Analyse multifractale

La méthode de distribution de probabilité permet de calculer la fonction codimension et les paramètres α et C1 s’en déduisent par des calculs numériques (pour plus de détails voir Schertzer et Lovejoy, 1994). La méthode du Moment Trace ou TM (Trace Moment), permet déterminer directement la fonction d’échelle des moments. Les paramètres α et C1 sont estimés à partir de cette fonction par des calculs numériques. La fonction codimension c(γ)  préalablement par la détermination des fonctions qu’ils définissent. Ceci est rendu possible par une méthode directe qui est la technique du Moment Double Trace ou DTM, (Double Trace Moment).  al., 1991) appelée PDMS (de l’anglais Probability Distribution Multiple Scaling) est une technique développée pour estimer directement la fonction exposante c(γ) (Eq. 2.12), qui  décrit l’invariance d’échelle multiple des distributions de probabilité des processus. Dans cette technique les histogrammes sont examinés sur une plage d’échelle plutôt qu’aux uniques échelles. La méthode PDMS évite l’utilisation de la transformation de Legendre et la supposition implicite de convergence de tous les moments statistiques. La méthode est basée sur l’équation:  La méthode suppose que les distributions de probabilité dans l’équation (3.1) sont d’un unique échantillon ou de plusieurs échantillons indépendants observés dans un espace de dimension D (Lovejoy et Schertzer, 1990).

Pour le calcul pratique des distributions de probabilité de l’équation (3.1), à chaque résolution λ , et pour la singularité γ , on pave l’espace de Nλ = λD boîtes de volume λ-D . Si décroissantes de résolution λ (obtenues par dégradation du signal). La fonction codimension c(γ) est obtenue en représentant dans un diagramme bi-logarithmique, les quantités  N λ (γ) / N λ en fonction de λ . L’avantage de cette méthode est que prise en compte la variation lente du prefacteur F , où log(F ) est simplement l’interception en log(λ) = 0 . permet déterminer la fonction exposante d’échelle des moments K (q) dans l’équation (2.13), et donc, de la fonction duale de codimension c(γ) . L’intérêt est de rechercher sur l’invariance d’échelle des moments d’ordre q de un champ conservatif de densité ελ à différentes l’invariance des moments est étudiée en utilisant les flux des densités de champs à la place des densités mêmes. Le flux d’un champ est l’intégral sur la densité du champ. La notion de flux signifie ici le flux à travers une échelle. (Schertzer et Lovejoy, 1989b) fractionnaires ne sont pas définis. La complexité de cette expression suggère l’introduction des moments traces du flux sur l’ensemble A :  leur somme, normalisée par λD(q-1) , sur tous les pixels de l’ensemble A . La représentation en diagramme logarithmique de la quantité obtenue en fonction de λ permet de déterminer la fonction K (q) . En effet, si la dépendance est linéaire, on arrive à la conclusion que le champ caractéristique ελ possède la propriété d’invariance d’échelle et que la pente de la courbe obtenue fournit la valeur de K (q) . Pour passer d’une échelle de résolution λ à une autre, on procède par une dégradation du champ qui sera détaillée dans la méthode DTM.

Méthode du Double Moment Trace

La méthode du Moment Double Trace ou DTM (Double Trace Moment) (Lavallée, α et C1 , sans passer par les fonctions qu’ils définissent. La méthode assume que les multifractals appartiennent à la classe universelle, contrairement aux méthodes décrites ci- dessus où aucune supposition n’est faite au sujet du type de multifractal qui est analysé. De même à la méthode TM, la méthode DTM permet également la détermination des fonctions exposantes K (q) , dans l’équation (2.13). moment dans l’analyse des données. Ce deuxième moment η est choisi dans un intervalle de +. L’idée de cette méthode est généraliser l’application des méthodes statistiques à d’autres versions (normalisées) du processus multifractal. Ceci vise à augmenter le range dynamique du processus qui peut être analysé. La procédure agit sur l’intensité ελ associée avec la résolution la plus fine (connue) λ du processus. A partir du champ de densité ελ , on introduit le champ normalisé des puissances η de ελ : 2.4.3) donne le degré de non conservation du processus. L’estimation du paramètre H utilise l’exposant du spectre d’énergie du processus. Si le spectre d’énergie des intensités du champ est de la forme comme exprimée dans l’équation (3.13), on attend que la valeur absolue de l’exposant spectral β sera en rapport avec le paramètre H et l’exposant des moments caractérisation multifractale des champs de pluie. Dans cet paragraphe on présente la mise en œuvre et application de ces techniques à l’événement orageux du 8-9 septembre 2002 à Nîmes, France, en utilisant des données radar pour déterminer les paramètres multifractals qui caractérisent la cascade.