Certification et pilotage des stratégies de couplage non-intrusif

Dans ce chapitre, nous établissons l’estimation d’erreur sur une quantité d’intérêt (introduite dans le chapitre 3) à partir de la méthode des résidus d’équilibre pondérés pour le couplage global-local non-intrusif. Nous montrons qu’il est possible de séparer l’estimateur d’erreur en plusieurs indicateurs d’erreur permettant de mettre en évidence les erreurs venant du modèle grossier choisi pour le couplage, du raffinement des maillages et du nombre d’itérations afin d’adapter la définition du couplage vis-à-vis d’une quantité d’intérêt, ce qui permet de calculer juste au juste coût. En outre, nous montrons l’utilisation d’un couplage non-intrusif s’avère être bénéfique pour le calcul des différents indicateurs d’erreur. Ces travaux font l’objet de l’article .

Méthode des résidus pondérés dans le cadre du couplage non-intrusif

Dans le cas d’un couplage local-global, l’enrichissement de l’espace d’approximation du pro- blème adjoint permettant de calculer le second terme de (7.5) se traduit par :(un zoom numérique) venant d’un comportement initial régulier défini sur tout le domaine Ω. Nous choisissons dans la suite un autre point de vue, où le problème couplé dérive d’un modèle de référence initial dans lequel un comportement complexe est introduit partout sur Ω. Cela permet d’avoir une définition consistante de la solution de référence pour laquelle les mesures d’erreur sont définies dans la suite.Par ailleurs, afin de réduire encore plus le coût de calcul sans trop dégrader la qualité de l’estimateur d’erreur, il est possible d’approximer la fonctionnelle des résidus R (initialement définie à partir du modèle de référence) en considérant l’espace d’approximation enrichi utilisé pour résoudre le problème adjoint. Néanmoins, une telle approximation ne permet pas d’éliminercorres- pondent, respectivement, aux sources d’erreur de modèle, de discrétisation et de convergence. Les indicateurs de ces sources d’erreur sont définis de la façon suivante :

Implémentation des indicateurs d’erreur

D’un point de vue de l’implémentation numérique, le calcul de l’estimateur ηreste inchangé.Par ailleurscomme déterminé précédemment, le calcul de l’indicateur de modèle peut s’avérernécessite lui aussi un important coût de calcul car la zone locale doit être la plus large possible et avec un maillage fin partout. En pratique, en utilisant l’aspect non-intrusif du couplage dans lequel le problème global reste inchangé même si le problème local change, cet estimateur peut être facilement évalué en additionnant les contributions d’erreur d’un ensemble de problèmes adjoints dont la zone locale se déplace sur tout le domaine.Les solutions des problèmes primal et adjoint définies suite à un algorithme local-global doivent être reconstruites afin d’obtenir les solutions sur tout le domaine (voir (9.1)). Afin de simplifier la reconstruction de ces champs (et dans la suite leur communication lors des calculs des résidus) qui peuvent être de tailles différentes (dû à un maillage plus large ou plus fin), ils sont tous projetés sur une grille très fine. Les fonctions de forme EF classiques et leurs dérivées sont évaluées aux points de Gauss de cette grille ce qui permettra de calculer les déformations) précédemment explicités, on définit un algorithme d’adaptation. Nous proposons ici un algorithme glouton relativement proche de ceux proposés dans [9, 120, 121, 134, 144, 158, 165] (dénommé algorithme GOALS). La méthode a pour but d’automatiquement améliorer les paramètres de la méthode de couplage local-global (forme de Ω.

Bilan : Dans ce chapitre, nous avons reformulé l’expression de l’erreur en résidus dans le cas par- ticulier d’un couplage non-intrusif. L’erreur globale faite sur ce couplage vis-à-vis d’une quantité d’intérêt (déplacement, contrainte…) a été séparée en trois sources d’erreur : l’erreur de mo- dèle, l’erreur d’itération et l’erreur de discrétisation. Un algorithme glouton a été mis en place à partir des indicateurs d’erreur correspondants afin d’adapter le couplage pour lui certifier une certaine exactitude vis-à-vis d’une quantité d’intérêt. Le caractère non-intrusif du couplage permet d’évaluer localement l’impact des contributions d’erreur (en ajoutant des patchs locaux dans le problème adjoint). La solution du problème adjoint ne nécessite donc pas de ressources de calcul supplémentaires mais simplement la définition de problèmes individuels et contrôlés qui peuvent être résolus en parallèle. L’évaluation des différents indicateurs d’erreur de couplage et la mise en place d’un algorithme adaptatif est développé dans le chapitre 8 sur différents exemples.