS). La stabilité entrée état a été introduite en théorie du contrôle en 1989 par Eduardo Sontag dans [58] (voir [59] [61] pour plus de détails). La propriété d’ISS impose qu’à tout instant la norme de la solution du système dynamique non-linéaire à entrée soit bornée par la somme d’une fonction proportionnelle à la norme de l’état initial et tendant vers zéro et d’une quantité de l’amplitude de l’entrée exogène. Définition 9 (ISS). Le système dynamique non-linéaire (2.4) est dit stable entrée-état s’il existe une fonction β de classe KL et une fonction γ ∈ K∞ telles que, pour tout x0 ∈ R n , pour tout u ∈ Um, sa solution satisfait |x(t; x0, u)| ≤ β(|x0| , t) + γ(ku[0,t]k), ∀t ≥ 0. Cette définition peut être trouvée dans [58]. Pour u = 0, nous retrouvons la caractérisation de la stabilité globale asymptotique uniforme en termes de fonction de comparaison énoncée à la Proposition 2.2.1. Ainsi, si le système dynamique (2.4) est ISS alors il est 0 − GAS. Rappelons qu’un système dynamique non-linéaire (2.4) est dit 0 − GAS si l’origine du système x˙ = f(x, 0) est globalement asymptotiquement stable. La stabilité entrée-état admet d’autres propriétés de robustesses pour des applications de commande. D’une part, pour toute entrée tendant vers zéro appliquée au système dynamique (2.4), l’état lui aussi tend vers zéro (CICS). D’autre part, pour toute entrée bornée appliquée au système dynamique (2.4), l’état est borné (BIBS). Les travaux sur l’ISS ont connu un succès dans des domaines comme la commande sous contraintes de communication [43][46][47][55], la stabilisation par retour de sortie [51], la commande optimale [39], l’étude des systèmes hybrides ou à commutations [9][72], la commande prédictive [40], la robotique [2][45], la production manufacturière [18], les transports [26][66], les réseaux de neurones [53], les systèmes chaotiques [1], les réseaux bio-chimiques [16], ou encore les neurosciences [24], etc. Toutefois, la propriété de BIBS est connu être très contraignante dans la pratique [61]. Cela motive l’introduction de la stabilité entrée-état intégrale (iISS), introduite 31 32 Notions de stabilité entrée-état dans [60]. La stabilité entrée-état intégrale est une variante de l’ISS qui évalue l’impact de l’énergie du signal appliqué (plutôt que son amplitude) sur le système dynamique. Définition 10 (iISS). Le système dynamique non-linéaire (2.4) est dit stable entréeétat intégral s’il existe une fonction β ∈ KL et des fonctions γ, µ ∈ K∞ telles que, pour tout x0 ∈ R n , tout u ∈ Um, toute solution satisfait |x(t; x0, u)| ≤ β(|x0| , t) + µ Z t 0 γ(|u(s)|)ds , ∀t ≥ 0. Cette définition peut être trouvée dans [60]. La stabilité entrée-état intégrale d’un système dynamique non-linéaire garantit la 0−GAS de ce dernier. L’iISS assure l’existence des solutions du système dynamique non-linéaire (2.4) à tout instant. Cette propriété sera déterminante dans l’établissement du principal résultat de ce document. La propriété de CICS n’est pas en général vérifiée pour un système dynamique non-linéaire stable entrée-état intégral. Pour l’iISS lorsque la quantité Z t 0 γ(|u(s)|)ds est finie, les solutions du système dynamique non-linéaire (2.4) convergent vers l’origine. Plus précisément, l’iISS garantit l’implication suivante, pour tout x ∈ R n : Z +∞ 0 γ(|u(s)|)ds < +∞ ⇒ lim t→+∞ x(t, x0, u) = 0. Les détails de cette propriété de robustesse sont établis dans [60]. L’iISS ne garantit en rien la robustesse vis-à-vis d’entrées bornées même de faible amplitude. De nombreux systèmes iISS peuvent en effet être déstabilisés par une entrée d’amplitude arbitrairement petite ou par des signaux tendant vers zéro[6][11]. Notons qu’au vu des deux définitions précédentes tout système dynamique ISS est iISS [60]. La stabilité entrée-état intégrale est un outil d’analyse de la stabilité très faible pour certains systèmes dynamiques car ne garantissant pas la robustesse vis-à-vis d’entrées bornées même de faible amplitude. À l’inverse, l’ISS est une propriété pouvant s’avérer contraignante dans certaines applications car elle impose une solution bornée, même lorsque le signal d’entrée est de grande amplitude. Ces raisons motivent l’introduction de la Strong iISS par Chaillet, Angeli et Ito dans [13]. La Strong iISS est un outil 32 33 Caractérisations de l’ISS, l’iISS et la Strong iISS d’analyse de la stabilité qui combine l’iISS et l’ISS vis-à-vis de petites entrées [13]. La Strong iISS des systèmes dynamiques non-linéaires constitue donc un compromis entre les propriétés de robustesses de la stabilité entrée-état et la généralité de la stabilité entrée-état intégrale. Définition 11 (ISS vis-à-vis de petites entrées). Le système dynamique nonlinéaire (2.4) est dit stable entrée-état vis-à-vis de petites entrées s’il existe une constante R > 0, une fonction β ∈ KL et une fonction γ de classe K∞, telles que pour tout x0 ∈ R n et pour tout u ∈ Um ≤R , la solution du système dynamique non-linéaire (2.4) satisfait |x(t, x0, u)| ≤ β(|x0| , t) + γ(kuk) ∀t ≥ 0. Cette définition peut être trouvée dans [13] [54]. La constante R est appelée seuil d’entrée. Notons que lorsque kuk > R nous n’avons aucune information sur la nature, l’existence et la bornitude de la solution du système dynamique défini par (2.4). Nous retrouvons la définition de l 0 ISS lorsque R → ∞. Le critère ISS vis-à-vis de petites entrées est donc moins restrictif que l’ISS simple. En d’autres termes, tout système dynamique non-linéaire (2.4) stable entrée-état est stable entrée-état vis-à-vis de petites entrées. Définition 12 (Strong iISS). Le système dynamique non-linéaire (2.4) est dit Strong iISS, s’il est à la fois iISS et ISS vis-à-vis de petites entrées. Autrement dit, il existe une constante R > 0, une fonction β ∈ KL et deux fonctions γ, µ ∈ K∞ telles que, pour tout x0 ∈ R n et pour tout u ∈ Um, la solution du système dynamique non-linéaire (2.4) satisfait : |x(t, x0, u)| ≤ β(|x0| , t) + µ Z t 0 γ(|u(s)|)ds ∀t ≥ 0, kuk < R ⇒ |x(t, x0, u)| ≤ β(|x0| , t) + γ(kuk) ∀t ≥ 0. Cette définition peut être trouvée dans [13]. Les outils d’analyse de la stabilité des systèmes dynamiques non-linéaires à entrées exogènes possèdent comme les systèmes dynamiques non-linéaires autonomes des caractérisations en termes de fonctions de Lyapunov.