Violation de CP et Modèle Standard

Les opérateurs C, P, et T

Pour comprendre la violation de la symétrie CP, il est nécessaire d’introduire les symétries élémentaires de conjugaison de charge C, de parité P, et de renversement du temps T, ainsi que leurs combinaisons CP et CPT. La conjugaison de charge C s’exprime théoriquement par l’opérateur C qui transforme toutes les charges de U(1)1 en leurs opposées. La charge électrique est inversée par C. Les nombres quantiques additifs tels que le nombre baryonique ou le nombre leptonique sont aussi inversés par C. Cet opérateur n’agit ni sur l’impulsion ni sur le spin puisque ces composantes ne sont pas des charges de U(1). De ce fait, l’hélicité h =~s · ~p/|~p| est conservée sous l’action de la conjugaison de charges. 1Le groupe U(1) est l’ensemble des nombres de module 1. Parmi ces nombres, il y a par exemple la charge électrique, le nombre leptonique, et le nombre baryonique. 3 4 Violation de CP et Modèle Standard Mathématiquement, cet opérateur s’écrit C|ψ(~p, h)i = ηC |ψ(~p, h)i, où C est unitaire, |ψ(~p)i l’état quantique décrivant un système d’impulsion ~p et d’hélicité h, et ηC une valeur propre de C. La symétrie C est conservée par les interactions forte et électromagnétique mais elle est brisée par l’interaction faible. En effet, les neutrinos sont d’hélicité −1, et leurs conjugués par C, les anti-neutrinos, doivent avoir la même hélicité. Or dans la nature, seuls les anti-neutrinos d’hélicité +1 sont observés. Comme les neutrinos interagissent par interaction faible, c’est une preuve que celle-ci ne préserve pas la symétrie C. La parité se traduit par un opérateur de parité P qui transforme un système physique en un système physique de coordonnées spatiales opposées. Cet opérateur transforme l’impulsion ~p en son opposé −~p, mais ne change pas le spin~s des particules, donc l’hélicité est changée en son opposée. Pour un système quantique, la transformation de parité est représentée par P|ψ(~p, h)i = ηP|ψ(−~p, −h)i où P est l’opérateur unitaire correspondant, et ηP la valeur propre de l’opérateur P ou parité intrinsèque du système. Comme P 2 = 1, ηP = ±1. Comme pour la conjugaison de charge, la parité n’est pas conservée par l’interaction faible. En effet, dans les désintégrations β du 60Co [5], la parité n’est pas respectée. Cette expérience réalisée par Wu et al. consiste à placer dans un champ magnétique un atome de Cobalt et à observer la direction d’émission des électrons. Lorsque le champ magnétique est inversé, les électrons partent toujours préférentiellement dans la même direction, contrairement à ce que prédit la symétrie de parité. La symétrie T s’exprime comme l’opérateur de reversement du temps T : t → −t. Elle transforme aussi le spin et l’impulsion en leurs opposés. Par ailleurs, l’état initial d’un système devient son état final sous l’effet de T . Pour un système quantique, T |ψ(~p, h)i = η ∗ T hψ(−~p, h)| où ηT est un facteur de phase dépendant du spin, et T l’opérateur antiunitaire représentant la transformation.

 Le système des mésons neutres

Jusqu’à présent, la violation de la symétrie CP a été présentée dans un contexte général, sans qu’aucun modèle spécifique ne soit mis en œuvre. Il en est de même avec cette section qui est consacrée au système des mésons neutres dont les quarks ne portent pas la même saveur. Il y sera présenté deux processus pouvant briser la symétrie CP : le mélange de saveurs et la désintégration. Cette section traitera de ces deux sujets d’une manière générale, puis se focalisera sur le système des mésons beaux neutres. Dans les deux premières parties, les mésons neutres seront nommés P 0 et leur CP conjugués P0 . Si seules les interactions électromagnétique et forte existaient, les mésons P 0 et P0 auraient la même masse m0 et un temps de vie infini. Comme l’interaction faible ne conserve pas la saveur, les mésons P 0 et P0 se désintègrent. De plus, rien n’empêche les mésons P 0 et P0 de partager des états intermédiaires n, réels ou virtuels, ou de se désintégrer dans le même état final. De ce fait, les mésons P 0 et P0 oscillent en saveur, P 0 → n → P0 , avant de se désintégrer. C’est toute la beauté de ces systèmes particules-antiparticules. 1.2.1 Superposition des états P 0 − P 0 Dans la mesure où les états |P 0 i et |P0i sont stables sous l’interaction forte et l’interaction électromagnétique, ils sont états propres du Hamiltonien correspondant. De ce fait hP 0 |P0i = 0. En prenant en compte l’interaction faible, ils ne sont plus états propres de masse, et ne diagonalisent pas le Hamiltonien total du système. Puisque les mésons neutres sont états propres de l’interaction forte et électromagnétique, mais pas de l’interaction faible, et sachant que les couplages faibles sont beaucoup plus faibles que les couplages électromagnétiques et forts, il est possible de considérer l’interaction faible comme une perturbation dans le Hamiltonien total H = H0 + Hw , 1.2. Le système des mésons neutres 7 où H0 décrit les interactions forte et électromagnétique, et Hw décrit l’interaction faible. Cette perturbation induit les effets de mélanges et de désintégrations. D’une manière générale, le système est couplé à un ensemble d’états finals | fi |ψ(t)i = a(t)|P 0 i + b(t)|P0i + ∑ f c f(t)| fi. Pour calculer l’évolution temporelle d’un tel système, les approximations de Weisskopf-Wigner [14] sont nécessaires : – l’état initial est uniquement la superposition des états P 0 et P0 ; – l’évolution temporelle est décrite par les coefficients a et b ; – l’échelle de temps t est beaucoup plus grande que l’échelle de temps de l’interaction faible. Dans cette approximation, le système s’écrit comme la superposition d’états propres de saveurs, |ψ(t)i = a(t)|P 0 i + b(t)|P0i, où t est le temps propre du système, et il obéit à une équation de Schrödinger effective i ∂ ∂t a(t) b(t) ! = Heff a(t) b(t) ! où Heff est l’opérateur Hamiltonien effectif, donné par Heff = hP 0 |Heff|P 0 i hP 0 |Heff|P0i hP0 |Heff|P 0 i hP0 |Heff|P0i ! = M − i 2 Γ = M11 − i 2 Γ11 M12 − i 2 Γ12 M∗ 12 − i 2 Γ ∗ 12 M22 − i 2 Γ22 ! . Dans cette expression, M et Γ sont des matrices de masse et de désintégration 2 × 2 hermitiennes. Du fait de l’invariance sous CPT, M11 = M22 = m0 ainsi que Γ11 = Γ22 = Γ0, où M0 et Γ0 sont la masse et la largeur de désintégration des états propres de saveur |P 0 i et |P0i. Les éléments des matrices M et Γ sont données, au deuxième ordre en perturbation, par Mij = m0δij + hi|H∆F=2 w |ji + ∑ f Pf  hi|H∆F=1 w | fihf |H∆F=1 w |ji M0 − Ef  , (1.1) Γij = 2π ∑ f hi|H∆F=1 w | fihf |H∆F=1 w |jiδ(M0 − Ef) où H∆F=2 w désigne une transition où la différence de saveur entre l’état initial et l’état final est égale à 2 et Pf est la partie principale de Cauchy2 .