Assemblage de structures une à une invariantes dans une direction

 Le Bras Elastomérique, ou encore E.F.B. (1), est développé dans l’industrie aéronautique par la société Eurocopter. Il est composée d’une centaines de baguettes en composite (carbone unidirectionnel ou verre unidirectionnel) noyées dans différentes matrices et doit assurer la liaison entre le moyeu rotor et la pale d’un hélicoptère. Cette pièce remplace les trois articulations des moyeux classiques dans le but de diminuer les forces aérodynamiques ainsi que les coûts d’entretien. Les écarts entre les différentes caractéristiques des matériaux constitutifs font qu’il apparaît de nombreux problèmes mécaniques tels que la fissuration, des concentrations de contraintes ou encore des problèmes de fatigue exigeant une connaissance précise de certains résultats mécaniques comme les champs de contraintes et de déplacements [Aérospatiale, 1997]. On s’attache aussi à déterminer l’amortissement global de la pièce . La détermination de grandeurs à la fois globales telles que l’amortissement, mais aussi locales comme la détermination précise d’une discontinuité ou d’une concentration du champ des contraintes obligent à une modélisation complète et fine de la pièce. Numériquement, le nombre insuffisant de baguettes et la trop grande hétérogénéité entre les différents matériaux rendent difficile et peu fiable un calcul par homogénéisation [Delorme, 1997]. On est donc amené à résoudre le problème 3D complet par la méthode des éléments finis et ce en tenant compte des non-linéarités géométriques imputables à la force centrifuge. Ce problème qui nécessite plusieurs millions de degrés de libertés, est résolu par la combinaison de différentes méthodes de sous structuration. On présente, dans un premier temps, les deux différentes méthodes de sous structurations utilisées. Puis est présenté l’algorithme mis en place de façon à combiner ces deux méthodes. On étudie par la suite, trois cas de chargement rencontrés en condition de vol par le Bras Elastomérique. Enfin, on détermine l’amortissement de la pièce sous une sollicitation de traînée. IV.2 Méthodes de sous structuration Les techniques de sous structurations sont de plus en plus utilisées. Elles présentent en effet de nombreux avantages comme notamment : – la préparation et la vérification des modèles de sous-structures indépendamment les uns des autres, – la modification d’une sous structure indépendamment des autres, – la possibilité de résoudre un problème présentant un nombre important de degrés de liberté en le ramenant à plusieurs calculs de tailles raisonnables, – la minimisation de la préparation des données et du temps de calcul dans le cas de structures constituées de sous-ensembles identiques – la compatibilité avec les résolutions parallèles.

Méthode classique

On se place dans le cas d’une d’une structure divisée en sous structures de niveau 1 (FIG. IV.1). On distingue, pour chaque sous structure s, les degrés de liberté internes (q s i ) et ceux de liaison (q s j ).

Méthode de sous structuration multi-niveau

Introduction 

Cette méthode, développée par Delorme [1997], peut être appliquée à toute structure invariante dans une direction. L’idée générale est d’assembler deux couches identiques d’éléments et d’éliminer les noeuds milieux. la première couche ayant un seul élément dans la direction d’invariance et étant de longueur L0, après n pas de cette méthode, on obtient la matrice de rigidité, condensée aux extrémités, d’une structure de longueur 2 nL0 et composée de 2 n éléments dans suivant l’axe d’invariance (voir FIG. IV.4). 

Propriété des structures invariantes dans une direction 

Hypothèse IV.1 – Seules des structures possédant une propriété d’invariance dans la direction z sont prises en compte, – on considère le plan (O, x, y) comme un plan de symétrie de la structure, – le comportement est considéré élastique linéaire (cf remarques I.3 et I.5), Les degrés de libertés d’une telle structure son associés à des points géométriques appelés noeuds et répartis de manière symétrique par rapport au plan (O, x, y). Les d.d.l. mesurés suivant la direction z sont affectés de l’exposant « z », ceux associés à x et y sont indifféremment affectés de l’exposant « p ». On différencie enfin les degrés de liberté situés à droite (z ≥ 0) et à gauche (z ≤ 0) du plan de symétrie par respectivement « d » et « g ». Les mêmes notations sont adoptées pour les forces nodales. Ainsi, si K est la matrice de raideur de la structure, F et u respectivement ses vecteurs forces nodales et degrés de liberté.

Détermination de la solution complète sur la structure

L’obtention de la solution complète s’obtient de manière récursive (FIG. IV.5) à partir de la solution sur le super-élément, c’est à dire aux extrémités de la structure. En effet, on remarque que si l’on connaît ( iug, iud), les déplacement aux extrémités du tronçon de l’étape i (FIG. IV.5), il est possible par la relation (IV.20) d’accéder aux déplacements des noeuds localisés sur le plan de symétrie de ce même tronçon, ces déplacement devenant à leur tour les déplacements extrêmes des tronçons de l’étape i − 1. 

Assemblage de structures une à une invariantes par translation

 On traite maintenant le cas d’une structure pouvant être vue comme un assemblage de s sous structures, chacune de ces entités étant invariante par une translation de même direction (l’axe z). L’idée est ici de remplacer ces sous structures par leur super-élément équivalent obtenu par la méthode de sous structuration multi-niveau présentée § IV.2.2. La structure complète est alors vu comme un assemblage de super-éléments sur lesquels, il est alors possible d’appliquer la méthode de sous structuration classique décrite § IV.2.1. 

Organisation des calculs 

L’organisation des calculs s’articule autour de cinq étapes. La première et la dernières correspondent aux deux étapes de la sous structuration multi-niveau et les trois autres se rapportent aux 3 étapes d’une sous structuration classique. De manière plus détaillée : 1. On détermine les s matrices de rigidité nkKk (k ∈ 1 . . . s) condensées aux extrémités de chacune des s structures, en accord avec les notations de (IV.18).