Flux de particules et champ électrique radial induits par le ripple

Minima locaux du champ magnétique

Un ripple non nul peut être à l’origine de minima locaux de l’intensité du champ magnétique le long d’une ligne de champ. La condition d’existence de tels puits est donnée dans ce paragraphe. Si nous supposons des surfaces magnétiques circulaires concentriques, avec un coefficient de ripple δ dépendant à priori de r et θ. Le champ magnétique toroidal s’écrit (avec N ≫ 1 nombre de bobines de champ toroïdal) : Bϕ(r,θ,ϕ) = B0 (1 − ǫ cos θ − δ cos Nϕ) L’intensité le long d’une ligne de champ est ici considérée, avec θ(ϕ) = ϕ/q + θ(ϕ = 0). Un minimum local de B existe si la dérivée de Bϕ par rapport à ϕ s’annule à cause de la variation rapide en cos Nϕ. Ceci se traduit par : ǫ N qδ sin θ(ϕ) + sin Nϕ − ∂δ ∂θ 1 Nqδ cos Nϕ = 0 Le dernier terme en cos Nϕ peut être négligé devant le sin Nϕ : en effet, leur rapport est de l’ordre de 1/Nq ≪ 1. Il existe des minima locaux causés par l’ondulation en cos Nϕ du champ magnétique si : ǫ Nqδ |sin θ| ≡ α|sin θ| < 1 Condition dans laquelle le paramètre α ≡ ǫ/Nqδ a été introduit (notation issue de [Stringer 72]). Un exemple typique de cartographie de la valeur de α|sin θ| est donné à la figure 5.1. Lorsque de tels minima locaux existent, la profondeur d’un puits de ripple peut être définie : ∆ = Bmax − Bmin B0 (5.1) où Bmin est la valeur du champ magnétique à l’endroit d’un minimum local, Bmax est le max  Exemple de contours de α |sinθ| δ <5.6% TS#36073 Fig. 5.1: Contours du paramètre α|sin θ| sur un plasma typique de Tore Supra. Aucun minima local n’existe à l’intérieur des contours (en rouge) tels que α|sin θ| = 1. mum local adjacent possédant la plus faible amplitude. Dans le cas d’un ripple indépendant de θ, la valeur de ∆ peut être calculée, en évaluant le champ magnétique aux extrema locaux (m∈ Z) Nϕ = 2mπ − sin−1 (α sin θ) (minimum local) et Nϕ = (2m − 1)π + sin−1 (α sin θ) (maximum local adjacent où l’amplitude de B est la plus faible, si θ > 0) : ∆(r,θ) = 2δ( p 1 − α 2 sin2 θ − α|sin θ| π 2 − sin −1 (α|sin θ|) ) si α|sin θ| < 1 0 sinon (5.2) La condition de piégeage local des particules peut être exprimée dans les variables (E,µ) ou (v||, Vc) : E Bmax < µ < E Bmin ou bien v|| Vc < r ∆B0 Bmin ≃ √ ∆ (5.3) ce qui correspond à une fraction f de particules localement piégées f ∼ √ ∆. Dans la seconde inégalité (qui découle de la première, en réecrivant Bmax à l’aide de l’équation 5.1), les vitesses parallèles et perpendiculaires sont prises au niveau du minimum local où B = Bmin.

Flux de particules localement piégées

L’expression des flux de particules localement piégées peut s’interpréter à partir d’arguments heuristiques, présentés ici avant un calcul plus détaillé. La fraction de particules impliquée dans ce type de ransport est de l’ordre de √ δ. Le temps de dépiégeage collisionnel est le temps associé à une variation de l’angle de pitch v||/v ∼ √ δ ; soit ∆t ∼ δ/ν. Ces particules subissent un mouvement de va-et-vient toroïdal pendant lequel l’angle poloïdal reste quasi-identique. La dérive verticale n’est alors pas compensée. Le libre parcours moyen associé est causé par la dérive verticale : ∆r ∼ VD ∆t. Ceci permet d’évaluer un coefficient de diffusion heuristique associé à ce régime de diffusion (noté LT pour “local trapping”) : D LT ∼ δ 3/2V 2 D ν (5.4) Il est visible à cause de la dépendance en 1/ν que le coefficient DLT ionique est supérieur au coefficient électronique d’un facteur p mi/me ∼ 60. En présence d’un champ électrique radial, une vitesse angulaire de rotation poloïdale causée par la dérive E × B s’ajoute à la vitesse de dérive verticale. Celle-ci vaut : ωE = Er rB Si le temps de dépiégeage collisionnel δ/ν est supérieur au temps pris par une particule pour parcourir un demi-tour poloïdal ∆t = π/ωE, le pas radial de diffusion sera limité (à cause de la compensation de la dérive verticale dans le demi-plans inférieurs et supérieurs) par : ∆r = πVD ωE Le coefficient de diffusion est alors proportionnel à la fréquence de collision, et donc supérieur pour les électrons : D LT E×B ∼ δ −1/2V 2 D ν ω 2 E (5.5) Ce régime de diffusion nécessite de très faibles fréquences de collision. L’effet de la dérive E ×B peut toutefois influencer le comportement des particules les moins collisionnelles. Ceci sera vu à la section 5.2.2.

Calcul des flux de particules localement piégées

Le calcul présenté ici est une version simplifiée de celui effectué par Stringer [Stringer 72] puis Connor et Hastie [Connor 73]1 . Le point de départ du calcul est l’équation de dérive cinétique. Une population de particules (ions ou électrons) localement piégées est considérée, pour lesquelles la condition de piégeage |v||/Vc| < √ ∆ est vérifiée. Le coefficient de ripple δ est supposé indépendant de θ, ce qui permet d’utiliser l’expression (5.2) de la profondeur d’un puits de ripple ∆. L’opérateur de collision utilisé ici est un opérateur de Krook pour des raisons de simplicité du calcul : en effet, dans un second temps, celui-ci sera complexifié par la prise en compte de la dérive E×B. L’opérateur de Krook est très basique, et son emploi n’est à priori pas justifié, mais l’expression finale des flux de particules est proche de celle dérivée dans [Connor 73]. En notant νef f = ν/∆ et fM la fonction de distribution Maxwellienne, l’opérateur de collision est écrit : C(f) = −νef f (f − fM) Fig. 5.2: Conventions utilisées Le calcul est effectué dans les variables (r,θ,ϕ, µ, E), avec µ = mV 2 c /2 et E = mv2/2 + eφ. Le plasma est supposé circulaire, avec des surfaces magnétiques concentriques (pas de décentrement de Shafranov). La figure 5.2 précise les conventions utilisées. L’équation de dérive cinétique 2.11 (introduite section 2.1) s’écrit, en régime stationnaire : 1 Il existe également des versions de ce calcul dans [Bourdelle 00] et en notes internes à l’IRFM : X. Garbet, P. Maget 95 vq.∇f + (VD + VE×B).∇f = −νef f (f − fM) (5.6) En premier lieu, un moyennage est effectué sur le mouvement de va-et-vient toroidal (de période T(E,µ, ∆) ) des particules piégées. L’opérateur … = 1 T H …dt = H … R v|| dϕ est appliqué ; celui-ci annule le terme périodique vq.∇f. Les vitesses de dérive étant quasiment constantes sur un période, l’équation 5.6 moyennée sur une oscillation dans un puits ripple devient : (VD + VE×B).∇f = −νef f (f − fM) (5.7) Le signe associé à l’opérateur de moyennage est omis par la suite. La fonction de distribution est développée f = fM(r,E) + f1(r,θ,ϕ, E,µ). La vitesse de dérive verticale est, avec uz vecteur unitaire vertical : VD = − (v 2 + v 2 ||) 2(eB/m)R uz ≃ E eB0R0 (sin θ ur − cos θ uθ ) où l’on a utilisé le fait que |v||/Vc| ∼ √ δ ≪ 1 pour les particules localement piégées. D’autre part VE×B ≃ Er B0 (uθ + ǫ q uϕ ), ce qui permet d’écrire les termes en V.∇f de l’équation 5.6 : VD.∇f = E eB0R0 sin θ ∂fM ∂r − E eB0R0 cos θ r ∂f1 ∂θ VE×B.∇f = ωE ( ∂f1 ∂θ + ǫ 2 q ∂f1 ∂ϕ ) A partir d’ici, l’effet de la dérive E × B va être ignoré en posant ωE = 0 : cela a été effectué dans le calcul de Connor et Hastie. Il vient alors : f1 = −w V th D νef f sin θ ∂fM ∂r (5.8) où w = E/T et V th D = T/eB0R0, vitesse de dérive verticale pour les particules d’énergie T. Le flux radial de particules (en m−2 s −1 ) est noté Γ. Il est calculé en sommant f1VD.ur sur le domaine des particules piégées et en moyennant sur les angles (θ, ϕ). f1VD.ur = −w 2 (V th D ) 2 νef f sin2 θ ∂fM ∂r.