CONVECTION NATURELLE DANS UNE ENCEINTE ELLIPTIQUE

La convection naturelle dans les enceintes fermées a fait l’objet de multiples travaux, étant donné son implication dans de nombreux phénomènes naturels et de processus industriels aussi bien transitoires que permanents. Parmi les travaux concernant les enceintes rectangulaires, on peut citer ceux de Wilkes et Churchill [1] qui ont utilisé la méthode des différences finies avec un schémas implicite aux directions alternés pour résoudre les équations de transfert bidimensionnelle et instationnaire dans une cavité rectangulaire et horizontale, quand l’une des parois verticales est chauffée et l’autre refroidie. Le cas d’un cylindre vertical partiellement rempli d’un liquide a aussi fait l’objet de divers travaux à cause, en particulier, de ses applications dans le domaine de l’alimentation (pasteurisation du lait et des boissons en boite par exemple) dominante. Pour la même géométrie, Lin et Akins[2] ont étudié le comportement transitoire de la convection naturelle, la température du fluide étant initialement uniforme. Le régime transitoire est par un changement de la température sur toute la paroi du cylindre. Ils ont présenté les lignes de courant, la localisation de la température minimale, les coefficients de transfert thermique et la température moyenne pour un rapport hauteur/diamètre égale 1, un nombre de Prandtl égale à 7 et un nombre de nombre de Rayleigh de 1 . Ils ont également établi une corrélation entre le nombre de Nusselt moyen et le temps adimensionnel. La convection naturelle à l’intérieur d’une cavité sphérique, qui a fait l’objet de moins de travaux que dans le cas d’autres enceintes, a été étudiée expérimentalement par Tyler et Tuck [3], Ils ont déterminé la variation de la température au centre de la sphère en fonction du temps pour différents gaz. Moshimaru [4] a étudié aussi numériquement le transfert de chaleur par convection naturelle à l’intérieur d’une cavité sphérique quand la paroi est portée à une température constante. La plus grande majorité des travaux concernant la convection naturelle dans des enceintes a été consacrée à la géométrie annulaire, formée par l’espace compris entre deux cylindres ou deux sphères. La première étude sur le transfert de chaleur dans un fluide compris entre deux cylindres horizontaux et coaxiaux a été faite par Beckmann [5] qui a évalué les taux de transfert de chaleur pour l’air, l’hydrogène et le dioxyde de carbone Prusa et Pao [6] ont examiné l’effet du déplacement vertical du cylindre interne dans un espace annulaire de rapport de rayons 2.6. Ils ont utilisé une transformation radiale pour faciliter l’écriture des conditions aux limites. Malgré les nombreux tests effectués l’affinement du maillage, ils n’ont observé aucun écoulement multicellulaire. Kuehn et Goldstein [7] ont mené une étude numérique dans le but de déterminer les effets du nombre de Prandtl et du rapport des rayons sur le transfert de chaleur. Ils ont utilisé la méthode des différences finies et la méthode de relaxations successives pour résoudre les équations de la convection naturelle, laminaire et bidimensionnelle en régime permanant. Mack et Bishop [8] ont étudié la convection naturelle stationnaire entre deux cylindres horizontaux coaxiaux pour de faibles valeurs du nombre de Rayleigh lorsque les deux cylindres sont maintenus à des températures uniformes et différentes. Ils ont utilisé un développement en séries entières du nombre de Rayleigh. Ils ont donné les champs des vitesses et des températures ainsi que les nombres de Nusselt locaux et moyens. Ils ont également montré que l’influence du nombre de Prandtl est faible dans le cas d’un gaz ou d’un liquide non métallique mais qu’elle est importante pour un liquide métallique. Crawford et al. [9] ont étudié numériquement la convection naturelle entre deux cylindres coaxiaux et horizontaux, en utilisant la méthode des différences finies et une procédure itérative de type Gauss-Seidel. Singh et Ellipt [10] ont étudié le problème de la convection naturelle d’un fluide thermiquement stratifié, compris entre deux sphères concentriques. Les espaces annulaires formés par des cylindres elliptiques d’axes horizontaux centrés ou excentrés ont aussi donné matière à des travaux, citons comme exemple : Schreiber et Shingh [11] qui ont fait une étude dans l’espace annulaire entre deux cylindre elliptiques maintenus à des températures constantes, ils ont utilisé la méthode du développement spectral en séries, pour réduire les équations aux dérivées partielles à trois systèmes d’équations différentielles du second ordre. Djezzar et al. [12] quant à ceux, ont étudié numériquement la convection naturelle dans un espace annulaire formé de deux cylindres elliptiques d’axes horizontaux et confocaux en utilisant la formulation en variables primitives, ils ont pu déceler des écoulements multicellulaires, pour certaines géométries quand le nombre de Grashof augmente, ceci pour les trois conditions thermiques pariétales utilisées.  

FORMULATION NUMERIQUE

 Dans le chapitre précédent, nous avons établi les équations de base qui régissent les phénomènes d’écoulements et de transferts thermique. Ces équations consistent en un système d’équations aux dérivées partielles non linéaires et fortement couplées. La solution d’un tel système analytique est extrêmement compliquée. On les résout donc numériquement Plusieurs méthodes sont disponibles dans la littérature. On peut en citer à titre d’exemple :  La méthode des différences finies  La méthode des volumes finis  La méthode des éléments finis Pour notre cas, nous allons utiliser la méthode des volumes finis très utilisée dans la solution numérique des problèmes de transferts thermiques qui ont été bien développée par Patankar [ ] et Spalding [ ] 

La méthode des volumes finis

 En analyse numérique, la méthode des volumes finis est utilisée pour résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles, comme la méthode des différences finies et celle des éléments finis. Contrairement à la méthode des différences finies qui met en jeu des approximations des dérivées, les méthodes des volumes finis et des éléments finis exploitent des approximations d’intégrales. Toutefois, la méthode des volumes finis se base directement sur la forme dite forte de l’équation à résoudre, alors que la méthode des éléments finis se fonde sur une formulation variationnelle de l’équation (on parle aussi de formulation faible). L’équation aux dérivées partielles est résolue de manière approchée à l’aide d’une discrétisation des équations en volume fini. Les volumes finis peuvent être construits autour de points d’un maillage initial, mais ce n’est pas une nécessité. Les méthodes de volumes finis ont été initialement mises au point pour des lois de conservation hyperboliques, mais des développements récents permettent à présent de les utiliser pour des équations elliptiques et paraboliques. Ces équations aux dérivées partielles contiennent des termes de divergence. En utilisant le théorème de flux-divergence, les intégrales de volume d’un terme de divergence sont transformées en intégrales de surface et ces termes de flux sont ensuite évalués aux interfaces entre les volumes finis. On utilise une fonction de flux numérique pour élaborer une approximation des flux aux interfaces. Puisque le flux entrant dans un volume donné est égal au flux sortant du volume adjacent, ces méthodes sont conservatives, donc parfaitement adaptées à la résolution de lois de conservation. Un autre avantage de la méthode des volumes finis est qu’elle est facilement utilisable avec des maillages non structurés car, en matière de discrétisation des lois de conservation, sa formulation ne tient aucun compte de la complexité du maillage. En revanche, les caractéristiques géométriques du maillage peuvent jouer un rôle prépondérant lorsque des flux diffusifs entrent en jeu. III.2.Volume l mentaire d’int gration On découpe notre figure selon les directions en un ensemble de volumes élémentaires ou « volume de contrôle » égaux à « H. ». (Le problème étant bidimensionnel, on prend l’unité dans la direction z comme épaisseur). Le centre d’un volume fini typique est un point P et ses faces latérales « est », « ouest », « nord » et « sud », sont désignées respectivement par les lettres : e, w, n et s. Chacun des volumes finis intérieurs est entouré de quatre autres volumes finis. Les centres de ces volumes sont les points E, W, N et S. Les variables scalaires (vorticité et température) sont stockées aux points centrés dans les volumes finis. Donc les équations de transfert variables scalaires sont intégrées dans le volume typique. Les nœuds E et N sont pris dans les directions des coordonnées positives de respectivement et les nœuds W et S dans les sens contraires. La figure III.2 représente un volume-fini typique et son voisinage dans un domaine de calcul. Figure III.2.Représentation schématique du volume de contrôle La figure III.2 représente un volume-fini typique et son voisinage dans un domaine de calcul, sur cette figure, le volume de contrôle entourant le nœud P est limité par les faces notées w, n, e et s .

CONCLUSION

 Nous avons étudié la convection naturelle bidimensionnelle et laminaire dans une enceinte elliptique, la paroi elliptique interne étant soumise à une densité de flux de chaleur constante alors que la paroi elliptique externe est toujours isotherme. Nous avons établi un modèle mathématique traduisant les transferts de mouvement au sein du fluide et chaleur à travers les parois actives de l’enceinte. Ce modèle repose sur l’hypothèse de Boussinesq et sur la bidimensionnalité de l’écoulement. Nous avons mis au point un programme de calcul numérique, basé sur une méthode aux volumes finis, qui permet de déterminer les champs de températures et la distribution de la fonction de courant dans le fluide, ainsi que les nombres adimensionnels de Nusselt locaux et moyens sur les parois de l’enceinte, en fonction des grandeurs caractérisant l’état du système. Une suite intéressante à ce travail serait de généraliser l’algorithme développé en appliquant d’autres conditions aux frontières de notre enceinte et d’examiner le transfert de chaleur correspondant à d’autres fluides tels que l’ammoniac liquide et le dioxyde de carbone liquide et les comparer au comportement thermique de l’air.