Bruit et fluctuations dans les écoulements de fluides complexes

Quelques propriétés de l’instabilité de Saffman-Taylor dans les fluides complexes

A ce stade, précisons que cette section n’a pas pour ambition de faire la synthèse des résultats ayant trait à l’instabilité de Saffman-Taylor dans le cas o`u le fluide le plus visqueux est non-newtonien. Nous souhaitons ici simplement décrire ce qu’est un doigt de SaffmanTaylor et résumer les principales propriétés de ce dernier lorsqu’il est constitué d’air et qu’il évolue dans une celulle de Hele-Shaw linéaire remplie d’un fluide non-newtonien. Commen¸cons par discuter très brièvement l’instabilité de Saffman-Taylor dans le cas de deux fluides newtoniens. Lorsqu’on pousse à l’aide d’un fluide newtonien peu visqueux un fluide newtonien plus visqueux dans une cellule horizontale et quasi 2D (largeur L, épaisseur b, Fig. 5.2), on constate que l’interface entre les deux liquides se déstabilise en plusieurs doigts sous l’action du gradient de pression (Saffman & Taylor, 1958). Un seul de ces doigts survit en régime stationnaire pour lequel on constate expérimentalement que sa largeur est reproductible, décroˆıt lorsque la vitesse augmente, et tend vers la moitié de la largeur de la cellule à grande vitesse (Saffman & Taylor, 1958; Bensimon et al., 1986). Evaluons la largeur relative du doigt à celle de la cuve, notée λ, en fonction de la viscosité η du fluide que pousse l’air et de la tension de surface γs entre le fluide et l’air. La vitesse v d’avancée du doigt est imposée par le gradient de pression suivant la loi de Darcy v = −b 2/(12η)∇P (Oswald, 2005), ce qui, pour un doigt de largeur λL, s’écrit aux dimensions : η v b 2 ≃ ∆P λL ≃ γs (λL) 2 (5.1) puisque le saut de pression ∆P à l’interface est fixé par la tension de surface γs. On voit ainsi apparaˆıtre de fa¸con naturelle le nombre capillaire défini par Ca ≡ ηv/γs comparant l’intensité des effets visqueux à ceux des effets capillaires, et de la relation précédente on tire l’expression de la largeur relative du doigt : λ ≃  b L 2 1 Ca (5.2) Cette expression, en accord avec les dépendances expérimentales, a en plus le mérite de montrer que la largeur du doigt est une fonction du nombre sans dimension noté 1/B et défini par 1/B ≡ 12 Ca (L/b)2 . On constate expérimentalement que le doigt est stable en de¸cà d’une valeur seuil du paramètre 1/B, et que, pour des vitesses de propagation suffisamment élevées, le doigt se ramifie en plusieurs doigts plus petits.

Quelques propriétés de l’instabilité de Saffman-Taylor dans les fluides complexes

Cas des solutions rhéofluidifiantes

Considérons le cas de solutions aqueuses rhéofluidifiantes présentant des effets élastiques négligeables. De telles solutions peuvent ˆetre obtenues en utilisant des polymères rigides comme le xanthane. On observe alors que, comparativement au cas newtonien, le doigt est plus mince et plus stable (Bonn & Meunier, 1997; Lindner, 2000; Lindner et al., 2002). L’amincissement du doigt est dˆu à l’anisotropie des contraintes, cette anisotropie étant liées à la rhéologie non-linéaire du fluide. En effet, c’est à la pointe du doigt que le taux de cisaillement est le plus fort et la viscosité la plus faible, ce qui favorise la ’fuite en avant’ du doigt et son amincissement. Une telle interprétation peut ˆetre confirmée en introduisant une anisotropie artificielle sous forme de perturbation extérieure, comme un fil tendu à l’intérieur de la cellule sur sa longueur (Zocchi et al., 1987), ou l’utilisation d’une cellule dont l’une des faces est rayée sur sa longueur (Couder et al., 1986; Rabaud et al., 1988) ; Ces deux perturbations introduisent une direction de croissance privilégiée suivant la longueur de la cellule comparable à l’anisotropie longitudinale présente dans une solution rhéofluidifiante. On retrouve en effet dans ces deux cas un amincissement du doigt. La stabilité du doigt sur une large gamme de valeur du paramètre 1/B ne semble quant à elle pas ˆetre complètement comprise. Elle pourrait ˆetre liée aux effets élastiques jamais totalement absents des solutions de xanthane (Lindner, 2000). Enfin soulignons qu’il est possible de retrouver théoriquement la diminution de la largeur du doigt, dans la cas o`u la viscosité décroˆıt comme une loi de puissance du taux de cisaillement (loi d’Ostwald-de Waehle) (Corvera Poiré & Ben Amar, 1998). Le paramètre 1/B introduit précédemment reste dans ce cas la bonne grandeur adimensionnée décrivant l’évolution de la largeur du doigt, à condition de tenir compte de la dépendance de la viscosité η en fonction du taux de cisaillement dans l’expression du nombre capillaire (Lindner, 2000).

Cas des solutions viscoélastiques

Dans le cas de solutions possédant des propriétés élastiques fortes (contraintes normales et viscosité élongationnelle élevées), comme c’est le cas par exemple des solutions de polymères flexibles type PEO, on observe l’effet opposé : le doigt en régime stationnaire est plus large que dans le cas newtonien (Bonn et al., 1995; Lindner et al., 2002). S’il est clair que ce sont les contraintes normales, et non la viscosité élongationnelle, qui sont responsables de l’élargissement, le mécanisme, complètement différent de celui observé dans les solutions rhéofluidifiantes de xanthane, semble encore assez mal compris (Lindner, 2000; Oswald, 2005). Néanmoins, le paramètre 1/B peut ici encore ˆetre modifié de fa¸con empirique (ajout d’un terme de pression d’origine élastique proportionnel à la première différence des contraintes normales N1) de fa¸con à décrire de fa¸con satisfaisante les courbes expérimentales (Lindner, 2000). 5.2.3 Cas des fluides à seuil. Enfin, dans le cas d’un fluide à seuil, lorque la différence de pression imposée est juste supérieure au seuil du fluide, le doigt a tendance à présenter de nombreuses ramifications dont la largeur caractéristique est indépendante de la vitesse. Dans ce cas, la mesure de la largeur des doigts en fonction de la contrainte seuil est en accord avec l’analyse de stabilité linéaire (Coussot, 1999; Lindner et al., 2000). Pour des différences de pression supérieures 88 Ecoulement d’air dans un fluide complexe. Fig. 5.3 – (a) Croquis du dispositif expérimental. De l’air est injecté à débit constant D dans une chambre de volume V = 63 cm3 , connectée par une trou de diamètre d à la base d’une fine couche d’épaisseur s d’un matériau granulaire immergé sous une colonne d’eau de hauteur h. Les auteurs mesurent la pression dans la chambre V . (b) et (c) Signaux de pression typiques. Ou bien la pression présente des variations en dents de scie de grande amplitude, caractéristiques de l’émission de bulles individuelles (chaque chute de pression correspond alors à l’émission d’une bulle), ou bien la pression fluctue autour de sa valeur minimale, Pmin, ce qui traduit l’existence d’un canal d’air traversant toute la couche de grains. (a) et (b) extraits de (Gostiaux et al., 2002) ; (c) extrait de (Varas et al., 2009). . au seuil, le fluide se comporte de fa¸con intuitive comme un fluide fortement rhéofluidifiant5 et on retrouve un doigt unique dans la cellule. La largeur de ce doigt décroˆıt alors avec la vitesse et on peut retrouver des valeurs de cette largeur adimensionnée λ, inférieures à 1/2 pour des vitesses élevées, comme discuté au paragraphe 5.2.1 (Lindner, 2000; Lindner et al., 2000). Retenons pour la suite que, dans le cas des fluides à seuil et rhéofluidifiants, les doigts de Saffman-Taylor ont tendance à ˆetre plus fins et plus stables que dans le cas newtonien pour peu que les pressions mises en jeu soient supérieures au seuil du fluide. Mentionnons aussi pour conclure cette courte revue que, dans le cas d’un fluide newtonien contenant des grains dans la limite des faibles fractions volumiques (la solution reste newtonienne), la seule présence des grains peut suffire à abaisser fortement le seuil de stabilité du doigt de SaffmanTaylor ; dans ce cas, la largeur relative du doigt reste inchangée par rapport au cas newtonien traditionnel (Chevalier, 2007; Chevalier et al., 2007). 5.3 Emission d’air à travers une couche de grains immergée. Discutons à présent le cas o`u l’air n’est plus directement injecté dans la cellule de HeleShaw disposée verticalement6 , mais passe d’abord au travers d’une chambre de volume V . Cette dernière impose une certaine élasticité au système par le biais de la compressibilité du gaz qu’elle renferme. Un doigt possède alors une durée de vie finie ce qui se traduit par des 5Rappelons qu’un fluide à seuil n’est rien d’autre qu’un fluide rhéofluidifiant dans une gamme de contrainte très restreinte, voir par exemple pages 26-28 de (Oswald, 2005). 6Précisons que placer la cellule verticalement permet d’évacuer l’air sous la forme d’une bulle remontant sous l’effet de la poussée d’Archimède.

Emission d’air à travers une couche de grains immergée

Fig. 5.4 – Canal piégé dans une couche de grains immergée placée dans une cellule de Hele-Shaw en position verticale. Noter la forte ressemblance de la tˆete d’un tel canal avec les doigts de Saffman-Taylor pouvant ˆetre obtenus avec d’autres fluides complexes dans une cellule de Hele-Shaw en position horizontale. Extrait de (Gostiaux et al., 2002). oscillations en dents de scie de la surpression dans la chambre V (paragraphe 5.3.1). Une telle expérience revient donc à émettre périodiquement dans une cellule de Hele-Shaw verticale, un unique doigt de Saffman-Taylor constitué d’air et entouré d’un fluide complexe. On sent naturellement que les propriétés non-linéaires du fluide et en particulier les effets de mémoire (thixotropie, viscoélasticité, etc) vont jouer un rˆole important sur la dynamique de ce doigt. Les conditions d’émission d’un tel doigt à travers une couche de granulaire immergée ont été étudiées dans deux types de cellules verticales : une cellule de Hele-Shaw (Gostiaux et al., 2002; Varas et al., 2009) ainsi qu’un tube simple (Gostiaux et al., 2002). Dans les deux cas les résultats sont très similaires, comme nous allons le voir dans le paragraphe suivant. 

Intermittence entre deux modes de dégazage à débit constant

L’expérience consiste à injecter de l’air à un débit D dans une chambre de volume V directement connectée, par un orifice de diamètre d, à la base d’une fine de couche de grains immergée sous une hauteur d’eau h [Fig. 5.3 (a)]. Les auteurs mesurent la pression P(t) à l’intérieur de la chambre dont l’évolution au cours du temps donne accès à la dynamique de dégazage à travers la couche du matériau granulaire [Fig. 5.3 (b)]. En effet, à débit imposé, la pression dans la chambre monte jusqu’à atteindre un seuil fixé par la tension de surface air/eau et le diamètre des grains. Un doigt nuclée alors depuis buse émettrice (chute rapide de la pression), puis se pince pour donner naissance à une bulle qui traverse la couche et vient exploser à la surface libre de l’eau (régime bulle). Un doigt peut réussir à percer la totalité de la couche de grains sans se détacher du trou d’émission pour former un canal ouvert, (régime canal ouvert) de durée de vie variable. Au cours de cette durée la surpression dans la chambre est constante, égale au poids de la colonne d’eau qui la surplombe [Fig. 5.3 (c)]. Lorsque ce canal s’effondre, le système retourne alors dans un régime d’émission de bulles. Pour nous, un point essentiel de la référence (Gostiaux et al., 2002) qu’on retrouve aussi mentionné dans (Varas et al., 2009), est l’existence, à débit d’air constant, d’une dynamique intermittente entre ces deux modes de dégazage : le système oscille spontanément entre régime bulle et régime canal ouvert [Fig. 5.3 (c)]. Nous monterons au chapitre suivant que cette propriété est générale pour les fluides complexes rhéofluidifiants, comme le sont les granulaires immergés. 

Signature du fluide complexe dans les fluctuations de pression

On constate que si le minimum de pression, Pmin, atteint après l’émission d’une bulle est constant, le maximum de pression, Pmax, préfigurant cette émission fluctue quant à lui 7On pourra lire le chapitre 3 de (Géminard, 2003) qui décrit cette expérience dans le cadre des milieux poreux déformables, et fait le lien avec la problématique plus large du vieillissement des matériaux granulaires. 90 Ecoulement d’air dans un fluide complexe. de 10 % environ autour de sa valeur moyenne [Fig. 5.3 (b)]. Ces fluctuations sont à associer au fait qu’après chaque émission d’une bulle, un doigt peut rester piégé dans la couche de grains (Fig. 5.4). Ce dernier n’est séparé de la couche d’eau que par un petit bouchon de grains dont la rupture va contrˆoler le seuil de pression nécessaire à l’émission de la bulle suivante. Les fluctuations de Pmax sont à relier à l’état de compacité des grains formant ce petit bouchon (Gostiaux et al., 2002). Soulignons donc que les fluctuations des maxima de pression renseignent sur l’état du matériau granulaire8 . Dans le chapitre suivant nous rapportons une étude expérimentale similaire dans laquelle le fluide complexe n’est plus un matériau granulaire immergé, mais un fluide à seuil rhéofluidifiant et thixotrope. Nous montrerons notamment que les variations de pression et leurs fluctuations contiennent des signatures du fluide complexe similaires à celles que nous venons de souligner. Une telle étude aura de plus l’avantage de pouvoir ˆetre comparée aux modes de dégazage d’un système naturel : le magma. Nous présentons donc, dans la dernière partie de ce chapitre, quelques aspects du dégazage du magma, en se restreignant au cas des volcans effusifs. Nous soulignerons l’aspect intermittent de ce dernier et ferons le lien avec ce que nous venons de voir.