Application à un système monospécifique le hareng ecossais

Simulations conditionnelles pour l’année 2005 Les différentes étapes de simulation sont maintenant présentées en détail pour l’année 2005. Elles consistent à simuler l’incertitude des variables d’acoustique réfléchie, de longueur moyenne et de proportions d’âge, puis à les combiner pour obtenir l’incertitude associée à l’abondance totale et aux abondances par âge.

L’acoustique réfléchie

Transformation par anamorphose gaussienne Cette variable se caractérise par une distribution fortement dissymétrique avec un grand nombre de valeurs faibles, environ 57% de valeurs nulles et seulement quelques valeurs fortes. Pour se placer dans un cadre favorable pour les simulations, les données brutes sont transformées par anamorphose gaussienne. Les valeurs de la variable gaussienne Y (x) ne sont pas connues aux points de donnée o`u l’acoustique réfléchie est nulle, alors que les valeurs de la variable gaussienne tronquée à gauche Y +(x) sont, elles, connues en tout point de donnée. La variable gaussienne tronquée à gauche Y +(x) présente en particulier un ensemble de valeurs égales à la même valeur gaussienne yc correspondant aux valeurs o`u la variable d’origine, l’acoustique réfléchie, est nulle. La fonction d’anamorphose est modélisée par une constante sur l’intervalle correspondant à l’effet 0 et par une fonction spline croissante ajustée en représentant les valeurs de données brutes, hors les valeurs nulles, en fonction des valeurs correspondantes de la gaussienne tronquée à gauche Y +(x) (Fig. 3.8). L’anamorphose modélisée sera utilisée à la fin de la procédure de simulation pour transformer une réalisation gaussienne en une réalisation brute. Par ailleurs, il convient de vérifier le caractère multigaussien de Y +(x).

Test du caractère bigaussien

Sous hypothèse de binormalité, le nuage de corrélation différée entre Y (x) et Y (x+h) devrait être elliptique. La binormalité des transformées gaussiennes est testée ici bien que l’anamorphose ne soit pas bijective dans le cas de la variable acoustique. Ne disposant que de la variable gaussienne tronquée à gauche Y +(x), on observe alors un nuage de corrélation tronqué en partie inférieure à la valeur gaussienne yc associée ici aux zéros (Fig. 3.9). A titre  illustratif, le nuage de corrélation différée pour un pas de 2,5 mn ± 0,5 mn pour l’année 2003 est présenté en plus de celui de 2005. En effet, 2003 est une année o`u le pourcentage de zéro est le plus faible. De fait, on s’attend à mieux observer le nuage de corrélation différé des transformées gaussiennes pour cette année. Finalement, les nuages observés sont de forme elliptique, ce qui va dans le sens du caractère bigaussien de Y +(x).

Inférence de la loi spatiale

Les variogrammes expérimentaux de la variable gaussienne tronquée à gauche γY +(x) et de l’indicatrice de la variable gaussienne γ1Y (x)>yc (une autre fonction de la variable gaussienne connue en tout point de donnée), ainsi que le variogramme croisé de l’indicatrice et de la variable gaussienne tronquée à gauche γ1Y (x)>yc×Y +(x) , sont présentés en figure 3.10. Nous avons vu au chapitre précédent (cf. II.2.3) que l’inférence du modèle spatial de la variable gaussienne est possible grâce à un développement basé sur les polynˆomes d’Hermite liant la covariance de la variable gaussienne et la covariance d’une fonction de la variable gaussienne. De fa¸con pratique, cela revient à ajuster de fa¸con indirecte la structure expérimentale de ces fonctions de la variable gaussienne pour connaˆıtre le modèle spatial de la variable de la gaussienne. Ici, on a fait le choix de faire l’ajustement indirect à partir de la variable gaussienne tronquée à gauche Y +(x). On favorisera donc l’adéquation du modèle spatial à un maximum de données. Le variogramme expérimental de la variable gaussienne tronquée à gauche Y +(x) est ajusté indirectement en considérant que la variable gaussienne Y (x) a une structure gigogne avec une pépite de palier 0,23, une composante sphérique de palier 0,40 avec une portée de 10 mn et une autre composante sphérique de 0,45 avec une portée de 65 mn. On notera que pour l’année 2005 l’ajustement de Y +(x) reste correcte pour le variogramme de l’indicatrice γ1Y (x)>yc et pour le variogramme croisé entre l’indicatrice et la variable gaussienne tronquée à gauche γ1Y (x)>yc×Y +(x) , alors que cela ne devrait pas être forcément le cas.

L’intérêt du modèle gaussien : les effets de bord

L’intérêt d’utiliser un modèle de diffusion tel que le modèle gaussien est qu’il présente des effets de bord, c.-à-d. que lorsqu’on passe des zones pauvres aux zones plus riches, la transition se fait de fa¸con progressive. La quantification expérimentale des effets de bord pour la plus basse coupure (entre les zéros et les non-zéros) est obtenue en faisant le ratio du vario- gramme croisé entre l’indicatrice et la variable gaussienne tronquée à gauche γ1Y (x)>yc×Y +(x) avec le variogramme simple de l’indicatrice γ1Y (x)>yc . Comparé aux effets de bord théoriques attendus (Fig. 3.11), la différence est faible pour cette année 2005. Cette similitude entre les effets de bord expérimentaux et théoriques démontre ici l’intérêt d’un tel modèle de diffusion. Notons que d’autres procédures de simulation, ne modélisant pas les effets de bord, ont été utilisées en biologie halieutique pour quantifier l’incertitude associée à des estimations d’abondance obtenues à partir de campagnes acoustiques. C’est le cas de la méthode de simulation géostatistique séquentielle d’indicatrices utilisée pour estimer des intervalles de confiance pour des estimations d’abondance à partir de campagnes acoustiques menées sur le lieu de l’Alaska (Theragra chalcogramma) à l’Est de la mer de Béring (Walline, 2007).