ALIDATION EN DYNAMIQUE DU CODE ÉLÉMENTS FINIS

INTRODUCTION

Dans ce chapitre, nous allons juger de la fiabilité du code de calcul par éléments finis en dynamique. Cette étape de validation précède le calcul et l’analyse du problème de l’impact d’une plaque multicouche qui fera l’objet du prochain chapitre. Plusieurs démarches de validation sont envisageables: • Une première démarche consisterait à comparer la solution numérique obtenue par ce code à une solution analytique du M4s. • Une deuxième démarche consisterait à comparer cette solution numérique à des résultats expérimentaux. • Une troisième démarche consisterait à imposer la force de contact comme donnée, et à vérifier le calcul par le code de la réponse globale d’une plaque multicouche. • Une quatrième démarche consisterait à vérifier le calcul de la période de vibration d’une plaque isotrope; • Dans une cinquième démarche enfin, nous pouvons calculer la réponse globale d’une plaque isotrope avec la force de contact comme inconnue. La première démarche serait sans doute la plus pertinente, mais nécessiterait de disposer d’une solution analytique pour le M4 simplifié . D s’agirait alors d’obtenir la même solution numériquement. Mais une solution analytique en dynamique reste très difficile à obtenir. La deuxième démarche possible consisterait à confronter les résultats numériques du M4s en dynamique à des résultats d’essais de laboratoire, en se référant par exemple à la réponse globale (force de contact et inflexion) enregistrée expérimentalement sur une plaque composite impactée transversalement. Quelques courbes ont été rapportées par certains travaux [HAggour & C.T.Sun (1988), C.T.Sun à WJ.Liou (1989)…]. Nous ne disposons cependant pas de données et de résultats complets. Validation en dynamique du code éléments finis Un autre obstacle, mentionné par Aggour et Sun (1988), s’est opposé à l’adoption de cette démarche. D s’agit d’un décalage de résultat par rapport aux résultats expérimentaux, par ailleurs reconnus, de Takeda (1981b), vraisemblablement dû au fait que les conditions aux limites théoriquement imposées (encastrement) ne peuvent généralement pas être parfaitement reproduites expérimentalement. La troisième démarche part d’un résultat issu de l’analyse bibliographique, affirmant que la réponse globale à l’impact d’une plaque composite est peu influencée par la forme de répartition dans le temps de la force de contact T (cf.§lH.3.4 ). En s’appuyant sur la relation de conservation m.V0 = \ f (t) dt, o exprimant la transformation de la quantité de mouvement du projectile en impulsion pendant la durée x du contact, il serait possible d’imposer la répartition temporaire de la force de contact comme donnée du problème, et d’aller vérifier la réponse globale de la plaque. Cette démarche a été adoptée par Sun et Liou (1989) qui se sont donnés des répartitions triangulaires et en créneau de la loi f(t) et une distribution uniforme sur la surface de contact supposée circulaire (cf.§111.3.4). Bien que présentant l’intérêt de s’attaquer dès à présent au problème de l’impact d’une plaque multicouche, cette démarche présente l’inconvénient essentiel de ne pas valider l’algorithme du calcul itératif de la force de contact à chaque pas de temps (cf.IV.4). Or, comme nous l’avons vu ailleurs (§111.3.4), cette partie de l’algorithme dynamique est d’une grande importance si nous voulons par la suite étudier la réponse locale de la plaque. La quatrième démarche consiste à partir de l’étude des vibrations d’une plaque isotrope. Il est alors possible de vérifier le calcul numérique par le M4s de la fréquence de vibration îa plus basse. Le calcul analytique de cette période effectué par Timoshenko et col. (1974) pour une plaque carrée de coté L isotrope et simplement appuyée donne: où D = ‘• — et h désigne l’épaisseur totale de la plaque 12(1- V ) Cette démarche comme la précédente, présente l’inconvénient de ne pas fournir de validation du calcul itératif de la force de contact. Nous pensons aussi que la présence des interfaces dans la modélisation M4 introduirait des modes de vibration qui n’existent pas pour les modèles classiques [M.Smaoui (1993)]. La cinquième démarche enfin, se base sur l’existence, sous certaines conditions géométriques, de solutions analytiques pour la réponse globale d’une plaque 112 Validation en dynamique du code éléments finis isotrope impactée par un projectile de forme sphérique. Ces solutions analytiques, développées par plusieurs auteurs, ont été rapportées par Goldsmith (1960). H s’agit alors de vérifier que le M4s fournit numériquement la même solution. Cette démarche a été utilisée par Wu et Chang (1989) pour valider un code éléments finis 3D. Bien que ne se penchant que sur le cas isotrope, cette démarche permet de valider l’ensemble de l’algorithme dynamique, dans le cadre, comme nous le verrons plus loin, de la loi de Hertz modifiée. C’est cette démarche que nous retenons pour notre validation. Pour se rapprocher de l’étude que nous envisageons plus tard, nous choisissons d’étudier une plaque plutôt qu’une poutre. Nous allons donc commencer par présenter le problème que nous allons étudier, ainsi que sa solution analytique. Avant de procéder au calcul numérique par le M4s, nous aurons à identifier certains des paramètres se référant à la modélisation. H s’agit du pas de temps, du nombre de couches par lequel nous modélisons la plaque, et enfin de la définition du contact supposé de type Hertz. Nous serons amenés dans un premier temps à fixer ces paramètres de modélisation. Nous procéderons alors à une première comparaison entre les résultats expérimentaux et les résultats numériques. Nous étudierons ensuite la sensibilité des résultats par rapport à de faibles variations de ces paramètres de modélisation.

LES DONNÉES DU PROBLÈME

Il s’agit de l’impact d’un projectile en acier de forme sphérique, sur une plaque isotrope également en acier. La plaque est carrée, simplement appuyée sur ses quatre côtés, de 20 cm de côté et 8 mm d’épaisseur. Elle présente les caractéristiques mécaniques suivantes rapportées par Karas (1939): Les données se référant au projectile sont les suivantes: 1 cm 33.34 g 113 Validation en dynamique du code éléments finis 1 m/s Le contact est supposé de type Hertz. Le coefficient de contact est kc=L6*10,0N/m3/2 . « R=lcm h=8 mm tfig.5.1.- Géométrie du projectile et de la plaque isotrope impactée

LA SOLUTION ANALYTIQUE DU PROBLEME

En s’appuyant sur la théorie classique de plaque, plusieurs auteurs ont examiné le problème de F impact transverse d’une masse sur une plaque mince [K.Karas (1939), W.E.Goldsmith (I960)…]. Ces analyses supposent que l’épaisseur h=2b de ia plaque est faible devant ses dimensions latérales. On se place dans le cadre de la théorie de Hertz, où la relation d’indentation s’écrit: F-kc.a3 ^ aveca=w2-W!. Lorsque la plaque, comme ici, est suffisamment épaisse, le déplacement wt du point d’impact vérifie l’équation différentielle [W.E.Goldsmith (I960]: D.V4 w, +2pè d 2 w, Fit) (5.Î) 2b E où D = T- avec des notations évidentes et F(t) est la force de contact. sa-r) 114 Validation en dynamique du code éléments finis wi est alors exprimé par: 1 – o ff- ! V^ = T7-Ï£ ff * ÍF(r).sinü}¡k(t~t).dT(52) 2bp t{ t í Cùik Jj //;.dx, dy{ où coik désignent les fréquences propres et H¡k les fonctions propres. Le calcul numérique de cette expression est très difficile, sauf dans certains cas de conditions aux limites. C’est le cas par exemple lorsque la plaque est simplement appuyée sur ses quatre côtés. La somme ci-haut étant infinie, une évaluation numérique suppose évidemment une troncature. Dans le problème que nous traitons ici, et dont les données ont été présentées au paragraphe précédent, les 70 premières harmoniques ont été nécessaires pour obtenir une convergence satisfaisante de la double somme (5.2). Les résultats obtenus par Karas (1939) pour les 13 premiers pas, sont présentés dans la table (fig.5.2). Le pas de temps t est choisi égal à l/180eme de la période fondamentale de la plaque, soit x=5.61 lus.