Calcul de coefficients de singularités dans un domaine polygonal non convexe et simulation numérique

Introduction

 Les équations aux dérivées partielles (EDP), associées à certaines bonnes classes d’opérateurs,fournissent des modèles mathématiques de quantités de phénomènes. L’application des EDP est un domaine en pleine expansion de par son impact sur de nombreux domaines technologiques comme l’aéronautique, le trafic routier, la biologie,le traitement de cancer, électrostatique,… Les équations aux dérivées partielles permettent de décrire l’évolution temporelle et spatiale de ces champs d’applications. Elles peuvent ˆetre hyperboliques,paraboliques o`u elliptiques. Beaucoup de structures industrielles et d’objets de la vie quotidienne présentent volontairement ou non des formes particulières : coins, pointes, arˆetes, fissures : on dit qu’ils présentent des singularités. Et la présence de ces singularités peut présenter un disfonctionnement au sein des dispositifs qui les présentent. On peut noter entre autre (fragilité ou rupture en mécanique, claquages en électromagnétisme). En electrotechnique il est aussi noté qu’au voisinage des pointes ou des arˆetes d’un dispositif le champ électrique et/ou magnétique peut ˆetre très intense et donner lieu à des phénomènes indésirables. L’étude des EDP définies dans de tels domaines présente des difficultés potentielles car il y a aussi la présence des singularités qu’il faut gérer. La régularité de la solution d’un problème elliptique dépend dans le cas d’un ouvert régulier, de la régularité des données du problème. Ce résultat n’est plus vrai si l’ouvert présente des singularités. Dans le cas o`u l’ouvert est à coins, la régularité de la solution dépend aussi bien de la régularité des données que de la géomètrie du domaine. Au plan mathématique l’analyse des problèmes aux limites définis dans ces domaines met en évidence le comportement singulier des solutions au voisinage de ces coins, on peut citer par exemple, les travaux de P.Grisvard, de M.T.Niane. La détermination des coefficients de singularités intervenant dans l’expression des solutions des systémes représentant ces phénomènes est donc importante. Dans notre travail nous allons dans un premier temps faire un rappel sur la régularité de la solution du Laplacien dans un domaine régulier, dans un second temps, nous allons calculer les coefficients de singularités de la solution si le domaine présente un coin et nous terminerons par faire une approximation numérique des coefficients de singularités.

 Position du problème

 Soit Ω un domaine polygonal non vide de R 2 ayant n + 1 sommets (Si)0≤i≤n. Pour i ∈ {0, . . . , n − 1} , Γi désigne l’arˆete comprise entre Si et Si+1 et Γn celle comprise entre Sn et S0. Soit Γ la frontière de Ω, on a Γ = Sn i=0 Γi . Désignons par ΓD(respectivement ΓN ) la partie de la frontière portant une condition de Dirichlet(respectivement de Neumann), Γ = ΓD ∪ ΓN . A chaque sommet Si , on note ωi l’angle rentrant que fait Γi−1 et Γi pour i ∈ {0, . . . , n} mesuré dans le sens trigonométrique et ω0 celui entre Γ0 et Γn au sommet S0. Pour i ∈ {0, . . . , n}, le couple(ri , θi) représente les coordonnées polaires d’un point M de Ω relativement au sommet Si . Pour i ∈ {0, . . . , n} et  un réel positif suffisamment petit, ηi désigne une fonction de troncature associée au sommet Si qui vérifie ηi ∈ D(R 2 ), ηi |B(Si ,  2 ) = 1, suppηi ⊂ B(Si , ), 0 ≤ ηi ≤ 1 et supp(ηi) T supp(ηj ) = ∅ pour i 6= j.

Décomposition de la solution 

Des études faites sur les problèmes elliptiques dans des domaines à coins ont montré que la solution du problème (1) se décompose en une partie régulière et une autre partie singulière, c’est-à-dire qui n’est pas dans H2 (Ω). Cette section sera consacrée à l’élaboration de ce résultat. Considérons le sous espace W de H2 (Ω) des solutions régulières pour le problème (1) 

Calcul direct des coefficients de singularités 

Pour calculer les coefficients de singularités du probléme(1), nous utiliserons la méthode introduite par M. Moussaoui[3]. Par cette méthode, les coefficients de singularités sont obtenus comme produit direct entre les fonctions singulières duales et les données du problème. Nous nous limiterons au cas Dirichlet, les autres cas s’obtenant de fa¸con analogue.

Analyse numérique des coefficients de singularités

 La solution d’un problème elliptique défini dans un domaine polygonal non convexe peut parfois ˆetre obtenue analytiquement. Toutefois, dans la plupart des cas les solutions analytiques ne sont pas accessibles. L’analyse numérique est un moyen permettant d’approcher au mieux, les solutions de tels problèmes. L’idée de base consiste à ne résoudre que la valeur des fonctions inconnues en un grand nombre fini de points : il s’agit de la discrétisation. Au lieu de résoudre un problème différentiel ou problème continu, on résoud un grand système algébrique qu’on appelle le problème discret. Les problèmes discrets dérivant des phénomènes physiques et mathématiques se caractérisent par leur très grande taille et on ne peut envisager leur résolution qu’avec les progrés récents de l’informatique et l’avénement de super calculateur. Pour obtenir des problèmes discrets on utilise des méthodes numériques tels ques les éléments finis qui sont à la base de nombreux logiciels utilisés pour la simulation numérique de beaucoup de modèles mathématiques et physiques. Dans ce qui suit nous allons faire une approximation numérique des coefficients de singularités du problème (1) par la méthode des éléments finis et nous utiliserons comment logiciel FreeFem++ du laboratoire J. L. Lions.

 Formulation variationnelle et discrétisation du domaine 

Formulation variationnelle 

Considérons le problème(1). On rappelle la formulation variationnelle associée à (1). T rouver u ∈ V telque a(u, v) = l(v), ∀v ∈ V. (23) a(., .) est la forme bilinéaire symètrique sur V ×V définie par (3) et l(.) est la forme linéaire sur V définie par (4). On rappelle que ce problème admet une unique solution d’après la proposition(2.1). 

 Discrétisation du domaine 

Soit (τh) une triangulation régulière de Ω en triangle de diamètres infèrieures à h, h étant un paramètre positif tendant vers zéro. Ω = ∪Tk∈τh Tk , Tk ∩ Tl = ∅ si k 6= l, h = maxdiamTk∈τh (Tk) est le pas du maillage. On définit l’espace d’éléments finis de Lagrange de dégré 1 Vh = {vh ∈ V telque vh|Tk ∈ P1(Tk), ∀Tk ∈ (τh)h} P1(T) est l’ensemble des polynˆomes à coeffients réels de degré inférieur ou égal à 1 sur T. On définie l’espace Vh comme étant le sous de L 2 (Ω) formé de fonctions vh dont la