Evaluation de la productivité de l’eau d’irrigation par la modélisation

Distribution spatiale de l’extraction potentielle 

Comme décrit par l’équation 1.4.6, la répartition spatiale de l’extraction racinaire dépend de la forme de la fonction β(Ω). L’admission des hypothèses, quoique implicites, de l’uniformité du potentiel hydrique et de la capacité d’extraction du système racinaire, réduit la fonction β(Ω) à la description de la distribution de la densité racinaire. Cette dernière est exprimée en termes de longueur, de surface spécifique ou de masse racinaire (Mmolawa and Or, 2000; Raats, 2007). Il a longtemps été admis qu’en conditions de confort hydrique (disponibilité hydrique du sol ne limitant pas la transpiration) la distribution spatiale de l’extraction racinaire correspond à celle de la densité racinaire (Novák, 1994; Li et al., 2002), d’où la remarque de Warrick and Or (2007) « une confusion existe entre les distributions spatiales de la densité racinaire et l’extraction racinaire ». Un nombre important de modèles de distribution spatiale de la densité et/ou de l’extraction racinaire existe dans la littérature (voir également Annexe A), comme en témoignent plusieures revues bibliographiques (par exemple Molz, 1981 et Mmolawa and Or, 2000). Toutefois, la quasi-totalité de ces modèles considère l’extraction racinaire potentielle seulement comme une fonction de la profondeur, i.e., β(z), et seul un nombre limité traite la question de la répartition spatiale, en deux ou trois dimensions, de l’extraction racinaire (Coelho and Or, 1996; Vrugt et al., 2001b). Pour ce qui concerne la distribution verticale de la fonction β(z), la littérature fournit de nombreux exemples de fonctions constantes (Feddes et al., 1978; Belmans et al., 1983), linéairement décroissantes en profondeur (Molz and Remson, 1970; Hoogland et al., 1981; Prasad, 1988), ou non-linéairement décroissantes en profondeur (Raats, 1974; Li et al., 2001; Vrugt et al., 2001b). Parmi les différents modèles proposés dans la littérature, la description est contrainte à celle de la fonction de Raats (1974), puisque (i) cette fonction semble en accord avec la distribution de la longueur racinaire observée chez la quasi-totalité des espèces végétales (Jackson et al., 1996) et (ii) la fonction de Raats (1974) constitue la base d’un nombre important de modèles d’extraction, en particulier celle de Vrugt et al. (2001b) employée dans le cadre de la présente thèse. Basé sur l’étude de l’écoulement de l’eau dans une colonne de sol en régime permanent, Raats (1974) a décrit l’extraction racinaire comme étant exponentiellement décroissante en profondeur : S = β (z) Tp = Tp z∗ e (−z/z∗) (1.4.10) où z* [L] est la profondeur au-dessus de laquelle 63% de l’eau de la transpiration est extraite. Parallèlement, une étude sur la distribution verticale de la masse racinaire a été publiée la même année par Gerwitz and Page (1974). Les auteurs ont analysé une base de données de 107 profils de masse racinaire, tirés de la littérature. Cette analyse a permis 21 Chapitre 1 L’extraction de l’eau par les racines des plantes – la fonction S aux auteurs de proposer une fonction exponentielle de la densité de la masse racinaire : Bm(z) = 1 − e (−fz+c) où Bm est le cumul de la masse racinaire en fonction de la profondeur (une valeur entre 0.0 et 1.0), tandis que f [L-1] et c [-] sont des paramètres empiriques. La fonction proposée par Gerwitz and Page (1974) a été reprise par Gale and Grigal (1987) et s’est avérée adéquate pour décrire la distribution verticale de la densité racinaire dans une nombre important d’études (Jackson et al., 1996, 2000; Feddes et al., 2001; Zeng, 2001; Arora and Boer, 2003). La dérivée de l’équation précédente par rapport à z, c’est-à-dire la densité de la masse racinaire à une profondeur z, n’est qu’une fonction exponentielle de la profondeur : βm(z) = e (−fz) (1.4.11) En supposant une valeur moyenne des rayons des racines, r0 [L], et une masse spécifique γr [M L-3] (Raats, 2007), la densité de la longueur racinaire devient : β(z) = 1 πr2 0β e (−fz) ´ z β(z) = c.e(−fz) (1.4.12) Les équations 1.4.10 et 1.4.12 sont en bon accord, d’où l’équation de Raats (1974) semble, potentiellement, la mieux adaptée pour la description de la distribution de l’extraction racinaire avec la profondeur. Toutefois, dans le cadre de la présente thèse, l’accent est mis sur l’étude de la distribution de l’extraction racinaire en contexte de cultures irriguées par GGE. L’hétérogénéité de la distribution de l’eau dans le sol, inhérente à l’irrigation par GGE, rend bidimensionnels les problèmes des flux d’eau et de l’extraction racinaire (Lafolie et al., 1989; Kandelous et al., 2011). La recherche bibliographique effectuée dans le cadre de cette thèse n’a permis d’identifier que trois modèles paramétriques bidimensionnels de la distribution de l’extraction racinaire potentielle. 1. Zhang et al. (1993) ont proposé deux modèles, linéaire et exponentiel, pour la description de β : a) la fonction linéaire βl(x, z) = [C1(2z − Zr) + C2(2x − Xr) + Zr]/Xr (1.4.13) b) la fonction exponentielle βe(x, z) = C3.e(−β1z) .e(−β2x) (1.4.14) où C1, C2, β1, β2 [-] et C3 [L-1] sont des paramètres empiriques constants, 22 1.4 Modélisation de l’extraction racinaire tandis que Xr et Zr représentent les extensions maximale du système racinaire, respectivement dans les directions de x et de z. Selon les auteurs, une distribution exponentielle décroissante de l’extraction racinaire en profondeur permet une meilleure prédiction des profils d’humidité dans le sol. Il convient par ailleurs de signaler que les auteurs ont proposé cette fonction pour les cultures en rang. La valeur de Xr correspond, dans ce cas, à la mi-distance entre deux rangs successifs de culture. 2. Vrugt et al. (2001b) ont proposé, indépendamment de Zhang et al. (1993), une fonction β(x, z) similaire. Cette fonction est une forme modifiée de l’équation de Raats (1974), généralisée à un domaine de sol bidimensionnel : β(x, z) =  1 − x Xr  1 − z Zr  e −[ Px Xr |Xe−x|+ Pz Zr |Ze−z|] (1.4.15) où Px et Pz [-] sont des paramètres empiriques, xe et ze [L] représentent les coordonnées auxquelles l’extraction est maximale, Xr et Zr [L] sont les variables définies dans les équations 1.4.13 et 1.4.14. Une caractéristique importante de la fonction de Vrugt et al. (2001b) est l’ajout des deux paramètres xe et ze. Cela permet d’ajuster la répartition spatiale de l’extraction racinaire en fonction de la distribution « attendue » de la disponibilité de l’eau dans le sol. Cette caractéristique permet de mimer une forme d’hydrotropisme du système racinaire, « poursuite de l’eau » (water-tracking models) par Coelho and Or (1996). 3. Coelho and Or (1996, 1999) ont proposé l’utilisation de fonctions de distribution gaussiennes bivariée (normale, semi-log normale, et log-normale) pour la simulation de l’extraction racinaire des cultures irriguées par des systèmes d’irrigation localisée (notamment en goutte-à-goutte de surface et en GGE). Ci-dessous l’équation utilisée pour décrire la géométrie de l’extraction d’eau par le système racinaire d’une plante irriguée en GGE, la ligne des goutteurs étant entre deux rangs de culture : β(x, z) = α1 2πSxSzxz e −0.5  (lnx−Mx) 2 S2 x + (lnz−Mz) 2 S2 z  (1.4.16) où α1 [-] est un paramètre empirique, Sx, et Sz sont les écart-type log-normaux de β(x, z) au regard des directions x et z, respectivement, et Mx et Mz sont les moyennes log-normales de β(x, z) au regards de x, et z, respectivement. La description de la distribution de l’extraction racinaire potentielle par le modèle proposé par Coelho and Or (1996, 1999) sous-entend une connaissance a priori de la localisation de l’intensité maximale de l’extraction racinaire (les moments M et S de l’équation 1.4.16). Or la détermination des valeurs de ces paramètres s’avère lourde car elle fait appelle à des estimateurs statistiques, donc à la nécessité de disposer de très nombreuses 23 Chapitre 1 L’extraction de l’eau par les racines des plantes – la fonction S données terrain. De plus, Vrugt et al. (2001a) ont illustré la possibilité de varier la distribution de la fonction β pour obtenir des distributions spécifiques aux techniques d’irrigation utilisée (Vrugt et al., 2001a, p. 1029, Fig. 2D). Parmi les 3 modèles sus-décrits, celui proposé par Vrugt et al. (2001b) semble le plus adapté au contexte de notre étude, et sera utilisé par la suite dans le cadre de la l’étude sur le rôle du processus dit de « compensation de l’extraction racinaire » dans la simulation de l’extraction racinaire en contexte de cultures irriguées par GGE (cf. chapitre 3). 1.4.2.2 Distribution spatiale de l’extraction réelle Comme décrit précédemment, la prédiction par les modèles empiriques de l’extraction racinaire en conditions de disponibilité hydrique limitantes, nécessite l’ajout d’une fonction explicite de réduction de l’extraction, typiquement nommée « fonction de stress hydrique » ou « fonction de réduction ». La réduction de l’extraction racinaire est typiquement décrite dans la littérature en fonction de la teneur en eau volumique du sol θ (par exemple Sadras and Milroy, 1996), du potentiel matriciel ψ (par exemple Feddes et al., 1978), ou encore de la conductivité hydraulique k du sol, par exemple via le potentiel du flux matriciel [L2 T -1] (Metselaar and de Jong van Lier, 2007). Par le réarrangement de l’équation 1.4.8 l’on obtient : γ = S Sp (1.4.17) Expérimentalement, la détermination de la fonction γ nécessite le suivi des variables ψ et θ à l’échelle macroscopique, pour déterminer l’état hydrique du sol, puis lier les valeurs de ces variables aux deux quantités S et Sp (Eq. 1.4.17). Or, le suivi des variables de l’état hydrique du sol à l’échelle macroscopique, pour l’ensemble de la zone racinaire, est pratiquement difficile à mettre en œuvre. De plus, l’estimation des deux quantités S et Sp implique d’avoir à disposition deux plantes ayant des profils racinaires identiques, la première plante étant sous stress hydrique tandis que la deuxième est non stressée. Pratiquement, la probabilité de satisfaire une telle condition est extrêmement faible. En raison des difficultés liées à la détermination de la fonction γ à l’échelle macroscopique, il est fréquent de remplacer la définition de la fonction de stress décrite par l’équation 1.4.17 par celle faisant le lien entre le flux de transpiration réelle T et celui de la transpiration potentielle Tp : γ¯ = T Tp (1.4.18) Une barre a été ajoutée au-dessus de la fonction γ pour distinguer la réduction de l’extraction à l’échelle de la plante (c.-à-d. la réduction de la transpiration) de celle à l’échelle macroscopique. 

Modélisation de l’extraction racinaire

 La détermination de la fonction de réduction par l’expression T/Tp mène, parfois, à des confusions dans la littérature entre la réduction de l’extraction locale (à l’échelle du volume macroscopique élémentaire du sol) et la réduction de la transpiration (à l’échelle de l’ensemble du système racinaire). Par exemple, de Jong van Lier et al. (2006) et Javaux et al. (2013) ont comparé les courbes obtenues de la relation T/T p = f(ψ¯) (où ψ¯ est le potentiel matriciel moyen de la zone racinaire) avec la fonction de Feddes et al. (1978). Or, la fonction proposée par Feddes et al. (1978) a pour but de prédire la réduction de l’extraction à l’échelle locale (macroscopique) et non à l’échelle de la zone racinaire (ce point sera abordé en détail dans la suite de cette section). La confusion entre γ et γ¯ est également particulièrement présente lors de l’intégration des fonctions de réduction, expérimentalement déterminées, dans la modélisation de l’extraction racinaire spatialement distribuée. Nous prenons pour cela l’exemple de la thèse de Homaee (1999) où la relation T/T p = f(ψ¯) a été expérimentalement établie. Puis, la fonction construite, γ¯, a été intégrée dans un modèle monodimensionnelle pour la simulation de la diffusion hydrique dans une colonne de sol par l’équation de Richards, via le terme « puits » (c.f. Eq. 1.4.1). Il est évident, dans ce cas, que l’échelle spatiale de la fonction de réduction (la zone racinaire) ne correspond pas à celle de l’équation de Richards (élément macroscopique du sol). Au-delà de la différence des échelles spatiales considérées respectivement par les fonctions γ¯ et γ, une deuxième différence, d’ordre théorique les distingue. La fonction γ¯ décrit une réponse « intégrée » de la plante face aux conditions locales du sol. Cette réponse intègre trois processus du point de vue du fonctionnement hydrique des racines : le premier est la réduction de l’extraction résultant de la réduction du gradient hydrique à l’interface sol-racine (expression de van den Honert (1948), Eq. 1.3.1) ; le deuxième est celui de la « compensation de l’extraction racinaire » et le troisième est celui de l’exsudation (hydrique) racinaire. La définition de la compensation de l’extraction racinaire diffère selon les sources, comme cela sera évoqué dans le chapitre 3. Néanmoins, la compensation peut être généralement décrite par l’augmentation de l’extraction dans une zone du sol pourvue en eau, pour compenser la réduction de l’extraction là où l’eau est moins disponible (Jarvis, 1989). L’intégration des 3 processus, la réduction, la compensation et l’exsudation, dans la fonction γ¯ ajoute un degré de complexité à l’interprétation de la forme de cette fonction. Toutefois, en admettant momentanément, pour une raison quelconque, l’hypothèse de l’inexistence des processus de la compensation et de l’exsudation, une information importante résulte de la comparaison entre les fonctions γ¯ et γ. Pour élucider nos propos, nous prenons l’exemple suivant : En admettant, par souci de simplification, une densité racinaire spatialement uniforme, on a : β(Ω) = 1 (1.4.19) Si la fonction de réduction dépend du potentiel hydrique du sol ψ (γ = f (ψ)) l’on peut 25 Chapitre 1 L’extraction de l’eau par les racines des plantes – la fonction S déduire des équations 1.4.8 et 1.4.6 la forme suivante : S = γ(ψ)Tp (1.4.20) d’où : T = ˆ Ω SdΩ = Tp ˆ Ω γ(ψ)dΩ (1.4.21) Dans l’équation précédente, la distribution spatiale du potentiel matriciel du sol ψ dépend de l’espace Ω, d’où γ = f(Ω). Par la reformulation de l’équation précédente, l’on obtient : T Tp = ˆ Ω γ [ψ(Ω)] dΩ (1.4.22) En combinant les deux équations 1.4.22 et 1.4.18, on obtient : γ¯(ψ¯) = ˆ Ω γ(ψ)dΩ (1.4.23) L’équation précédente indique clairement que la fonction de la réduction expérimentalement déterminée γ¯ peut être considérée comme une limite supérieure de la fonction γ. Ce résultat sera pris en compte lors de la discussion relative aux fonctions de réduction présentes dans la littérature, dans la suite de ce chapitre. Exemples des fonctions de réduction Les modèles existants, traitant de la question de l’extraction racinaire à l’échelle locale (macroscopique) résolvent le problème de la réduction de l’extraction racinaire en fonction de la teneur en eau volumique du sol θ (Feddes et al., 1976; Lai and Katul, 2000) ou du potentiel matriciel ψ (Feddes et al., 1978; van Genuchten, 1987; Musters and Bouten, 2000). Toutefois, étant donné que l’extraction racinaire dépend de l’énergie dépensée par la plante pour détacher l’eau du sol, l’expression de la réduction de l’extraction comme fonction du potentiel hydrique, qui est une mesure d’énergie, peut sembler un choix plus pertinent. A cela s’ajoute le fait que la même valeur de θ correspond à des valeurs très différentes de ψ selon le type du sol (valeurs données par la courbe de rétention), d’où l’intérêt d’utiliser l’expression de la réduction en fonction de ψ. Ces arguments nous amènent donc à limiter la discussion aux fonctions de réduction du type γ(ψ). De nombreux exemples de fonctions de réduction existent dans la littérature. Feddes et al. (1978) ont été parmi les premiers à proposer une fonction simplifiée de la réduction. La fonction proposée par les auteurs, nommée dans le cadre de la présente thèse « fonction de Feddes » est une fonction « linéaire par morceaux » : 26 1.4 Modélisation de l’extraction racinaire γ(ψ) =    0; ψ ≥ ψ1 ψ1−ψ ψ1−ψ2 ; ψ1 > ψ ≥ ψ2 1; ψ2 > ψ ≥ ψ3 ψ−ψ4 ψ3−ψ4 ; ψ3 > ψ ≥ ψ4 0; ψ4 > ψ (1.4.24) où ψ est le potentiel matriciel de l’élément du sol considéré, tandis que ψ1, ψ2, ψ3 et ψ4 sont des valeurs-seuils . La fonction de Feddes prédit que l’extraction racinaire est maximale lorsque le potentiel matriciel est entre deux seuils ψ2 et ψ3. En revanche, la saturation progressive du sol entre ψ2 etψ1 peut entraîner une réduction de l’extraction, voire sa suppression (par anaérobiose). Similairement, un assèchement progressif du sol réduit l’extraction progressivement jusqu’à sa suppression lorsque le point de flétrissement permanent ψ4 est atteint (par dessiccation). Suivant des observations de Yang and de Jong (1972), mettant en évidence la dépendance de la valeur du ψ3 de la demande climatique, Feddes et al. (1978) ont proposé de rendre le paramètre ψ3 fonction de la transpiration potentielle Tp, ψ3 = f(Tp). L’étude de Feddes et al. (1978) serait la seule à proposer explicitement une dépendance entre la demande climatique et le seuil de réduction ψ3. Musters and Bouten (2000) ont proposé une forme modifiée de la fonction de Feddes. La fonction proposée ne tient pas compte d’un effet réducteur par anaérobiose, mais uniquement par dessiccation : γ(ψ) =    1; ψ2 > ψ ≥ ψ3  ψ−ψ4 ψ3−ψ4 a ; ψ3 > ψ ≥ ψ4 0; ψ4 > ψ (1.4.25) où le terme a [-] est un facteur empirique. Une autre forme de la fonction γ(ψ) a été proposée par van Genuchten (1987). Cette nouvelle fonction, nommée « fonction de van Genuchten » exclut l’effet de la saturation. L’auteur a justifié sa proposition par le fait que la réduction de l’extraction racinaire par anaérobiose ne se produit qu’en conditions de saturation prolongée, une condition, selon l’auteur, qui n’est pas fréquemment rencontrée dans les terres agricoles. La fonction de van Genuchten (1987) est continue, d’une forme sigmoïdale, donnée par l’équation : γ(ψ) = 1 1 +  ψ ψ0.5 p (1.4.26) où ψ0.5 est la valeur de ψ pour laquelle γ est réduite à 0.5 et P [-] est un paramètre empirique. L’avantage de cette fonction par rapport à celle de Feddes est qu’elle est moins coûteuse en termes de paramétrage, et continue, donc dérivable en tout point ψ. La fonction de 27 Chapitre 1 L’extraction de l’eau par les racines des plantes – la fonction S van Genuchten a donné lieu au développement des fonctions sigmoïdales par Dirksen et al. (1993), puis par Homaee (1999) (voir également Homaee et al., 2002). Dirksen et al. (1993) ont modifié la fonction de van Genuchten pour permettre un début décalé du stress hydrique pour les valeurs élevées de ψ. Les auteurs ont ainsi introduit le terme ψ˙ qui représente une valeur -seuil de ψ au-dessus de laquelle aucune réduction de l’extraction ne se produit : γ(ψ) = 1 1 +  ψ˙−ψ ψ˙−ψ0.5 p (1.4.27) Homaee (1999) a évalué la performance des fonctions de Feddes, de van Genuchten et de Dirksen et al. (1993), pour la prédiction de la forme de la relation entre le potentiel hydrique moyen du sol ψ¯ et le déficit de transpiration T/Tp. Comme évoqué précédemment dans ce chapitre, ce choix souffre d’une incompatibilité entre l’échelle spatiale de la réduction de l’extraction (échelle locale, macroscopique) et celle de la transpiration (échelle de la zone racinaire, de la plante). Quoi qu’il en soit, Homaee (1999) a proposé une nouvelle fonction de réduction qui a la forme : γ(ψ) = 1 1 + 1−γ(ψmin) γ(ψmin)  ψ˙−ψ ψ˙−ψmin p (1.4.28) où ψmin [L] est le seuil inférieur du potentiel matriciel en-deçà duquel la réduction de l’extraction devient non significative. Toutefois, selon Feddes and Raats (2004), les observations qui ont fourni dela base à la construction du modèle utilisé parpour Homaee (1999) pour construire son modèle ne justifieraient pas la proposition de ceu nouveau seuil ψmin. Après avoir brièvement abordé un certain nombre d’exemples de fonctions de réduction, laquelle représenterait au mieux la réduction de l’extraction ? Comme cela était aussi le cas pour les fonctions de la distribution de la densité racinaire, les nombreux exemples de fonctions empiriques γ(ψ) témoignent de la diversité des conditions expérimentales ayant conduit à leur construction. Le choix d’une des fonctions de réduction s’effectue donc en lien avec le contexte expérimental, ce qui en fait un choix forcément subjectif. En complément, de récentes études (de Jong van Lier et al., 2006; Metselaar and de Jong van Lier, 2007; de Jong van Lier et al., 2009b; Couvreur et al., 2012; Javaux et al., 2013; Huber et al., 2014) sur la question de la modélisation de l’extraction racinaire, ont essayé de dresser un cadre théorique aux fonctions de réduction. Le recours à ce cadre théorique aura pour utilité l’appui au choix de la fonction de réduction dans le cadre de cette thèse. De plus, ce cadre théorique fournira des informations quant aux incertitudes inhérentes à l’utilisation de la fonction de réduction choisie. La forme de la fonction γ(ψ) Cette discussion se concentre autours de la réduction de l’extraction par dessiccation, souvent appelée dans la littérature « falling rate phase » (Metselaar and de Jong van Lier, 2007). La réduction par anaérobiose, quant à elle, est supposé négligeable comparée à l’effet de la dessiccation (suivant van Genuchten, 1987). En utilisant le modèle de l’architecture hydraulique racinaire (Doussan et al., 1998b, 2006; Javaux et al., 2008), Couvreur et al. (2012) ont développé un modèle macroscopique à base physique de l’extraction racinaire ayant comme expression : S = 1 V h Krs  H˜ s − Hcollet + ϕ i SSF (1.4.29) où Krs [L3 P -1 T -1] est la conductivité équivalente du système racinaire, H˜ s [P] est la charge hydraulique à l’interface sol-racine, Hcollet [P] est la charge hydrique au niveau du collet (le point de jonction entre le système racinaire et la tige), ϕ [L3 T -1] est le terme de la compensation de l’extraction racinaire et SSF [-] et une fraction appelée «Standard Sink Fraction » qui est une forme analogue à la fonction β(Ω) mais qui dépend de l’architecture racinaire et des résistances radiales et axiales des systèmes racinaires. Finalement, S [L3 L -3 T -1] et V [L3 ] sont respectivement le terme puits et le volume unitaire du sol, conformément à leurs précédentes définitions dans ce chapitre. Si l’on considère le processus d’extraction sans compensation, l’équation précédente devient d’une forme ohmique rappelant la forme du modèle de Gardner (1960) : S = 1 V h Krs  H˜ s − Hcolleti SSF (1.4.30) L’équation précédente décrit l’extraction racinaire en fonction de toutes les valeurs possibles de la charge hydraulique dans le sol (et par conséquent du potentiel matriciel). Cette équation décrit donc l’extraction racinaire en conditions hydriques limitantes et non limitantes. Elle peut, par conséquent, être utilisée pour décrire la forme de la fonction de réduction γ(ψ). En admettant que la plante est en état de stress hydrique lorsque Hcollet atteint une valeur de -1.5 MPa, et en supposant qu’en stress hydrique la valeur de Hcollet est maintenue à cette valeur constante chez les plantes isohydriques (Simonneau and Habib, 1994) ; le terme  H˜ s − Hcollet de l’équation précédente décroît linéairement avec l’assèchement progressif du sol. En revanche, les valeurs des termes SSF et Krs sont susceptibles d’évoluer avec l’état hydrique du sol, les deux termes étant dépendants des propriétés hydrauliques du système racinaire. Toutefois, ces propriétés hydrauliques sont souvent supposées principalement fonction de l’âge et de l’ordre (de ramification) des racines (Pagès et al., 2004). Il s’ensuit que pour le temps caractéristique de la simulation du transfert hydrique dans le sol (Raats, 2007), qui est bien inférieur au temps caractéristique de la croissance racinaire, l’équation 1.4.30 représente S comme fonction linéaire de H˜ s. Toutefois, cette relation ne signifie pas, à ce stade, que la fonction γ(ψ) est linéaire 29 Chapitre 1 L’extraction de l’eau par les racines des plantes – la fonction S en phase de réduction, car H˜ s est un estimateur de l’état hydrique « équivalente » du système racinaire. La linéarité de la relation γ(ψ) en phase de réduction a été mise en évidence par Javaux et al. (2013) en utilisation le modèle « complet » de l’architecture hydraulique racinaire R-SWMS (Javaux et al., 2013). Javaux et al. (2013) ont montré par l’analyse numérique qu’une réduction de la charge hydraulique locale du sol, H [L], résulte en une réduction linéaire du ratio S/Sp (cf. la Figure 1.4.4 plus loin dans ce chapitre). Les résultats des études ci-dessus plaident donc en faveur de l’utilisation d’une fonction de réduction γ(ψ) linéaire. La forme de la fonction γ¯(ψ¯) Comme précédemment évoqué, une relation existe entre la fonction de réduction à l’échelle locale et celle à l’échelle de la plante (eq. 1.4.23). Cette fonction constitue un majorant (une limite supérieure) de la fonction γ(ψ) : la fonction γ¯(ψ¯) résultant de l’intégrale de γ(ψ) sur le domaine de sol Ω et elle doit respecter une forme connue à l’avance, déduite des études théoriques du transfert hydrique dans un sol enraciné, ou bien déduite de l’observation. Trois études, focalisées sur ce sujet, renseignent sur la forme de la fonction γ¯(ψ¯). La première, de Sadras and Milroy (1996) résume les résultats de 18 études expérimentales. La deuxième (Metselaar and de Jong van Lier, 2007) et la troisième (de Jong van Lier et al., 2009a) donnent un cadre théorique à la forme de la fonction γ¯(ψ¯). Sadras and Milroy (1996) ont démontré que la réduction de la transpiration en fonction des contraintes hydriques du sol peut être décrite soit par une fonction linéaire, soit par une fonction sigmoïdale. Metselaar and de Jong van Lier (2007) ont étudié la forme de la fonction γ¯(ψ¯) en s’appuyant sur un modèle macroscopique à base physique de l’extraction racinaire. Ce modèle décrit la transpiration relative (T/Tp) comme étant proportionnelle au ratio (M/M3), où M et M3 représentent respectivement le potentiel du flux matriciel actuel et celui correspondant au seuil ψ3. Les auteurs ont utilisé ce modèle pour prédire la forme de la fonction de réduction de la transpiration pour 5 types de sols « analytiques », et pour 3 types de sols « numériques » (Raats, 2001). Pour rappel : les sols sont dits « analytiques » lorsqu’ils sont caractérisés par des propriétés physiques résultant des équations de flux hydriques pouvant être résolues analytiquement (sol ∆ par exemple pour le sol répondant au modèle de Green et Ampt ou sol linéaire pour le modèle exponentielle de Brooks and Corey, 1964). En revanche, les sols sont dits « numériques » lorsque leurs propriétés hydrodynamiques sont décrites par des fonctions non-linéaires, ne permettant pas la solution analytique des équations du flux hydrique, ce qui est le cas général. Metselaar and de Jong van Lier (2007) ont démontré qu’une forme concave de la relation γ¯(ψ¯) est prédominante pour les sols numériques et même obligatoire en sols analytiques dont les caractéristiques hydrodynamiques ont un sens physique (diffusi30 1.4 Modélisation de l’extraction racinaire vité non constante). Les auteurs ont conclu que, généralement, la forme de la fonction γ¯(ψ¯) présente 3 caractéristiques selon les valeurs de ψ¯ : un premier domaine de valeurs constantes (transpiration potentielle), un deuxième domaine de valeurs décoissantes de forme concave et un troisième domaine, entre le premier et le deuxième, de valeur décroissantes de forme convexe. de Jong van Lier et al. (2009a) ont étendu l’étude de Metselaar and de Jong van Lier (2007) sur les sols numériques. Leur étude a eu pour conclusion que la quasi-totalité des sols résultent en une formes concave de la fonction de réduction de la transpiration, et que la forme de la fonction γ¯(ψ¯) est plutôt sigmoïdale. Les conclusions des études théoriques, appuyées par les résultats des études expérimentales, préconisent donc d’adopter une forme sigmoïdale pour la fonction γ¯(ψ¯). Les fonctions de réduction à l’échelle locale doivent donc remplir ce critère. Pour cela, le test simple suivant a été effectué. Le transfert de l’eau a été simulé dans un domaine de sol limoneux, enraciné, ayant un profil d’humidité initial à la capacité au champ. La limite supérieure du sol est sujette aux conditions climatiques, tandis qu’une condition de type Neuman, flux de drainage libre, est imposée à la limite inférieure. Le domaine ne reçoit aucune irrigation et une demande climatique de 10 mm j-1, uniquement sous forme de transpiration potentielle, est imposée. L’assèchement progressif du sol dû à l’extraction racinaire a ainsi été simulé pour une période de 50 jours, par le modèle Hydrus (2D/3D) (Simunek et al., 2008) en utilisantt les fonctions de réduction de Feddes et van Genuchten. Ces deux fonctions sont disponibles par défaut dans le modèle Hydrus (2D/3D) et représentent les deux extrémités du « spectre » des fonctions de réduction de l’extraction. Les résultats obtenus sont montrés dans les figures 1.4.3a et b. Les courbes de la réduction de la transpiration en fonction de la teneur en eau volumique du sol θ, obtenues avec les deux fonctions Feddes et van Genuchten, sont très similaires (Fig. 1.4.3). Les deux courbes adhèrent à la description d’une relation γ¯(ψ¯) de forme sigmoïdale, effectuée dans les études de Metselaar and de Jong van Lier (2007) et de de Jong van Lier et al. (2009a). De plus, la comparaison entre les profils de la teneur en eau volumique du sol (en deux dimensions) affiche un coefficient de corrélation de valeur très élevée, variant entre 1.000 (au début de la simulation) et 0.995 (à la fin de la simulation de 50 jours). Les résultats de ce simple test montrent que ces deux fonctions contrastées de l’extraction racinaire peuvent produire des résultats similaires en termes du flux de transpiration et de profils d’humidité simulés. De plus, ces deux fonctions remplissent les conditions imposées par la comparaison de γ¯(ψ¯) avec γ(ψ). Cela ne permet toutefois guère de privilégier l’une des deux fonctions au détriment de l’autre.