ELABORATION D’ UN NOUVEAU MODELE DE PREVISION DES FROTTEMENTS GARNITURE-PUITS

Dans ce chapitre, nous allons présenter la modélisation du comportement mécanique de la garniture de forage dans un puits de forage. La méthode utilisée est basée sur un couplage entre le système des équations d’équilibre de la structure soumise aux actions extérieures (poids déjaugé et frottements) avec un algorithme de contact unilatéral avec frottement. La résolution du problème posé se fait grâce à une méthode originale d’intégration directe et sans faire appel à des méthodes de discrétisation coûteuses en temps de calcul type éléments finis. Dans un premier temps, nous décrivons les propriétés géométriques des repères utilisés ainsi que les équations d’élasticités liants contraintes aux déformations dont nous avons besoin par la suite, dans la modélisation. Ensuite, nous passons à la formulation du modèle proprement dit . Dans cette partie, nous détaillons clairement les hypothèses adoptées et les étapes entreprises dans la modélisation (développement du formalisme complet, couplage avec l’algorithme de contact et incorporation des conditions aux limites) et nous finirons par expliciter la méthode de résolution du problème.  Repère de Frénet Etant donné une trajectoire tridimensionnelle d’un puits de forage pétrolier. Cette trajectoire . Ce dernier résultat est une conséquence mathématique qui est due uniquement à la manière avec laquelle le trièdre de Frénet a été construit. Nous verrons plus loin que cette propriété ne serait plus valable avec le trièdre physique d’inertie pour une tige. Repère d’inertie Pour connaître les vraies déformations de la garniture au sein du trou de forage, l’utilisation du repère d’inertie est indispensable. En effet, ce repère est associé à la section courante de la structure et suit son mouvement dû aux contraintes extérieures. Ce repère, dit mécanique, diffère généralement du repère, dit mathématique, de Frénet. En effet, le premier change avec les sollicitations extérieures (torsion, flexion…) alors que le deuxième ne dépend que de la forme géométrique de la ligne moyenne de la structure. Ce repère est constitué de deux vecteurs unitaires de la section courante et d’un troisième vecteur unitaire orthogonal au plan de la section.

Notons bien que, pour lier les valeurs des moments aux déformations, nous avons utilisé le repère mécanique d’inertie et non celui de Frénet. Maintenant, une fois ces moments connus, nous pouvons utiliser les relations liant le repère d’inertie en fonction du repère de Frénet pour exprimer les moments dans ce dernier repère. Par un simple calcul nous trouvons : Ces dernières relations sont très intéressantes. En effet, d’abord toute une composante du moment est nulle (à savoir Mn) réduisant le nombre des inconnues lors de la détermination des contraintes à l’intérieur de la structure (d’où l’utilité du repère géométrique de Frénet). Ensuite, contrairement aux moments de flexion Mn et Mb qui sont déterminés par la simple géométrie de la trajectoire de la structure (à savoir b) , le moment de torsion Mt ne sera connu à travers ces relations qu’une fois les paramètres d’inertie a et de la géométrie de la trajectoire t déterminés. Pour les trajectoires gauches (t¹0), le moment de torsion non nul GI0t obtenu .

Nous allons maintenant modéliser la structure de forage dans son puits. En fait, dans notre modèle final nous cherchons la vraie déformée statique de la structure dans le puits. Mais, pour résoudre ce problème réel, nous allons procéder en deux étapes. Dans la première étape, phase de formulation du problème, nous supposons connue la géométrie finale de la structure et nous établissons les équations du modèle d’abord avec l’hypothèse de contact continu uniquement, ensuite avec gestion des irrégularités et des contacts ponctuels afin d’établir un formalisme complet. Dans la deuxième et dernière étape, phase de résolution du problème, nous abordons le problème d’incertitude sur la géométrie de la déformée et des conditions aux limites afin de les intégrer dans la procédure de résolution finale. Un aperçu sur l’algorithme de contact utilisé sera aussi présenté dans cette étape.