Approche statistique multipoints

Dans ce chapitre nous présentons l’approche statistique multipoints et discutons ses avantages et ses inconvénients. Nous commençons par en donner le principe ainsi que l’algorithme initial proposés par Guardiano et Strivastava (1993). Nous décrivons ensuite la mise en œuvre de cette approche en détaillant la méthode de stockage des statistiques empiriques et de leur réutilisation proposée par Strebelle (2002). Une attention particulière sera portée aux conditions limites d’application de l’approche MP. Soulignons que tous les exemples présentés dans ce chapitre sont effectués par simulation stationnaire. En fin de chapitre, nous abordons le problème central de cette étude — la simulation non stationnaire. Le principe de base de l’approche MP est d’utiliser l’image d’apprentissage, supposée représentative de la structure géométrique de réservoir, comme la source des statistiques empiriques d’ordre multiple. À partir de ces statistiques, la loi spatiale d’une fonction aléatoire est construite. Cette loi permet de reproduire une structure géométrique complexe. L’algorithme de simulation MP s’appuie ainsi sur trois idées : L’algorithme ne mettant pas en jeu de forme géométrique de façon explicite, leurs caractéristiques (taille, orientation, longueur etc.) doivent être reproduites de façon implicite. Les exemples présentés (Fig. 4-7) ont été choisis de natures différentes (modèle booléen, modèle gaussien, réseau de fractures) pour illustrer les possibilités de l’approche multipoints.

Algorithme initial

Soit I la grille de discrétisation de l’Image d’apprentissage, et soit E la grille de l’Espace de simulation. Usuellement, I et E ont la même dimension physique (2 ou 3) et ont la même résolution spatiale. Par contre, leur taille peut être très différente. À chaque point u de l’une de deux grilles est attaché, ou bien doit être attaché, un attribut discret ( ) faciès différents. La simulation MP consiste à générer une valeur d’attribut en chaque point de E .  L’algorithme, initialement proposé par Guardiano et Strivastava (1993), présente l’inconvénient d’être particulièrement gourmand en mémoire et en temps calcul. En effet, le scanning de l’image d’apprentissage est nécessaire pour la simulation de chaque point. Strebelle (2000) a proposé un algorithme permettant de ne scanner qu’une seule fois l’image d’apprentissage, et de mémoriser les statistiques multipoints sous une forme arborescente (nommée ensuite arbre de stockage) afin de pouvoir en disposer plus rapidement.  Une fois l’image d’apprentissage scannée, la simulation peut débuter. Les points sont simulés selon un chemin prédéfini (aléatoire ou non) qui parcourt tout l’espace de simulation. Pour chaque point traité, une loi conditionnelle est extraite directement de l’arbre de stockage, correspondant à l’état de son voisinage. La simulation s’arrête quand tous les points du champ de simulation ont été traités. Néanmoins, il existe dans la littérature des algorithmes MP de post-simulation, qui consistent à resimuler des points afin de raffiner la reproduction de la géométrie. Nous discuterons de cette problématique au paragraphe 2.3.3. Dans le cadre de cette thèse, pour ne pas trop nous disperser, nous utilisons l’algorithme MP où chaque point n’est simulé qu’une seule fois.

L’étape de scanning de l’algorithme MP consiste à dériver et stocker les statistiques MP au moyen d’une fenêtre glissante de taille fixe (dite template dans la littérature anglophone), qui explore toute l’image d’apprentissage point après point (Fig. 12). À l’intérieur de cette fenêtre, chaque état sera enregistré dans l’arbre de stockage. La simulation commence par le positionnement des données fixes et certaines dans l’espace de simulation. (En pratique, ce sont les données de puits dont la position et les faciès géologiques sont connus.) Au cours de la simulation, chaque point simulé devient lui- zz. Ainsi, le nombre maximal des points simulés qui seront prises en compte pendant la simulation est limité par la taille de fenêtre d’exploration. L’exemple d’un voisinage simulé de trois points est présenté sur la Fig. 15.