De l’expérience au modèle

 Le système expérimental présenté dans la première partie de ce manuscrit montre qu’un matériau granulaire est sensible à des variations de sa température. Les dilatations engendrées sont en effet capables de déplacer les grains sur une distance de l’ordre de la taille des rugosités de leurs surfaces. On peut aussi raisonner en terme de force pour expliquer la déstabilisation du système suite à une variation de température. Supposons que deux grains de rayon R reposent sur un support plan (Fig. 3.1). A température ambiante ces deux grains sont en contact ponctuel. Lors d’un accroissement de la température, les grains s’interpénètrent et appliquent l’un sur l’autre une force élastique. La zone de contact lors d’un accroissement r du rayon R des billes est approximativement rR. Ainsi la force élastique qu’applique une bille sur sa voisine est de l’ordre de Y rR r R , Y étant le module d’Young du matériau. Pour conduire au déplacement d’une des billes, cette force doit dépasser la force de friction solide µsρR3 g avec ρ la masse volumique des grains utilisés. Ainsi, il y a glissement si : Y × rR × r R ∼ µsρR3 g soit, r R ∼ ( µsρRg Y )  . De l’expérience au modèle 69 On peut estimer le rapport r R en considérant le coecient de dilatation thermique et la variation de température ∆T. On a κ∆T = r R..

Avec ce raisonnement extrêmement simpliste, on trouve qu’une variation de la température des grains de quelques degrés sut à déstabiliser un grain frictionnel. Une vision encore plus schématique de ce raisonnement consiste à remplacer les billes par des blocs solides (Fig. 3.2). L’élasticité du matériau peut être modélisée par un ressort reliant ces deux blocs solides. L’effet de la température sur ce système est prise en compte par une variation linéaire de la longueur à vide du ressort avec la température [32]. Sous l’effet de Figure 3.2  Schéma simplié du système étudié : les billes sont remplacées par des blocs l’application répétée de cycles de température, on s’attend par symétrie à ce que le mouvement du centre de masse de ce système soit nul. Les deux blocs solides vont s’éloigner lors d’une dilatation, puis se rapprocher à nouveau lors de la contraction suivante. Pour créer un mouvement d’ensemble du système (et briser sa symétrie), le substrat doit être incliné par rapport à l’horizontale. On s’attend ainsi à ce que le système se déplace dans le sens de la pente. C’est ce qu’il se passe également pour la colonne de grains : il y a compaction dans le sens de la gravité.

Ce système constitué de 2 blocs solides frictionnels reliés par un ressort dont la longueur à vide dépend de la température et reposant sur un plan incliné possède les ingrédients physiques minimaux du système expérimental 70 Chapitre 3. Un système frictionnel modèle de la colonne de grains chaués cycliquement. En effet, l’élasticité des grains est prise en compte par le ressort reliant les blocs solides, leur dilatation thermique, par la dépendance avec la température de la longueur à vide des ressorts, la friction des grains sur des zones de contact plus petites que leur surface caractéristique ( le carré de leur diamètre) par la friction d’un nombre ni de blocs avec le plan incliné. Enn dans les deux cas, la gravité est le moteur de la compaction. Nous nous intéressons donc dans la suite de ce chapitre à une généralisation de ce modèle à un système constitué de N blocs.

Détails du modèle

Le système d’étude, de masse totale M, est composé de N blocs ponctuels de masse identique m= M N (Fig. 3.3). Ils sont reliés à leurs voisins par des ressorts de masse nulle, de constante de raideur k et de longueur à vide l0 à la température T0. Chacun de ces blocs est soumis aux forces élastiques des 2 ressorts voisins, à son poids mg (g étant l’accélération de la pesanteur) et à la réaction du plan incliné sur lequel ils sont posés. Ce plan incliné fait un angle α avec l’horizontale. 1 2 i N-1 N x α Figure 3.3  Schéma du système étudié 

Modélisation des effets de la dilatation thermique 

Afin de tenir compte de la dilatation thermique des grains, nous supposons que la longueur à vide du ressort l varie linéairement avec la température. Ainsi l(T) = l0[1 + κ(T − T0] où κ représente le coecient de dilatation thermique du matériau considéré et l0 la longueur à vide du ressort à la 3.2. Modélisation des effets de la dilatation thermique 71 température T0. La force élastique induite par le bloc n+1 sur le bloc n à la température T est fn+1→n = −k[xn − xn+1 + l(T)] (3.1) Il est également nécessaire de savoir comment évolue la température du système. Il est intéressant de remarquer que le temps typique d’un réarrangement interne est très petit devant le temps typique des variations de température. En effet, un réarrangement mécanique correspondant à la relaxation de la contrainte élastique appliquée sur un bloc est la phase de glissement d’un mouvement de « stick slip ». Cette phase de glissement est une demi sinusoïde de pulsation ω = √ 2k m , la période propre de l’oscillateur masse ressort de masse m et de constante de raideur 2k.

Le temps dynamique τdyn de ce réarrangement est le temps typique nécessaire à une onde sonore pour se propager entre 2 blocs. τdyn est majoré par le temps de propagation de l’onde sur la longueur du matériau. Autrement dit τdyn < L cs avec cs la vitesse des ondes sonores longitudinales dans le solide considéré. Quant aux variations de température du système, elles ne peuvent pas être plus rapides que le temps caractéristique de la relaxation de la température dans le système. La température de chaque bloc change signicativement si les variations de température du milieu environnant ont une durée typique τth de l’ordre de CvL2 λ , Cv et λ étant respectivement la capacité calorique volumique et la conductivité thermique du matériau. Concrétement, pour un solide de taille L allant du millimètre au centimètre, le temps thermique τth va, en ordre de grandeur, de la fraction de seconde à quelques minutes, alors que le temps de réarrangement interne peut être estimé à τdyn ∼ 10−6 − 10−5 s. On peut donc considérer que la température du système est constante pendant la durée d’un réarrangement mécanique. Cela signie que les échelles temporelles d’évolution de la température τth et de la position des blocs τdyn sont décorrélées. Ainsi, seules les valeurs extrêmes de la température choisies tous les temps thermiques τth importent.

Dans la suite, on choisit 2 types de sollicitations thermiques :  Soit la température oscillera périodiquement avec une période de 2τth provoquant une dilatation oscillant à la même période entre −Aθ et Aθ.  Soit la température sera choisie aléatoirement à chaque temps thermique en suivant une loi de probabilité gaussienne conduisant à une 72 Chapitre 3. Un système frictionnel modèle dilatation aléatoire tirée selon la distribution suivante p(θ) = 1 √ 2πσ2 θ exp(− θ 2 2σ 2 θ ) (3.2) où σθ répresente l’ordre de grandeur typique d’une dilatation thermique. 

Réaction frictionnelle du support

 La force exercée par le plan incliné sur un bloc possède une composante tangentielle et une composante normale au plan de contact. La composante normale compense la composante normale du poids du bloc, mg cos α. La composante tangentielle est donnée par les lois d’Amontons Coulomb, c’est-à-dire :  quand le bloc i est à l’arrêt, il faut que la résultante des forces tangentielles qui s’exercent sur lui ne dépasse pas en valeur absolue le seuil de friction µs,img cos α nécessaire à la mise en mouvement du bloc i. Le coecient de friction statique µs,i caractérise les forces de contact entre le plan incliné et le bloc i.

La condition de vitesse nulle nous permet de savoir que la position du bloc i ne change pas. Nous ne disposons a priori que d’un encadrement de la force de friction. La valeur de la composante horizontale de la réaction du support est donnée par la condition que la somme des forces appliquées au bloc i à l’arrêt est nulle.  quand le bloc i se déplace relativement à son support, la force qui s’oppose à son mouvement caractérise le taux moyen de dissipation d’énergie due au glissement des 2 surfaces en regard. Elle est donnée par fd,i = −µdmg cos αS( ˙xi), où x˙i est la vitesse du bloc i et S désigne la fonction signe [S(u) = 1 si u > 0 et S(u) = −1 si u < 0]. L’expression de cette force permet de déduire la trajectoire du bloc par la résolution de l’équation diérentielle régissant le mouvement. Nous supposerons dans la suite que le coecient de friction statique µs,i caractérisant le contact entre le plan incliné et le bloc i prend à chaque arrêt une nouvelle valeur avec une probabilité donnée par une distribution p(µs). Ceci nous permet de modéliser l’hétérogénéité des propriétés de la surface de contact . En revanche, le coecient de friction µd sera considéré comme constant. En effet, lors de son mouvement, le bloc explore une large surface de contact. Les uctuations occasionnées par les hétérogénéités de surface sont donc moyennées sur la longueur de glissement.

On veillera cependant à choisir, conformément aux observations expérimentales, le coecient de friction statique µs,i plus grand que le coecient de friction statique µd. Concrètement, dans l’étude qui va suivre, nous allons choisir des valeurs de µs suivant une distribution gaussienne p(µs) : p(µs) = 1 √ 2πσ2 µ exp[− (µs − µ¯s) 2 2σ 2 µ ] où µ¯s et σµ sont respectivement la valeur moyenne et l’écart type de la distribution (on s’assurera que σµ << ( ¯µs − µd) pour qu’en pratique µs reste toujours plus grand que µd). Cette distribution standard nous permettra de discuter quantitativement quelques résultats. De plus, on pourra se rendre compte de l’apport de cette variabilité sur les caractéristiques du système en comparant ces résultats avec ceux obtenus pour µs constant.