Approche par volumes finis du problème d’advection-diffusion plan et organigrammes de résolution

Après avoir avancé, dans les deux premiers chapitres, un état de l’art sur la problémmatique en question, le présent chapitre 3 de ce rapport de recherche présente notre contribution personnelle. Deux sections y seront présentées et portent respectivement sur l’approche par volumes finis et sur la conception d’organigrammes de résolution.

Approche par volumes finis

La méthode des volumes finis est basée sur l’intégration des équations écrites sous forme de loi de conservation (établissement du bilan des flux sur des volumes de contrôle). Elle se sert directement des lois de conservation de la mécanique des fluides. Le domaine de calcul doit être complètement couvert de volumes de contrôle et les noeuds de calcul sont définis aux centres de gravité des volumes de contrôle. Les variables sur les frontières des volumes de contrôle sont interpolées des variables des centres de gravité. L’approximation des formulations d’intégrale de surfaces et de volumes apparaissant dans les équations se fait à l’aide des formules de quadratures. Le succès de la méthode se base sur plusieurs propriétés : la méthode est simple, conservative, permet de traiter des géométries complexes avec des volumes de forme quelconque (applicable à des géométries complexes), détermination plus naturelle des conditions aux limites de type Neumann ou mixte et les termes apparaissant dans les équations écrites sous forme intégrale possèdent des significations physiques. Les qualités conservatives de la méthode sont basées sur le fait que l’établissement du bilan se fait sur chaque volume de contrôle : flux de convection et de diffusion entre les volumes de contrôle sur les bords communs sont identiques. Cette approche fournit ainsi de manière naturelle des approximations discrètes conservatives. Le principe de la méthode est le suivant : — Dérivation, — Intégration, — Interpolation. 

Étapes de résolution d’un problème avec la méthode des volumes finis

Généralement, l’approche par volumes finis des problèmes d’advection-diffusion passe par les étapes successives suivantes : 1. Maillage : découpage du domaine en éléments géométriques, 2. Initialiser la grandeur du champ inconnu sur le domaine de calcul, 3. Calcul du bilan de flux maillé par un schéma numérique, 4. Calcul du terme source, 5. Calcul de l’incrément temporel par une méthode d’intégration numérique, 6. Prise en compte des conditions aux limites sur les inconnues. Application des conditions aux limites, 7. Résolution du système linéaire et détermination du champ en tout point, 8. Calcul des dérivées sur les mailles élémentaires.

Forme de divergence de l’équation d’advection-diffusion

L’équation est de la forme ∂C ∂t + divQ~ = r (3.1) dans laquelle Q~ = C · U~ − D∆C = uC − D∂C ∂x vC − D∂C ∂y ! avec les significations suivantes — C : concentration d’intérêt, — U : vecteur vitesse du fluide porteur, — D : coefficient de diffusion, — r : la source. 3.1.3 Discrétisation C’est l’élaboration d’un maillage : on découpe le domaine de calcul Ω en éléments géométriques (volumes de contrôle). Ces mailles élémentaires doivent assurer la couverture totale du domaine. On définit les noeuds de calcul (noeuds des variables) aux centres de gravité des volumes de contrôle. Les variables sur les frontières des volumes de contrôle sont interpolées à partir des variables des centres de gravité. Voir figure ci-dessous. Master Recherche – ESPA RAZAFIMAMONJY A. CHAPITRE 3 26 Figure 3.1 – Discrétisation des volumes finis. 

Théorème de Gauss

Le théorème de Gauss (théorème de flux-divergence, ou théorème d’Ostrogadski) transforme l’intégrale de volume du terme de divergence en intégrale de surface. Z Ω divQ~ · dΩ = Z S=∂Ω Q~ · ~dS = Z S=∂Ω Q~ · ~ndS (3.2) où ~n représente le vecteur normal extérieur à Ω. 3.1.5 Intégration sur les volumes de contrôles L’intégration des équations fondamentales sous formes de divergence sur les volumes de contrôle est donnée par Z Ω ∂C ∂t dΩ + Z Ω divQd~ Ω = Z Ω RdΩ (3.3) Et en appliquant le théorème de Gauss ci-dessus sur le terme de divergence, l’équation précédente se trasforme comme suit Z Ω ∂C ∂t dΩ | {z } Terme de la dérivée + Z S divQ~ · ~dS | {z } Terme de flux = Z Ω RdΩ | {z } Terme source temporelle (3.4) Le changement temporel de la concentration C est déterminé par le bilan des flux Q~ sur le bord et par les sources r dans le volume. 

Traitement du terme de la dérivée temporelle

Echange des opérateurs d’intégration et de différentiation : Z Ωi,j ∂C ∂t dΩ = ∂ ∂t Z Ωi,j CdΩ (3.5) Approximation de l’intégration : (Vi,j : est le volume de contrôle) Z Ωi,j CdΩ = Vi,j · Ci,j.