Analyse de sensibilité de systèmes composés d’un grand nombre d’émetteurs

Nous avons présenté dans le chapitre 3 les influences de différents paramètres sur la qualité de la mise en phase et sur la bande passante du système. Néanmoins cette qualité est insuffisante pour décrire totalement la combinaison cohérente. En effet, d’autres critères doivent être pris en compte comme par exemple la puissance déposée sur une cible en fonction du nombre de fibres, de l’arrangement géométrique des fibres ou encore du front d’onde utilisé. Une fois le système verrouillé en phase, l’évolution de ces critères en présence de petites différences de phases résiduelles va permettre d’identifier les paramètres les plus critiques de la combinaison cohérente. Lorsqu’un grand nombre de fibres est utilisé, le modèle dynamique ne permet pas d’étudier l’évolution des différents critères avec un temps de calcul raisonnable (pour 19 fibres, 100ms de simulation représente 1 journée de calcul). On doit donc explorer d’autres méthodes pour l’analyse de systèmes à grande dimension.  Nous aurons une approche basée sur des outils statistiques qui ont été utilisé dans le domaine de l’optique sur des filtres interférentiels [1]. Dans un premier temps nous présenterons et analyserons des plans d’expérience que nous utiliserons pour étudier notre système. Nous présenterons ensuite les différents critères que nous utiliserons pour qualifier la combinaison cohérente. Nous expliciterons ensuite notre méthodologie et analyserons avec celle-ci différents fronts d’onde et arrangements géométriques dans le cas d’une propagation non perturbée et en présence de turbulence atmosphérique. Nous montrerons qu’il est alors possible d’étudier la robustesse de système comportant une centaine de fibres.

 Plans d’expériences numériques

L’objectif de ce chapitre est de pouvoir étudier tout l’espace de variations des paramètres d’un système en minimisant le nombre de calculs à effectuer. Cette étude va permettre de connaître la sensibilité du système vis-à-vis des variations des paramètres du système, mais aussi l’influence des différents paramètres ou leurs interactions sur la réponse de celui-ci [2]. Dans notre cas, le système est la combinaison cohérente et il prend en entrée les phases et amplitudes des différents émetteurs, mais aussi la turbulence atmosphérique. Ces entrées forment un ensemble que nous appellerons « paramètres d’entrées » du système. Plusieurs critères peuvent être utilisés pour qualifier la combinaison cohérente (cf. chapitre 1) et un critère sera appelé « réponse du système », ou « paramètre de sortie ». Dans cette partie, nous conserverons une approche générale schématisée (fig. 5.1.) de la manière suivante :  effet, le développement des techniques de modélisation, renforcée par l’augmentation de puissance de calcul des ordinateurs, a mené au développement de simulateurs d’une très grande complexité. Mais l’augmentation du réalisme des simulations avec un grand nombre de paramètres d’entrées du système, pour la plupart incertains, conduit à des temps de calcul souvent trop élevés.

Souvent, l’étude de ce type de système se fait par une approche de Monte-Carlo. Chaque paramètre d’entrée possède sa propre distribution de probabilité. Pour chaque paramètre d’entrée du système, on choisit une valeur selon les distributions de probabilité associées aux entrées. Ainsi en choisissant un nombre conséquent de valeurs, on obtient une bonne estimation de la distribution de probabilité de la réponse du système et donc son écart-type. Cette approche ne sera pas retenue, car elle nécessite un nombre trop important de calculs. L’objectif est alors de choisir les valeurs des paramètres où sera calculée la réponse du système, plutôt que de les faire varier continûment (ou les tirer aléatoirement selon des distributions de probabilités) dans leur espace de variation. Ce choix va être fait a l’aide de plans d’expériences. Il s’agit ici de présenter les principaux plans d’expériences qui existent pour explorer un espace, et d’expliquer les critères pertinents pour les qualifier sans à priori sur le système. Un défaut de ce type de plan d’expériences est la présence d’alignements de points. En effet, si la réponse du système dépend de la différence entre les paramètres : y = x1 − x2 , alors il n’y a que 9 points sur 25 qui apportent véritablement de l’information sur le système (projection des points sur la droite x1 − x2 = 0 ), tous les autres étant redondants. est tirée au hasard suivant une distribution de probabilité donnée, généralement uniforme. Il s’agit donc ici d’une approche de type Monte Carlo. Ces plans aléatoires seront notre référence. Pour des distributions de probabilités uniformes (fig. 5.3.), l’obtention d’agrégats de points ou de zones où il n’y a aucun point est très probable.