Anneaux de Dedekind et bases de Grobner

Rappel sur quelques types d’anneaux 

Anneau intègre Définition 1.1.1. On dit qu’un anneau A 6= 0 est intègre si ab .= 0, a, b ∈ A ⇒ a = 0 ou b = 0. Exemples 1.1.1. Z, Q, R et C sont des anneaux intègres 

Anneau principal

Définition 1.1.2. On dit qu’un anneau A est principal s’il est intègre et si tous ses idéaux sont principaux. Exemples 1.1.2. L’anneau Z est principal. L’anneau des polynˆomes k[X] en une indéterminé à coefficients dans un corps k est un anneau principal. Proposition 1.1.1. Soit A un anneau principal. Alors tout idéal premier distinct de 0 est maximal. preuve : Soit P = (p) un idéal premier de A distinct de 0 et soit J = (a) un idéal maximal de A tel que P ⊂ J 6= A. Alors a 6∈ A×. Comme P ⊂ J, il existe b ∈ A tel que p = ab ∈ P. L’absence de diviseurs de zéro dans A et le fait que a 6∈ × A montre que b 6∈ P. Donc a ∈ P, et par suite J = P.  9 Proposition 1.1.2. Soit A un anneau intègre et ϕ : A\{0} → N une fonction telle que pour tous a et b dans A, b 6= 0 il existe q et r ∈ A tels que : – a = bq + r – r = 0 ou ϕ(r) ≤ ϕ(b) Alors A est principal. preuve : Comme l’idéal nul est principal on peut supposer que I 6= 0. Soit alors un élément a ∈ I\{0} tel que ϕ(a) est minimal. On a (a) ⊂ I et on va montrer que I = (a). Soit b un élément de I et choisissons q et r tels que b = aq + r. Si r 6= 0 on a ϕ(r) < ϕ(a), ce qui est absurde puisque r = b − aq appartient à I. Donc r = 0 et b = aq ∈ (a). Par suite I = (a). D’o‘u tout idéal de A est principal. Comme A est intègre, A est principal. 

 Anneau noethérien

Définition 1.1.3. Un module M est dit noethérien s’il vérifie l’une des conditions équivalentes suivantes : 1. Tout sous-module de M est de type fini. 2. Toute suite croissante de sous-modules de M est stationnaire. 3. Toute famille de sous-module de M admet un élément maximal. preuve : 1) ⇒ 2) Supposons que tout sous-module de M est de type fini et considérons une suite croissante (Mn)n∈N de sous-modules de M. Soit N = S n Mn. Comme la réunion est croissante, N est un sous-module de M. Par hypothése, il est de type fini : il existe S ⊂ N, S fini tel que N = hSi. Pour tout s ∈ S, il existe ns ∈ N tel que s ∈ Mn pour n > ns. Posons ν = max(ns) de sorte que S ⊂ Mν. Par suite, N = hSi est contenu dans Mν. Finalement, la suite d’inclusion Mν ⊂ N ⊂ Mν pour n > nν montre que Mn = Mν pour n > nν 2) ⇒ 3) Supposons que toute suite croissante de sous-modules de M est stationnaire et soit (Mi)i∈I une famille de sous-modules de M. Supposons par l’absurde 10 qu’elle n’admet pas d’élément maximal. Choisissons i1 ∈ I, Mi1 n’est maximal dans la famille (Mi). Il existe alors i2 ∈ I tel que Mi1 ( Mi2 . Mais Mi2 n’est maximal non plu, d’o`u l’existence d’un i3 ∈ I etc . . . Ainsi on obtiens une suite strictement croissante de sous-modules de M, Mi1 ( Mi2 ( . . . et une telle suite n’étant pas stationnaire, on a une contradiction. 3) ⇒ 1) Supposons que toute famille de sous-modules de M admet un élément maximal et montrons que tout sous-module de M est de type fini. Soit N un sousmodule de M et considérons l’ensemble SN des sous-modules de N qui sont de type fini. Par hypothèse, il admet un élément maximal ; soit N0 un tel sousmodule. Par définition, N0 ⊂ N, N0 est de type fini et aucun sous-module de N qui contient strictement N0 n’est de type fini. Supposons par l’absurde que N0 6= N. Il existe ainsi m ∈ N/N0 . Le sous-module N” = N0+Am de M est de type fini et est contenu dans N. Comme m 6∈ N0 , N” 6= N0 . Par suite, N” ∈ SN ce qui est absurde, N0 étant maximal dans SN . Donc N0 = N et N est de type fini.  Définition 1.1.4. Si A est A-module noethérien, on dit que A est un anneau noethérien. Exemples 1.1.3. Un anneau principal est noethérien Tout corps est un anneau noethérien. Z est un anneau noethérien. Proposition 1.1.3. L’anneau K[X1, . . . , Xn] est noethérien. 1.1.4 Anneaux artiniens Définition 1.1.5. Soit A un anneau et soit M un A-module. On dit que M est artinien si toute suite décroissante de sous-A-modules de M est stationnaire. Exemples 1.1.4. OM est artinien. Z/nZ est un Z-module artinien. Tout K-espace vectoriel de dimension fini est artinien. Définition 1.1.6. On dit qu’un anneau A est artinien si c’est un A-module artinien. 

Quelques types de modules

Modules de type fini

Définition 1.2.1. Soit A un anneau. On dit qu’un A-module M est de type fini s’il existe une partie finie S ⊂ M telle que M = hSi. Théorème 1.2.1. Soit A un anneau principal et soit M un module de type fini. Il existe alors un unique entier r ≥ 0 et une unique famille (d1, . . . , dr) non inversible tels que (d1) ⊃ (d2) ⊃ . . . ⊃ (dr) et M ∼= (A/(d1)) ⊕ · · · · · ⊕ (A/(dr)). Définition 1.2.2. On dit que les éléments (d1, . . . , dr) sont les facteurs invariants de M. Corollaire 1.2.1. Si A est un anneau principal et si M est un A-module de type fini, alors M est la somme directe du sous-module de torsion T or(M) et d’un A-module libre de type fini. preuve : D’après le théorème 1.2.1, il existe alors un unique entier r ≥ 0 et une unique famille (d1, . . . , dr) non inversible tels que (d1) ⊃ (d2) ⊃ . . . ⊃ (dr) et M ∼= (A/(d1)) · · · ⊕(A/(dr)). Fixons un isomorphisme M ∼= ⊕r i=1(A/(di)) dans lequel les (di) sont supposés non inversibles ( sinon le facteur A/(di) serait nul). Supposons que ds 6= 0 mais que ds+1 = · · · = dr = 0. Un élément cl(a1), . . . , cl(ar)) est de torsion si et seulement si as+1 = · · · = ar = 0. On écrit ainsi M ∼= ⊕s i=1(A/(di)) ⊕ As−1 , ce qui écrit M comme la somme directe du module de torsion ⊕s i=1(A/(di)) et du module libre As−1 .  Théorème 1.2.2. (théoreme de Nakayama) Soit M un A-module de type fini et soit I un idéal de A tel que M = IM. Alors, il existe a ∈ I tel que (1 + a)M = 0. Corollaire 1.2.2. Soit A un anneau et I un idéal de A contenu dans le radical de Jacobson. Soit M un A-module de type fini et soit N un sousmodule de M. Si M = N + IM, alors M = N. 12 1.2.2 Modules projectifs Définition 1.2.3. On dit qu’un A-module P est projectif si tout morphisme surjectif de A-modules α : M → P a un inverse à droite β : P → M. Définition 1.2.4. Un A-module P est projectif s’il est facteur direct d’un A-module libre c’est à dire L = M ⊕ N avec L un A-module libre. Exemples 1.2.1. 1. Tout A-module libre est projectif 2. Considèrons deux entiers naturels m et n premiers entre eux. On a Z/mnZ ∼= Z/mZ⊕Z/nZ comme Z/mnZ-modules. Donc Z/mZ est un Z/mnZ-module projectif qui n’est pas libre car il contient moins de mn élélents. 1.3 Idéaux 1.3.1 Idéaux premiers Définition 1.3.1. On appelle idéal d’un anneau A tout sous-groupe I ⊂ A tel que pour tout a ∈ A et tout b ∈ I, ab ∈ I. Définition 1.3.2. Soit A un anneau et soit I un idéal de A. On dit que I est un idéal premier s’il vérifie les propriétés : – I 6= A – Si a et b sont deux éléments de A tels que ab ∈ I, alors a ∈ I ou b ∈ I. Théorème 1.3.1. Un idéal I d’un anneau A est premier si et seulement si l’anneau A/I est intègre. preuve : Supposons que I est premier. Soit x et y ∈ A/I tel que xy = 0 ⇒ xy = 0 ⇒ xy = 0 ⇒ xy ∈ I. Comme I est premier, alors x ∈ I ou y ∈ I. D’o`u x = 0 ou y = 0. Ainsi A/I est intègre. Supposons que A/I est intègre. Soit x, y ∈ A tels que xy ∈ I ⇒ xy = xy = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0 car A/I est intègre. Donc x ∈ I ou y ∈ I. D’o`u I est premier.  1.3.2 Idéaux maximaux Définition 1.3.3. Soit A un anneau. Un idéal I est dit maximal s’il est distinct de A et si tous les idéaux de A qui contiennent I sont I ou A. 

Théorème 1.3.2

Un idéal I d’un anneau est maximal si et seulement si l’anneau quotient A/I est un corps. preuve : Supposons que A/I est un corps. Comme l’anneau nul n’est pas un corps, A/I 6= 0 et I 6= A. Soit un idéal J de A contenant I. Si J 6= I, il existe ainsi a ∈ J/I − {0}. Sa classe a ∈ A/I est non nulle, donc inversible puisque A/I est un corps. Il existe b ∈ A tel que ab = 1. On a donc ab − 1 ∈ I et comme a ∈ J, 1 = ab − (ab − 1) ∈ J et par suite J = A. D’o`u I est maximal. Supposons que I est un idéal maximal. Soit x ∈ A/I tel que x 6= 0. Il existe a ∈ A tel que x = a. On a a 6∈ I et l’idéal J = I + (a) contient I : comme il contient a, il est distinct de I. Par hypothèse on a donc J = A, ce qui signifie qu’il existe b ∈ I et c ∈ A tel que 1 = b + ca. Dans A/I on a : 1 = 1 = b + ca = b + ac = ac. Ce qui prouve x = a est inversible dans A/I. D’o`u A/I est un corps. 

 Idéaux fractionnaires

Définition 1.3.4. Soient A un anneau intégre et K son corps des fractions Alors un idéal fractionnaire de A est un sous-A-module I de K tel qu’il existe d ∈ A, d 6= 0, dI ⊂ A. Exemples 1.3.1. (A : I) = {x ∈ A\xI ⊂ A} est un idéal fractionnaire d’après la définition 1.3.4 Remarque 1.3.1. 1. La condition de la définition 1.3.4 signifie que tous les éléments de I ont un dénominateur commun d. 2. Tous les idéaux de A sont des idéaux fractionnaires. On les appelle les idéaux entiers de A. Lemme 1.3.1. Tout sous-A-module de type fini est un idéal fractionnaire et la réciproque est vraie si A est nothérien intègre Théorème 1.3.3. (théorème de la base duale) Un A-module M est projectif si et seulement si il existe un ensemble d’éléments ai de M et un ensemble d’applications fi : M → A tel que la somme Pfi(a)ai est finie et est égale à a pour tout a ∈ M. Preuve : Soit un module libre F de base ei et un épimorphisme g : F → M 14 Soit ai = g(ei) Alors M est projectif si et seulement si il y a un homomorphisme f : M → F tel que g  f = id. On a a .= Priai avec fi(a) = ri . Les fi sont des morphismes de A-modules. Inversement pour fi donnés, nous pouvons définir f par f(a) = Pfi(a)ai . Théorème

Définissons Φ 

homA(M, A) ⊗A M → homA(M, M) par Φ(f ⊗ b)(a) = f(a)b. Alors M est de type fini et projectif si et seulement si Φ est un isomorphisme. Proposition 1.3.1. Un idéal non nul I est inversible si et seulement s’il est de type fini et projectif. P Preuve : Si I est inversible, on peut écrire 1 comme une somme finie aibi , o`u ai ∈ I et bi ∈ I −1 . Les ai engendrent A et on peut définir fi : I → A par fi(a) = bia. D’aprés le théorème de la base duale, I est projectif avec un ensemble fini de générateurs ai . Inversement, soit I projectif et soit fi : I → A une application et ai comme dans le théorème de la base duale. Choisissons b ∈ I\{0} et soit ki = fi(b) b . Observons que afi(b)= bfi(a) pour tout a ∈ I. C’est trivial si a = 0. Si a 6= 0, on écrit a = m n et b = p q comme des quotients d’éléments non nuls de A. Alors fi est un morphisme de A-modules. afi(b)nq = anfi(bq) = fi(anbq) = fi(an)bq = fi(a)bnq. En divisant par b, on a fi(a) = kia pour tout a. D’o`u kiI ⊂ A. Puisque fi(a) = 0 pour tout b mais pour chaque i, ki = 0. Pour tout a, a = Pfi(a)ai = Pkiaia. Puisque c’est une équation dans K, Pkiai = 1. Par conséquent I est projectif.