Chaînes de Markov triplets avec bruit à dépendance longue

Nous introduisons la notion de dépendance longue dans les modèles de Markov triplets. La dépendance longue, appelée également mémoire longue, se traduit par une corrélation persistante entre les marginales d’un processus. Cette persistance peut être due à des phénomènes fractals, comme dans les bruits gaussiens fractionnaires. Elle peut être également due à des phénomènes saisonniers, comme dans les processus de Gegenbauer . Les phénomènes fractals et saisonniers se retrouvent notamment dans les données financières , ou dans les images naturelles [66, 69, 92]. Parmi les autres applications de la dépendance longue, on peut citer le traitement des protocoles TCP/IP, ou encore la modélisation des précipitations et intempéries. Nous commençons par définir la notion de processus à dépendance longue et donnons les principaux exemples. Ensuite, nous verrons comment modéliser des observations à dépendance longue à l’aide du modèle des “chaînes couples (resp. triplets) partiellement de Markov” introduit dans [98]. En particulier, nous proposons un nouveau modèle de chaîne semi-markovienne cachée par du bruit à mémoire longue. Nous proposons un algorithme ICE original, demandant des aménagements importants de son principe général, permettant d’estimer les paramètres de notre modèle à observations à dépendance longue. Pour finir, nous proposerons la modélisation de la dépendance longue dans des processus non gaussiens à l’aide des copules. Diverses simulations informatiques valident l’intérêt des nouveaux modèles et traitements non supervisés associés.

Processus à dépendance longue

Soit Y = (Yn)n∈Z un processus réel. On dira qu’il est du second ordre si pour tout n ∈ Z, Yn est de carré intégrable, et qu’il est stationnaire du second ordre si sa covariance E(YnYn−k) − E(Yn)E(Yn−k) ne dépend pas de n. On la note alors γ(k) et on a γ(k) = γ(−k). La famille (γ(k))k∈Z sera appelée famille de covariances. Définition 5.1.1 (Dépendance longue). Soit Y = (Yn)n∈Z un processus réel stationnaire du second ordre et de famille de covariances (γ(k))k∈Z. Le processus Y est à dépendance longue s’il existe α ∈]0, 1] et C ∈ R tels que : lim k→+∞ k α γ(k) = C. On notera alors γ(k) ∼+∞ Ck−α . Remarque : La covariance d’un processus à mémoire longue satisfait X k∈N γ(k) = +∞. Lorsque γ(k) ∼+∞ Ck−α pour α > 1, on dit que Y est à dépendance intermédiaire. Dans les deux sous-sections suivantes, nous donnons les principaux exemples de processus à dépendance longue et leurs propriétés. 

Processus auto-similaires et bruits gaussiens fractionnaires

Un bruit gaussien fractionnaire est défini comme le processus d’accroissements d’un mouvement brownien fractionnaire, ce dernier étant défini comme un processus à temps continu possédant des propriétés d’auto-similarité. Nous préciserons ces notions ci-après. Mouvements browniens fractionnaires et auto-similarité On donne tout d’abord les définitions de processus auto-similaires et à accroissements stationnaires dont les mouvements browniens fractionnaires sont des cas particuliers. Définition 5.1.2 (Processus auto-similaire). Un processus réel à temps continu Z = (Zt)t∈R est auto-similaire d’indice H > 0 si pour tout a > 0, le processus (Zat)t∈R suit la même loi que (a H Zt)t∈R. L’indice H est appelé indice ou paramètre de Hurst. Définition

(Processus à accroissements stationnaires)

Un processus réel à temps continu Z = (Zt)t∈R est à accroissements stationnaires si pour tout h ∈ R les variables aléatoires Zt+h − Zt et Zh − Z0 ont mêmes lois. Définition

(Mouvement brownien fractionnaire)

Un processus réel à temps continu B = (Bt)t∈R est un mouvement brownien fractionnaire de paramètre de Hurst H > 0 s’il est gaussien, auto-similaire de paramètre H et à accroissements stationnaires. Un processus stationnaire du second ordre Z = (Zt)t∈R auto-similaire d’indice H et à accroissements stationnaires satisfait les propriétés suivantes : 1. Z0 = 0 ; 2. Si H 6= 1, alors E(Zt) = 0 pour tout t ∈ R ; 3. Z−t et −Zt suivent la même loi ; 4. Soit ΓH(s, t) = E(ZtZs) et σ 2 = E(Z 2 0 ). Si H 6= 1, alors : ΓH(s, t) = σ 2 2 [|t| 2H + |s| 2H − |t − s| 2H ] 5. H ≤ 1 ; 6. Si H = 1, Zt = tZ1 pour tout t ∈ R ; 7. Si Z est un mouvement brownien fractionnaire de paramètre de Hurst H, alors la dimension de Hausdorff de la trajectoire (t, Zt)t∈R est égale à 2 − H (pour la définition de la dimension de Hausdorff, se reporter à l’annexe B).

Bruits gaussiens fractionnaires 

Un bruit fractionnaire est le processus d’accroissements d’un processus auto-similaire à accroissements stationnaires, soit : Définition 5.1.5 (Bruit fractionnaire). Un processus stationnaire du second ordre Y = (Yn)n∈Z est un bruit fractionnaire de moyenne m s’il existe un processus auto-similaire à accroissements stationnaires Z = (Zt)t∈R tel que : ∀n ∈ Z, Yn = Zn+1 − Zn + m. Lorsque le processus Z est un mouvement brownien fractionnaire, Y est appelé “bruit gaussien fractionnaire”. Soit Y = (Yn)n∈Z un bruit fractionnaire et Z = (Zt)t∈R le processus auto-similaire de paramètre H à accroissements stationnaires associé à Y . Le bruit fractionnaire Y vérifie les propriétés suivantes : 1. Pour tout n ∈ Z, E(Yn) = m ; 2. Soit σ 2 = E(Z 2 0 ). La famille de covariances de Y est donnée par : ∀k ∈ Z, γ(k) = σ 2 2 [|k + 1| 2H − 2|k| 2H + |k − 1| 2H] ; (5.1) 3. On a : (a) Si H = 1 2 , alors γ(k) = 0 pour k 6= 0 ; (b) Si H < 1 2 , alors γ(k) < 0 pour k 6= 0 ; (c) Si H > 1 2 , alors γ(k) > 0 pour k 6= 0 ; 4. Si H 6= 1 2 , alors γ(k)∼+∞σ 2H(2H − 1)k 2H−2 ; (5.2) 5. On a : (a) Si H = 1 2 , alors Y est un bruit blanc ; (b) Si H < 1 2 , alors 2H − 2 < −1 et Y est à dépendance intermédiaire ; (c) Si H > 1 2 , alors 2H − 2 > −1 et Y est à dépendance longue