Couche limite

Introduction

La couche limite est une zone d’interface entre un corps et le fluide environnant lors d’un mouvement relatif entre les deux. On y observe les effets de la viscosite. Elle est un ´element important en mecanique des fluides, en aerodynamique, en hydrodynamique, en meteorologie et en oceanographie.
L’exemple le plus simple d’un ´ecoulement de type couche limite est celui d’un fluide qui arrive `a vitesse uniforme U∞ parall`element `a une paroi plane. Au voisinage de cette paroi, il s’´etablit un fort gradient de vitesse, dˆu au ph´enom`ene de viscosit´e : plus on se rapproche de la paroi, plus le fluide est frein´e, la vitesse ´etant nulle `a la surface (condition d’adh´erence `a la paroi) pour un fluide visqueux. Ceci conduit `a une redistribution du champ de vitesse s’accompagnant d’une diffusion de quantit´e de mouvement, par un m´ecanisme visqueux dans le cas d’un ´ecoulement laminaire.
Dans ce m´emoire, nous pr´esentons deux types de couche limite : la couche limite dynamique isovolume sur une plaque plane et la couche limite thermique autour d’un cylindre de section elliptique `a flux de chaleur constant. Dans ce dernier cas , nous utilisons la m´ethode d’Adomian pour le calcul de la composante transversale de la vitesse au voisinage du point de stagnation.

Couche limite dynamique isovolume

Il existe bien des formes des equations de Navier-Stokes. Nous n’en pr´esentons dans ce m´emoire que son expression pour les ecoulements de fluides incompressibles. L’´ecoulement incompressible fait intervenir differents termes exprimant les termes de force d’inertie, de pression, de viscosit´e et parfois les forces volumiques externes. Le rapport entre force d’inertie et de viscosite determine globalement le comportement d’un ecoulement et peut varier d’un ecoulement `a un autre et pour un ecoulement donne d’un point `a l’autre du champ. La prepond´erance relative de l’une ou l’autre de ces forces depend de la valeur globale ou locale du nombre de Reynolds.
Dans le cas o`u ce param`etre est globalement petit, l’´ecoulement est de type rampant et rel`eve d’un mod`ele sp´ecifique. Lorsque le comportement visqueux du fluide est de type newtonien, ce mod`ele correspond `a une forme simplifi´ee lin´earis´ee du mod`ele de Navier-Stokes, connue sous le nom de mod`ele de Stokes.
Le mod`ele de Stokes est un modele qui regit l’ecoulement rampant d’un fluide visqueux newtonien. Ce modele repose sur les deux hypotheses suivantes :
1. le milieu est incompressible .
2. les forces d’inerties sont en tout point et `a tout instant negligeables vis-`a-vis des forces de viscosite.
Cette deuxieme hypothese s’exprime par la relation.
La premiere relation ci-dessus montre que le champ de pression du mod`ele de Stokes v´erifie l’´equation de Laplace et non celle de Poisson.
La seconde relation ci-dessus signifie physiquement qu’il ne peut pas y avoir, en r´egime permanent, de diffusion visqueuse de rotationnel en ´ecoulement de Stokes.
Le mod`ele de Stokes sert `a d´ecrire les ´ecoulements de fluide tr`es visqueux ou tr`es lents. Pour les autres ´ecoulements de fluide visqueux, le mod`ele de Navier Stokes se rev`ele ˆetre le mod`ele le plus appropri´e. Les ´equations de ce mod`ele sont des ´equations aux d´eriv´ees partielles non lin´eaires et leur r´esolution se fait num´eriquement. La r´esolution de ces ´equations mod´elisant un fluide comme un milieu continu `a une seule phase incompressible, si elle est possible, est ardue. L’existence des solutions de ces equations non lineaires n’est pas d´emontree dans le cas general.

Existence de solution pour le mod`ele bidimensionnel de Navier Stokes

Nous partons maintenant du modele de Navier Stokes bidimensionnel et utilisons les resultats de J.L. Lions [1] pour montrer que ce systeme admet des solutions. Les equations de la quantite du mouvement et celle de la continuite, pour un ecoulement bidimensionnel incompressible en coordonnees cartesiennes, sont.

Configuration de couche limite

Nous reconsiderons maintenant le systeme I.14 `a I.16. Nous allons appliquer `a ce systeme ce qu’on appelle la configuration de type couche limite. L’application de l’analyse d’´echelle avec les hypoth`eses de couche limite nous permettent ensuite d’etablir le systeme d’equations approprie appelle modele de Prandtl. On suppose qu’une surface solide materialise une partie de l’axe des abscisses.
On choisit cet axe comme la direction privilegiee de l’advection. Une couche limite est caracterisee par la predominance de la viscosite et de la diffusion par rapport aux termes d’inerties. L’interaction de ces facteurs est modulable au travers du nombre de Reynold defini par.o`u U, V sont des vitesses et L la longueur de reference et ν la viscosite cinematique. Les hypotheses d’une couche limite se traduisent par les relations :

Méthode de calcul de couche limite dynamique isovolume

Nous reconsiderons le modele de Prandtl I.94 `a I.96.
Le modele de Prandtl est un systeme d’equation aux derivees partielles en variables spatiales, non lineaire et parabolique. Dans la seconde equation, rappelons que la fonction u E (x) est une donee du probleme. Les conditions aux limites imposees a la solution sont.

Couche limite thermique

Dans cette partie, nous presentons un phenomene de couche limite en convection naturelle induit par une difference de temperature entre le fluide et la paroi. Supposons par exemple que l’ecoulement incident soit a une temp´erature uniforme T∞ , et que la surface soit maintenue `a une temp´erature T p egalement uniforme mais diff´erente de T∞ . En explorant le champ de temp´erature T perpendiculairement `a la plaque, on trouve un fort gradient de temperature et on observera une variation de T p `a T∞ , d’abord rapide puis de plus en plus lente `a mesure qu’on p´en etre dans l’ecoulement.
La region dans laquelle T varie de fa¸con significative est appel´ee ”Couche limite thermique”.
Dans ce m´emoire, nous avons born´e notre ´etude sur l’article [2] parue dans le journal ”European Journal of Scientific Research ´ecrite par S. Ahmad, N.M. Arin, R.Nazar, I. Pop ” cet article traite la couche limite autour d’un cylindre `a section elliptique soumis `a un flux constant de chaleur. Dans cette configuration, la temperature et les composantes adimensionnelles de la vitesse sont solutions du systeme d’equation :

Decomposition d’Adomian

La d´ecomposition d’Adomian est une m´ethode semi-analytique de r´esolution d’´equations differentielles developpee par le mathematicien americain George Adomian durant la seconde partie du XXe siecle. Dans la litterature, on rencontre souvent la methode de decomposition d’Adomian ou (ADM).

Conclusion

La compr´ehension et la mod´elisation des ´equations de type couche limite constituent une des plus importantes avanc´ees de la dynamique des fuides. En utilisant l’analyse d’´echelle, les ´equations de Navier-Stokes peuvent ˆetre ´ecrites sous forme simplifi´ee pour la description d’une couche limite. Dans ce m´emoire, nous exposons deux types de couche limite, la couche limite isovolume classique et la couche limite thermique. Nous avons repris le travail des auteurs S. Ahmad, N.M. Arin, R.Nazar, I. Pop sur l’´etude de la couche limite autour d’un cylindre de section elliptique. Les auteurs de l’article ont utilis´e la m´ethode de Keller-Box pour calculer les valeurs du coefficient de frottement pari´etal au niveau de la paroi. Sans aborder l’´etude de la structure du champs de vitesse elle-mˆeme. Une telle ´etude pourrait entrepris au moyen d’une simulation num´erique globale. Pour notre part, nous avons entrepris le calcul de certains param`etres au voisinage du point de stagnation. En utilisant la m´ethode d’Adomian, on obtient une formulation analytique des solutions. Les r´esultats des calculs confirment l’´existence d’une zone de vitesse nulle au voisinage du point de stagnation. Les autres r´esultats telles que l’existence d’un courant de retour au ”‘large’” de ce point de stagnation semble indiquer la pr´esence d’un ´ecoulement cellulaire mais d’autres calculs doivent ˆetre faits avant de pouvoir conclure. L’´etude des ´ecoulementsde type couche limite autour du profil elliptique reste un domaine de recherche ouvert.

Table des matières

Remerciements 
I Couche limite 
1 Introduction
2 Couche limite dynamique isovolume
3 Couche limite thermique
II Decomposition d’Adomian 
1 Decomposition d’Adomian
2 Application au probl`eme de couche limite
Conclusion 
Annexe
Approximants de Padei
Bibliography