Cours mathématiques méthodes et exercices

Cours mathématiques méthodes et exercices, tutoriel & guide de travaux pratiques en pdf.

Les méthodes à retenir

• Définition et propriétés des limites, de la continuité en un point, de la continuité sur une partie • Définition de la continuité uniforme, du caractère lipschitzien, liens entre continue, uniformément continue, lipschitzienne • Caractérisation des applications linéaires continues parmi les applications linéaires, définition et propriétés de la norme |||.|||
• Définition séquentielle de la compacité, liens entre compact et fermé, liens entre compact et fermé borné, produit cartésien de deux compacts, image continue d’un compact, théorème de Heine, équivalence des normes en dimension finie • Définition d’une suite de Cauchy, d’une partie complète, lien entre compact et complet, liens entre complet et fermé, tout evn de dimension finie est complet
• Définition de connexe par arcs, lien avec la convexité, connexes par arcs de R, image continue d’un connexe par arcs, théorème des valeurs intermédiaires
• Définition d’un produit scalaire (réel ou complexe), d’un espace préhilbertien, inégalité de Cauchy et Schwarz et cas d’égalité, inégalité de Minkowski et cas d’égalité
• Définition et propriétés de l’orthogonalité dans un espace préhilbertien, théorème de Pythagore,procédé d’orthogonalisation de Schmidt,théorème de projection orthogonale sur un sev de dimension finie.
On abrège : espace vectoriel en ev sous-espace vectoriel en sev espace vectoriel normé en evn.
Pour montrer qu’une application N : E−→ R est une norme sur un K-espace vectoriel E
Pour exprimer la distance d associée à une norme sur un K-ev E à partir de cette norme, ou pour exprimer une norme à partir de la distance associée d sur E
Revenir à la définition. Ne pas oublier de montrer que, pour tout x ∈ E, N(x) existe, en particulier lorsque N(x) est donnée par une borne supérieure ou une intégrale. ➥ Exercices 1.28 a), 1.32, 1.46.
Utiliser les formules : ∀(x,y) ∈ E2, d(x,y) = N(x −y), ∀x ∈ E, N(x) =d(0,x).
Essayer d’appliquer l’inégalité triangulaire : ∀(x,y) ∈ E2, ||x +y||||x||+||y||, ou l’inégalité triangulaire renversée : ∀(x,y) ∈ E2, ||x||−||y|| ||x −y||. ➥ Exercices 1.1, 1.44.
Pour établir une inégalité faisant intervenir une norme||.|| sur un K-ev
Pour montrer que deux normes N, N sur un K-espace vectoriel E sont équivalentes
Pour montrer que deux normes N, N sur un K-espace vectoriel E ne sont pas équivalentes
Pour montrer qu’une partie A d’un evn E est fermée dans E
• Lorsque E n’est pas nécessairement de dimension finie, revenir à la définition, c’est-à-dire montrer : ∃(α,β) ∈ (R∗ +)2,∀,x ∈ E, αN(x) N (x) βN(x). ➥ Exercices 1.4, 1.32, 1.46
• Si E est de dimension finie, d’après le cours, toutes les normes sur E sont équivalentes.
Chercher une suite ( fn)n dans E −{0} telle que : N ( fn) N( fn) −−→ n∞ +∞ ou N( fn) N ( fn) −−→ n∞ +∞ . ➥ Exercices 1.18, 1.46.
• Si on peut faire intervenir la notion de suite, utiliser la caractérisation séquentielle des fermés : la partie A de E est fermée dans E si et seulement si,pour toute suite (an)n dans A convergeant vers un élément x de E, on a : x ∈ A. ➥ Exercices 1.3 a), 1.16, 1.17, 1.48
• Essayer de montrer que : ∗ A est une intersection de fermés de E ∗ A est une réunion d’un nombre fini de fermés de E ∗ A est un produit cartésien d’un nombre fini de fermés • Essayer de montrer que A est l’image réciproque d’un fermé par une application continue. ➥ Exercice 1.34.
• Si le contexte fait intervenir des ouverts, essayer de montrer que E(A) est ouvert dans E.
Pour montrer qu’une partie Ω d’un evn E est ouverte dans E
• Revenir à la définition, c’est-à-dire montrer : ∀x ∈Ω,∃r > 0, B(x;r) ⊂ . • Montrer que E(Ω) est un fermé de E

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