Transport à travers un canal quantique élémentaire
Introduction
La mécanique quantique est indispensable pour décrire les conducteurs électriques : cohésion du réseau cristallin, théorie des bandes, capacité calorifique, etc. Pourtant, à l’échelle macroscopique, une description classique du transport de charge est souvent in fine suffisante. La cause revient aux multiples interactions que subit un porteur de charge avec son environnement (phonons, impuretés magnétiques, les autres charges, etc.) qui brouillent rapidement sa phase quantique. Ce n’est que depuis les années 1980, avec les progrès en nano-fabrication par lithographie électronique et grˆace aux techniques de cryogénie, qu’il est possible d’étudier des conducteurs dans lesquels la cohérence de phase est préservée, en dépit du nombre apparemment rédhibitoire de degrés de liberté de l’environnement. Ces travaux ont mis en évidence des phénomènes nouveaux (courants permanents dans un métal normal [1], charges fractionnaires [2–4], etc.), permis de tester les fondements de la mécanique quantique (interférences à un [5] ou deux [6] électrons, indiscernabilité quantique [7], etc.) et ouvert la voie au développement d’une électronique exploitant de nouvelles fonctionnalités quantiques (Squid, qubits, etc.). Cette thèse expérimentale porte sur le transport électrique lorsque de tels conducteurs cohérents sont assemblés dans un circuit, ainsi que sur le transport quantique de la chaleur. Dans les parties I et II de ce mémoire nous explorerons les lois de l’électricité dans des circuits comportant des conducteurs cohérents distincts. Contrairement aux conducteurs macroscopiques, le transport à travers un conducteur cohérent peut être radicalement affecté par la présence des autres composants du circuit, quand bien même il en serait séparé par des distances supérieures à la longueur de cohérence de phase des électrons. En cause, la granularité du transfert de charge à travers le conducteur cohérent qui résulte en un couplage non-linéaire des quasi-particules électroniques aux modes électromagnétiques du circuit. Les lois classiques de composition des impédances ne sont plus valables et de nouvelles lois quantiques de l’électricité doivent être trouvées. Jusqu’à présent, l’essentiel des travaux a porté sur des circuits incluant un cas particulier de conducteur cohérent : la jonction tunnel . Ce travail de thèse va au-delà en utilisant comme banc d’essai pour les conducteurs cohérents un système 9 10 emblématique de la physique mésoscopique : le contact ponctuel quantique (Qpc). Formé dans du Ga(Al)As, il permet de se placer à l’échelle élémentaire du canal de conduction et d’en moduler les propriétés continˆument par effet de champ. Dans la partie III nous nous intéresserons au transport de chaleur dans les conducteurs cohérents. Non seulement les dispositifs électroniques subissent un échauffement qu’il est crucial de maîtriser, mais les techniques de nano-structuration ouvrent la voie à l’amélioration des propriétés thermiques des conducteurs, par exemple les rendements des dispositifs thermoélectriques [9, 10]. Pourtant, l’étude expérimentale des aspects thermiques des conducteurs cohérents souffre d’un important déficit en comparaison de leurs aspects électriques, notamment en raison de l’extrême difficulté de mesurer des températures et déterminer des courants de chaleur à l’échelle mésoscopique. Grˆace aux performances d’un système de mesure de bruit entièrement développé au Laboratoire de Photonique et de Nanostructures et implémenté pendant ce travail de thèse, nous avons mesuré pour la première fois la conductance thermique d’un unique canal de conduction électronique et montré qu’elle est fondamentalement limitée par la mécanique quantique à une valeur Gth = (π 2k 2 B /3h)T, appelée quantum de conductance thermique. Le reste de ce chapitre a pour but de présenter certaines propriétés générales des conducteurs cohérents et d’introduire plus précisément les trois parties constituant ce mémoire. Pour chacune des parties, un court résumé des résultats obtenus pendant la thèse sera par ailleurs délivré
Le canal de conduction, bloc élémentaire des conducteurs cohérents
Nous présentons ici les propriétés des conducteurs cohérents qui seront importantes par la suite en nous plaçant dans le cadre notoire de l’approche de diffusion , qui décrit un conducteur cohérent directement connecté à une source de tension et en l’absence d’interaction. Figure 1.1 – Conducteur cohérent dans l’approche de diffusion. Un conducteur cohérent est décomposé en canaux de conduction parallèles et indépendants qui sont entièrement caractérisés par leur probabilité de transmission {τn}. A température nulle, les réservoirs in- ` jectent un courant non-bruité – qu’on peut voir comme des paquets d’ondes électroniques parfaitement ordonnés par le principe de Pauli – qui est partitionné si τn < 1. Canal de conduction Dans l’approche de diffusion, un conducteur cohérent est décomposé en un ensemble de guides d’onde unidimensionnels, parallèles et indépendants, appelés canaux de conduction (figure 1.1). Cette discrétisation en canaux est associée au confinement dont les origines microscopiques sont diverses : grilles latérales dans un Qpc [15] ou orbitales électroniques dans une jonction atomique [16] par exemple. Mais, remarquablement, une fois établies les probabilités de transmission {τn} des électrons dans les différents canaux, la plupart des propriétés du transport peuvent être déduites indépendamment du matériau, de la géométrie ou de toute autre considération microscopique sur le conducteur. Témoin le courant moyen qui s’exprime 1 : I = X n In = X n τn e 2 h V . (1.1) Il est égal à la somme des courants In des canaux et dépend, outre la tension V et les constantes fondamentales e et h, uniquement des probabilités de transmission τn. Granularité du transfert de charge L’expression du bruit de partition (bruit en courant à fréquence et température nulles) [14, 17, 18] est très instructive sur la façon 1. Pour simplifier, on a supposé les transmissions τn indépendantes de l’énergie. dont la charge circule dans les conducteurs cohérents [19] : Sp = X n 2eτn(1 − τn) e 2 h V (1.2) Chaque canal produit un bruit sous-poissonien, réduit d’un facteur (1−τn) par rapport à 2eIn. Dans le régime tunnel, o`u les probabilités de transmission sont très petites, τn 1, le bruit poissonien correspond au transport granulaire – c.-à-d. discrétisé – et décorrélé des électrons à travers le conducteur cohérent. A l’opposé, dans un conducteur balistique, τn = 1, le bruit de partition s’annule : les électrons sont ordonnés par le principe de Pauli et la charge s’écoule continˆument, comme dans une résistance macroscopique. Contact ponctuel quantique Au cours de ce travail de thèse, nous avons étudié le transport à l’échelle élémentaire du canal de conduction. Pour cela, nous avons utilisé un système archétypal : le contact ponctuel quantique (Qpc) formé dans du Ga(Al)As. La quantification de la conductance , mettant en évidence la pertinence des canaux de conduction, et l’annulation du bruit de partition furent observés pour la première fois dans un Qpc. Ce système permet de contrôler in situ, au moyen d’une simple tension de grille, le nombre de canaux de conduction et leur probabilité de transmission. Nous avons de plus systématiquement travaillé dans le régime de l’effet Hall quantique entier , o`u la séparation entre les différents canaux est presque parfaite.
Action d’un circuit linéaire sur un conducteur cohérent
L’interaction coulombienne entre les quasi-particules du conducteur cohérent et les modes électromagnétiques du circuit, lesquels sont décrits par une impédance linéaire Z(ω), résulte en une modification du transport de charge à travers le conducteur cohérent. Pendant les deux prochaines sections, nous étudierons ce qu’il advient lorsqu’un conducteur cohérent court 2 est inséré dans un circuit sans être directement connecté à une source de tension. Pour commencer, nous considérons la situation représentée schématiquement sur la figure 1.2, o`u le circuit peut être décrit par une impédance linéaire. Le problème à résoudre est le suivant : connaissant l’impédance Z(ω) et les probabilités de transmission τn qui caractérisent les canaux, quelle est la conductance du circuit ? Simple en apparence, il s’agit en fait d’un problème complexe de physique à N-corps hors d’équilibre qui n’est résolu expérimentalement et théoriquement que dans des cas limites 3 : — dans la limite tunnel τn 1 ; théoriquement [26, 30, 31] car chaque canal peut être traité comme une petite perturbation du circuit ; expérimentalement [32, 33] car la fabrication des jonctions tunnels est extrêmement bien maitrisée et leur petite taille permet des énergies de charge importantes. Les études, d’abord limitées à des jonctions petites et opaques, ont ensuite été étendues à des jonctions de grandes conductance [34] et taille [35], puis au domaine des hautes fréquences [36] et au bruit — dans la limite d’une très faible impédance série Re(Z) RK ≡ h/e2 [39–44], o`u l’impédance est traitée comme une perturbation des canaux. Une partie de ce travail de thèse a consisté à étudier le cas général dans lequel un canal de transmission quelconque, τ∞ ∈ [0, 1], est inséré dans un circuit dont l’impédance prend des valeurs de l’ordre du quantum de résistance RK et o`u l’effet du circuit sur 2. « Court » signifie que le temps de traversée du conducteur cohérent par les électrons est négligeable. En conséquence, les probabilités de transmission τn ne dépendent pas de l’énergie. 3. Dans ce mémoire de thèse nous nous concentrons sur les conducteurs cohérents courts, mais l’effet d’une impédance sur d’autres types de conducteur cohérent a aussi été étudié (par exemple, un niveau résonant ou une impureté Kondo [29]). 14 la conductance peut être fort. Remarquablement, bien qu’un traitement perturbatif ne soit plus possible, il a été montré que ce problème est étroitement lié à la physique des conducteurs unidimensionnels d’électrons en interaction décrite par le modèle de Tomonaga-Luttinger. Dans le formalisme de l’intégrale de chemin, l’action décrivant un conducteur mono-canal placé en série avec une résistance est identique à celle décrivant un liquide de Tomonaga-Luttinger (TLL) interrompu par une impureté locale. Ces liquides ont suscité d’intenses recherches théoriques car l’unidimensionnalité leur confère des propriétés physiques fascinantes (fractionnalisation de la charge , séparation spin-charge ) et autorise un traitement exact des interactions. En contrepartie, leur réalisation expérimentale est particulièrement ardue. Cette analogie bénéficie donc non seulement aux circuits quantiques, en permettant d’importer les nombreux résultats théoriques obtenus pour les TLL, mais aussi aux TLL eux-mêmes en permettant de tester des prédictions jusque-là hors de portée expérimentale. Nous précisons maintenant les mécanismes physiques à l’œuvre, puis nous présenterons succinctement les résultats obtenus au cours de cette thèse. Origine et conséquences du couplage quasiparticule-circuit La conductance du circuit de la figure 1.2 ne peut être déduite directement des lois de Kirchhoff car le transport dans le conducteur cohérent est affecté à basse énergie par le circuit. Ce phénomène trouve son origine dans le fait que la charge circule dans le conducteur cohérent par quanta qui, injectés dans le circuit, en excitent les modes photoniques. En conséquence, le transport est bloqué aux basses tensions et températures o`u l’énergie thermique et celle fournie par le générateur sont insuffisantes pour exciter ces modes. A titre illustratif, considérons une résistance ` R en série avec une petite jonction tunnel opaque (figure 1.3A). Quand un électron traverse la jonction, un quantum de charge e s’étale quasi-instantanément sur ses bords, lesquels forment naturellement un condensateur de capacité C. Le saut tunnel couple donc l’état d’équilibre du condensateur |δQ = 0i, o`u δQ = CV −Q, à l’état excité |δQ = −ei auquel est associé une énergie de charge Ec = e 2/2C (figure 1.3B). Dans la limite R → 0, cet état hors équilibre relaxe infiniment vite et peut être oublié. Le courant électrique est alors proportionnel au nombre d’états au-dessus du niveau de Fermi, lui-même proportionnel à eV . Dans la limité opposée R → ∞, la charge déposée sur le condensateur y reste en revanche très longtemps et l’évènement tunnel ne se produira que si l’énergie à disposition de l’électron est supérieure à l’énergie Ec de l’état excité. En conséquence, à température nulle, le courant est bloqué pour |eV | < Ec et la conductance différentielle de la jonction est la fonction non-linéaire de l’énergie représentée sur la figure 1.3C. On parle de blocage de Coulomb statique. Le saut tunnel excepté, ces processus relèvent de la physique classique. Nous nous intéressons dans cette thèse au cas o`u la résistance série Chapitre 1. Introduction 15 est finie. La charge déposée sur le condensateur s’écoule alors en un temps fini RC, ce qui, d’après le principe d’Heisenberg, résulte en un élargissement ∆E ≈ h/RC du niveau d’énergie |δQ = −e. La courbe de la conductance est lissée par les fluctuations quantiques de la charge du condensateur C et a la forme représentée sur la figure 1.3D. On parle de blocage de Coulomb dynamique ; on peut estimer l’échelle de résistance caractéristique du régime dynamique avec le critère suivant : ∆E ≈ Ec ⇔ R ≈ RK. Comment ce phénomène est-il modifié lorsque la jonction tunnel est remplacée par un canal de transmission quelconque ? Qualitativement, on s’attend à une réduction de l’effet du circuit car la granularité du transfert de charge, qui est à l’origine du couplage aux modes du circuit, disparaît progressivement en augmentant la probabilité de transmission d’un canal. Dans la limite balistique τn = 1, la charge s’écoule continument. Or une variation infinitésimale dq de la charge portée par le condensateur sera bloquée si dq |V | < dq2 2C ⇔ |V | < dq 2C . Dans la limite continue dq → 0, les modes du circuit ne sont donc pas excités et le canal balistique n’est pas affecté par le blocage de Coulomb. Ceci fut d’abord validé dans la limite o`u la résistance série est petite, R RK, et l’effet du circuit sur le conducteur cohérent faible. En accord avec les prédictions [39], l’expérience montra que la réduction relative de la conductance du conducteur cohérent est réduite par rapport au cas tunnel par le même facteur de réduction du bruit de partition comparé au bruit poissonien, le facteur de Fano. 𝛿𝑄 = 0 ℏ𝜔 = 𝐸𝑐 𝛿𝑄 = −𝑒 G(V) 0 e2/2C eV 𝐺∞ 𝛿𝑄 = 0 ℏ𝜔 < 𝐸𝑐 ℎ/𝑅𝐶 h/RC eV G(V) 𝐺∞ 0 V I 𝑅 ℏ𝜔 ≤ 𝑒𝑉 𝑅 ≫ 𝑅𝐾 𝑅 ≈ 𝑅𝐾 V I 𝑅 𝐶 +𝑄 -𝑄 A C D B Figure 1.3 – Jonction tunnel dans un circuit linéaire. (A) Electron traversant une ´ jonction tunnel en série avec une résistance. Le blocage de Coulomb dynamique provient du fait que l’évènement tunnel excite les modes photoniques du circuit, ce qui coˆute de l’énergie. (B) La jonction tunnel est conceptuellement décomposée en un pur élément tunnel en parallèle avec un condensateur C. Ce condensateur et la résistance R forment la partie photonique du circuit, dont l’excitation à la suite d’un évènement tunnel est causée par la variation soudaine Q → Q + e de la charge du condensateur. (C) Dans le cas R RK (blocage de Coulomb statique), l’état |δQ = −e a un long temps de vie et son énergie Ec = e2/2C est bien définie. A` T = 0, la conductance est nulle si |eV | < Ec. (D) Dans le cas R ≈ RK (blocage de Coulomb dynamique), l’état |δQ = −e a un temps de vie fini et est défini avec une incertitude ∆E ≈ h/RC. La courbe de la conductance est lissée par les fluctuations quantiques. 16 Résultats obtenus au cours de cette thèse Nous avons pour la première fois mesuré la réduction de la conductance d’un conducteur cohérent court mono-canal de transmission quelconque, τ∞ ∈ [0, 1], dans le régime o`u l’action du circuit sur le canal est forte. Notre approche expérimentale repose notamment sur la possibilité de court-circuiter in situ l’impédance série. Cela donne directement et séparément accès à la conductance intrinsèque du canal G∞ = τ∞/RK (c.-à-d. lorsqu’il est directement connecté à une source de tension) et à sa conductance réduite G en présence de la résistance série. Le panneau de gauche de la figure 1.4 montre ainsi la réduction relative de la conductance du canal (G − G∞)/G∞ en fonction de sa conductance intrinsèque G∞. L’amplitude relative du blocage – qui atteint presque 100% en régime tunnel avec la résistance la plus élevée – diminue en augmentant la conductance intrinsèque du canal, jusqu’à devenir nulle lorsque le canal est balistique. Remarquablement, nous constatons sur plus d’un ordre de grandeur de la résistance série (figure 1.4, panneau de droite) que la réduction relative de la conductance du canal est, à notre résolution expérimentale, proportionnelle à (1 − RKG). Cette observation non-triviale implique une expression générale de la conductance d’un canal en présence d’une impédance série, laquelle peut être mise sous la forme d’une loi d’échelle universelle reliant la conductance à deux tensions V1,2 et températures T1,2 : G1/(1 − RKG1) G2/(1 − RKG2) = 1 + gt(Z, T1, V1) 1 + gt(Z, T2, V2) , (1.3) o`u G1,2 ≡ G(Z, T1,2, V1,2) et gt(Z, T, V ) est la réduction relative de la conductance d’une jonction tunnel qui serait placée en série de la même impédance Z (gt est donc connue [26]). Cette loi d’échelle empirique, que nous avons directement testée expérimentalement en fonction de la tension, est aussi en très bon accord avec les résultats ultérieurs du groupe de Gleb Finkelstein à Duke University, qui a étudié le même effet sur un système physique très différent : un nanotube de carbone couplé à des électrodes résistives [49, 50]. De plus, l’équation (1.3) reproduit à une très bonne précision, en-deçà de notre résolution expérimentale, voire exactement dans certains cas, les prédictions de l’analogie avec les liquides de Tomonaga-Luttinger dans le régime eV kBT. Par contre, de manière intéressante, les calculs montrent dans le régime opposé, eV kBT, des déviations significatives entre les prédictions de l’analogie et de la loi d’échelle qui pourraient permettre de discriminer entre les deux, mais que nous ne pouvions tester expérimentalement en l’état. Sur la figure 1.5, les prédictions de l’analogie TLL dans le régime eV kBT sont confrontées directement aux données expérimentales mesurées avec une résistance série R = RK/4. L’analogie TLL prédit que la conductance d’un canal de conduction placé en série d’une résistance R est identique à la conductance d’une impureté locale Chapitre 1. Introduction 17 interrompant un liquide de Tomonaga-Luttinger dont le paramètre K, décrivant les interactions entre électrons, est relié à la résistance selon la formule suivante : K = 1 1 + R/RK . (1.4) L’ansatz de Bethe thermodynamique permet de calculer la conductance de l’impureté [51]. Elle obéit à une courbe universelle GK(V /VB), o`u la tension est normalisée par le paramètre VB décrivant la force de l’impureté. Cette courbe est tracée en tirets rouges sur la figure 1.5 avec le paramètre d’interaction K = 0.8. Les données expérimentales obtenues avec la résistance série correspondante R = RK/4 (symboles) sont en accord avec cette courbe sur quatre ordres de grandeur en V /VB et pour quasiment toutes les valeurs de conductance, du régime tunnel jusqu’à transmission unité. Noter que dans le régime sondé expérimentalement, les effets de la coupure capacitive et de la température (non pris en compte par le calcul théorique) sont essentiellement négligeables. En conclusion, nous avons mesuré la réduction de la conductance d’un canal de conduction de transmission quelconque, déduit des données une expression empirique de cette conductance, et démontré expérimentalement l’analogie prédite avec les liquides de Tomonaga-Luttinger.
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