Éléments finis stabilisés pour le remplissage en fonderie

 Méthodes numériques pour le suivi d’interface

Pour pouvoir simuler correctement des écoulements multiphasiques tels qu’ils ont été décrits précédemment, il est nécessaire de :déterminer le où les modèles permettant de décrire le plus dèlement possible chaque phase ; choisir la méthode numérique à mettre en ÷uvre pour représenter l’interface.Autant du point de vue de la description de chaque phase que du suivi de l’interface, nous verrons dans les prochaines sections qu’il est possible d’envisager diérentes approches dont nous discuterons les avantages et les inconvénients.

Méthodes numériques pour le suivi d’interface

Il existe dans la littérature diérentes méthodes numériques dédiées au suivi d’interface qui peuvent être classées selon : qu’elles représentent l’interface de manière diuse ou exacte ;qu’elles s’appuient ou non sur un maillage xe ou mobile ; qu’elles suivent explicitement ou capturent implicitement l’interface. Nous allons détailler ces diérents points par la suite. An de décrire l’évolution de l’interface, il est nécessaire de passer de sa représentation continue à sa formulation discrète. Dans de nombreux cas, les méthodes de suivi d’interface s’appuient sur l’utilisation du maillage employé pour la discrétisation spatiale des inconnues de l’écoulement. Dans ce contexte, des maillages mobiles se déformant avec l’écoulement et dont les éléments épousent la forme de l’interface peuvent être retenus. Cette approche a priori très naturelle peut devenir très coûteuse et complexe à mettre en ÷uvre lorsque le maillage subit de grandes déformations. Pour contourner cette diculté,l est fréquent d’utiliser un maillage xe. Dans ce cas, il est nécessaire de représenter de manière explicite ou implicite ‘interface. Enn, il existe également des méthodes dites sans maillage [24, 25]. Parmi les méthodes s’appuyant sur un maillage, on peut distinguer les méthodes dites de front tracking et les méthodes dites de front capturing. Les premières s’appuient sur un suivi explicite de l’interface à l’aide d’ob jets la représentant (particules par exemple). Ces méthodes sont à opposer à celle de front capturing qui capturent l’interface en la représentant de manière implicite à l’aide de la ligne de niveau d’un champ scalaire ou d’une fraction volumique sur tout le domaine. Parmi les méthodes de suivi d’interface les plus connues on citera les méthodes de marqueurs et de maillage mobile classées dans les méthodes de front tracking. Les approches dites de front capturing regroupent quant à elles la méthode Volume of Fluid et la méthode Level Set. Il existe également d’autres types d’approches dont les méthodes sans maillage [2]. Une rapide synthèse sur les propriétés de ces méthodes est donnée dans les paragraphes qui viennent.

Méthodes de type front tracking

La méthode des marqueurs

En 3D, l’interface est une surface se mouvant dans l’espace et dans le temps. Intuitivement, la première idée à laquelle on pense pour discrétiser l’interface est de positionner des marqueurs tout le long de la surface qui la représente. Pour la déplacer, il sut donc de faire évoluer chaque point et de reconstruire par interpolation l’interface. C’est le principe de la méthode des marqueurs, utilisée par Tryggvason [35, 20] pour laquelle l’interface est repérée par des marqueurs advectés par l’équation diérentielle ordinaire : dxk dt = u(xk, t), xk ∈ Γ (3.1) Chaque particule k de l’interface Γ est repérée par sa coordonnée xk qui vérie l’équation ci-dessus, où uk est la vitesse de la particule k. Cette méthode de type Lagrangien est très précise tant que les particules ne sont pas trop écartées. Dans le cas contraire, il est nécessaire de redistribuer les marqueurs le long de l’interface. L’interpolation du champ de vitesse uk depuis le maillage du domaine vers chaque marqueur est cependant une opération relativement complexe et coûteuse. De plus, les changements topologiques (fusion ou séparation de bulles par exemple) ne s’eectuent pas naturellement. Enn, l’extension au 3D est plutôt complexe.

 La méthode de maillage mobile

Le suivi du front est réalisé grâce à une description explicite de l’interface, au sens où l’interface est décrite par un ensemble d’ob jets qui seront transportés dans le domaine de calcul à la vitesse locale. Autrement dit, les surfaces font partie intégrante des bords du domaine de calcul, et donc du maillage ; et la déformation dynamique des contours du maillage constitue aussi exactement (aux erreurs de calcul et d’interpolation près) l’évolution de l’interface. La reconnection d’un ensemble d’ob jets donné permettra de reconstruire la géométrie globale, incluant l’interface. Cette approche est naturelle pour des problèmes de surface libre dans le sens où la condition limite appropriée (une contrainte nulle imposée) peut être appliquée facilement sur les bords connus du maillage. Cependant, ce dernier doit évoluer de la même manière que le uide, et la distorsion des éléments ou le changement de topologie de surface demandent une procédure très complexe.

Méthodes numériques pour le suivi d’interface 

Méthodes de type front capturing

Décrire la surface et la paramétrer est facile lorsqu’elle est une partie du bord du maillage ou encore décrite par des particules de type marqueurs. Mais on peut aussi modéliser les surfaces libres sans pour autant devoir les localiser précisément à l’aide de la frontière d’un maillage. Il est possible d’aborder les problèmes de mouvement de surfaces libres et d’interfaces de manière Eulérienne [17]. Pour cela, on considère un champ scalaire qui évolue en fonction du temps grâce à une équation de transport et un champ de vitesse. Ces méthodes sont appelées capture d’interface. Contrairement aux méthodes d’interface tracking, la capture d’interface a une approche globale qui considère de façon Eulérienne tous les sous domaines présents dans un écoulement en même temps. Pour traiter le calcul des surfaces libres et des interfaces de façon Eulérienne, le domaine de calcul Ω est supposé xe au cours du temps. Par contre, il est composé de plusieurs sous domaines qui eux ne sont pas xes et qui dépendent du temps. Alors que dans les méthodes d’interface tracking l’interface est suivie explicitement par les bords du maillage, celle-ci passe à travers les éléments du maillage dans les méthodes de capture d’interface (gure 3.3). Il reste maintenant à introduire une fonction servant à diérencier les sous domaines et à capturer l’interface. Deux diérentes techniques permettent cela : le Volume of Fluid et la Level-Set.