Étude théorique d’un plasma dans la phase de transition allumage/combustion d’un moteur à gaz

 Compositions chimiques et Propriétés thermodynamiques 

Afin d’entreprendre une simulation des différents procédés ou applications faisant intervenir les plasmas thermiques, il est important de posséder les diverses propriétés du milieu étudié. Pour les modèles magnétohydrodynamiques, les propriétés thermodynamiques, les coefficients de transport ainsi que les propriétés radiatives constituent les données de base indispensables à la représentation de l’évolution du plasma. Dans le cadre des études impliquant la cinétique chimique, la composition du plasma à l’équilibre s’avère également nécessaire pour définir un état initial des espèces mises en jeu et peut aussi servir de référence à leurs évolutions. En vue de développer un modèle hydro-cinétique de l’allumage par étincelle d’un moteur à combustion, l’ensemble de ces données, pour le cas d’un mélange air-CH4, nous sont essentielles. Nous avons cependant noté lors de l’étude bibliographique l’absence d’une banque de données correspondante aux propriétés de ce mélange ce qui contraint la plupart du temps les auteurs à utiliser celles du plasma d’air pur . Cet état de fait nous a orienté vers le développement d’un outil permettant la détermination des propriétés du plasma pour notre étude, mais aussi pour les travaux à venir. Dans ce chapitre, nous allons poser l’une des bases incontournables au calcul de ces grandeurs notamment la composition chimique. Elle va nous permettre d’obtenir la concentration des différentes espèces (phases gazeuse et condensée) présentes dans le plasma en fonction de la température. De ces données, nous déduirons les propriétés thermodynamiques. Plus tard dans ce travail, nous exposerons les moyens adoptés pour la détermination des coefficients de transport ainsi que les propriétés radiatives relatives à notre étude. Le développement des méthodes de calcul de composition remonte à plusieurs décennies. Nous pouvons trouver dans la littérature de nombreux travaux présentant les compositions chimiques de gaz purs et/ou de mélanges de gaz . A l’état stationnaire, le calcul est mené sous l’hypothèse de l’équilibre thermodynamique local (ETL) ou hors équilibre thermique (HETL). On recense principalement quatre méthodes pouvant être utilisées pour le calcul des densités des espèces selon que l’on considère une pression ou une densité de masse donnée : – La minimisation de l’enthalpie libre de Gibbs [Whi]. – Le modèle collisionnel radiatif (C.R). – La loi d’action de masse [God.1, God.2]. – L’énergie libre de Helmholtz [And.2, Živ].  Les trois premières approches sont généralement considérées lorsque l’on souhaite, pour une pression donnée, obtenir les concentrations des espèces à l’ETL, ou bien réaliser une étude de déséquilibre thermique. Des auteurs comme André [And.1] ont effectué des comparaisons sur les résultats issus de ces trois méthodes pour un plasma d’azote à une pression de 1bar. Sur les densités des espèces à l’ETL, une bonne concordance a été trouvée entre les méthodes. Par contre en HETL, les résultats du modèle collisionnel radiatif présentaient des différences. Concernant la méthode basée sur l’énergie libre de Helmholtz, elle a été utilisée lors de quelques travaux de la littérature pour la détermination de l’évolution des espèces à volume constant [And.2, Živ]. Pour ce type de composition chimique, la loi d’action de masse offre aussi la possibilité d’effectuer le calcul en substituant l’équation de la pression par celle de la densité de masse [God.1]. Bien qu’il existe des approches permettant le calcul de la concentration des espèces dans un volume invariable, les compositions chimiques à pression constante demeurent cependant les plus étudiées dans le domaine des plasmas thermiques. Pour pouvoir déterminer la composition chimique d’un plasma, il est obligatoire de connaitre les fonctions de partition interne de chacune des espèces qui vont être mises en jeu. En pratique, elles se calculent suivant des formulations distinctes selon le type de l’espèce (atomique, diatomique et polyatomique). Les différentes données spectroscopiques des espèces sont alors dans ces cas nécessaires. Usuellement, elles proviennent du site du NIST pour les atomes [Kra.1] et de la table de la JANAF pour les molécules [Cha.3]. Pour la majorité des espèces, il existe une large gamme de niveaux d’énergies. Le calcul peut s’avérer alors délicat et conduire à la divergence du système de résolution. Ainsi une approximation s’impose afin de limiter les niveaux considérés. L’influence de cette limitation a été étudiée par Aubreton et al [Aub.3] sur les compositions chimiques du mélange argon-cuivre, ou bien encore par Capitelli et al [Cap.2] pour un plasma d’oxygène. Dans notre travail, la méthode utilisée pour le calcul de composition chimique est la loi d’action de masse. Le développement du code est basé sur le système d’équations et la procédure de calcul initialement définie par Godin et al [God.1, God.2]. Cette méthode permet de considérer les différents types d’espèces en phase gazeuse, mais aussi celles en phase condensée (liquide et solide). Les fonctions de partition interne sont évaluées à partir des équations appropriées pour le type d’espèce, dont les données requises sont extraites des sites du NIST [Kra.1] et de la JANAF [Cha.3]. Les évolutions des espèces sont dans notre cas déterminées dans les conditions de l’équilibre thermodynamique local. Afin de se rapprocher du comportement d’un fluide réel et établir ainsi un calcul sur une large gamme de température (300 10 000K) qui créent une énergie éloignant le plasma de l’état de gaz parfait. La correction du viriel quant à elle est nécessaire pour les basses températures (T< 6 000K) et les hautes pressions où les interactions moléculaires dominent le plasma. Dans la littérature, bien que le calcul de composition chimique soit mené à des pressions supérieures à celle de l’atmosphère, la correction du viriel a été souvent négligée [God.1, Kag, Koa, Roc, Wan.1]. Peu d’auteurs ont considéré simultanément ces corrections dans leurs travaux [Ail, And.2, Bil], alors qu’il existe une répercussion non négligeable sur les propriétés du plasma. A partir de la connaissance de la concentration ainsi que des fonctions de partition interne de chacune des espèces composant le plasma, les propriétés thermodynamiques peuvent être déterminées. De multiples publications correspondantes au calcul de ces propriétés sont présentées dans la littérature. Un état de l’art des travaux réalisés entre 1950 et 1978 pour des plasmas thermiques (purs et mélanges) à la pression atmosphérique est donné par Bonet et al en 1982 [Bon]. On peut aussi trouver des auteurs qui ont tabulé les propriétés thermodynamiques pour différents types de gaz plasmagènes en fonction de la température et de la pression [Bou, Cap.2, Che.2, Che.3, Che.4, Fro, Yan]. D’une manière générale, la majorité des travaux relatifs au calcul de composition présentent aussi les évolutions des propriétés thermodynamiques du plasma [And.1, And.2, And.3, Aub.1, Col.1, Col.2, Cre, God.1, Hin, Roc, Živ]. Sur l’ensemble des publications de la littérature que nous avons analysées, les équations de base utilisées pour le calcul de ces propriétés sont quasiment identiques selon que les conditions soient à l’ETL ou sous l’hypothèse de l’HETL. Les différences résident parfois dans le traitement des dérivées des fonctions de partition interne [And.1, Bou, Col.2, God.1, Hin], ou dans la prise en compte ou non des termes correctifs lors des calculs à hautes températures [Cap.2] et hautes pressions [Cap.2, Kal].

Equations et Méthodes 

 Fonctions de partition 

La fonction de partition de chacune des espèces est une grandeur indispensable à la détermination des propriétés du plasma. Elle permet d’établir un lien entre les propriétés microscopiques du système et les propriétés thermodynamiques macroscopiques. Dans le calcul de composition chimique, elle s’exprime souvent en termes de fonction de partition totale volumique qui tient compte de toutes les formes d’énergies dans la particule (atomes, molécules, électrons et ions). Pour une espèce chimique, elle est habituellement décrite à partir de la formulation suivante : 𝑄𝑡𝑜𝑡 𝑣𝑜𝑙(𝑇) = ( 2. 𝜋. 𝑚. 𝑘𝐵. 𝑇 ℎ 2 ) 3 2 .𝑄𝑖𝑛𝑡.𝑒 (− 𝐸0 𝑘𝐵.𝑇 + 𝛥𝑃) (II-1) où m est la masse de l’espèce, kB la constante de Boltzmann, T la température de calcul, h la constante de Planck, E0 l’énergie de référence et ΔP le terme correctif de la pression [Cap.2]. Le premier terme de cette équation fait référence à la fonction de partition de translation Qtrans. Qint représente la fonction de partition interne constituée généralement suivant le type d’espèce par les fonctions de partition rotationnelle, vibrationnelle et électronique. Le dernier terme correspond à la fonction de partition de réaction. En pratique, l’énergie de référence de cette expression est issue des tables de JANAF où elle se trouve sous la forme de l’enthalpie de formation ∆Hf évaluée au zéro absolu de la température (0K) [Cha.3]. 

 Fonction de partition interne des atomes 

Pour les espèces monoatomiques (neutres et ionisées), les structures vibrationnelles et rotationnelles n’existent pas. Ainsi, seuls les niveaux électroniques constituent la fonction de partition interne des atomes. Son équation s’exprime de la manière suivante pour une espèce : 𝑄𝑖𝑛𝑡(𝑇) = ∑𝑔𝑖 .𝑒 − 𝐸𝑖 𝑘𝐵.𝑇 𝑖 (II-2) avec : – gi : le poids statistique du niveau électronique i donnée par la relation gi=2.J+1, dont J est le nombre quantique de moment angulaire de chaque niveau. – Ei : l’énergie du niveau électronique. Pour les atomes ou les ions totalement libres, la sommation sur les niveaux électroniques peut conduire à une divergence à haute température, au voisinage de la limite d’ionisation. Il s’avère alors nécessaire d’introduire un critère permettant de limiter les niveaux considérés. Dans la littérature [Cap.2], il existe trois principaux critères qui peuvent être utilisés, à savoir : la méthode de l’état fondamental, les critères de coupure de Debye-Hückel (l’un défini par Griem, et un autre par Margenau et Lewis), et le critère de Fermi. Certains travaux ont été consacrés spécifiquement à l’influence du critère choisi comme l’étude de Aubreton et al sur un mélange d’argon et de cuivre [Aub.3], ou encore celle de Capitelli et al pour un plasma d’oxygène [Cap.2]. Les résultats de ces auteurs montrent des désaccords sur l’évolution des espèces en dessus de 10 000K. Les différences touchent les espèces qui sont en voies de disparition, sans pour autant impacter celles qui sont prépondérantes. Dans nos développements, la limitation s’opère par l’approche proposée par Griem. Elle a pour principe de réaliser une différence entre l’énergie d’ionisation Eion et l’abaissement du potentiel d’ionisation ΔE. Ainsi, la sommation s’effectue sur l’ensemble des énergies électroniques Ei respectant le critère de l’équation II-3. Cette formulation peut également être trouvée dans de nombreux travaux [Ail, Bil, Bou, Cap.2, Cre.1, God.1, Hin, Kag, Koa, Wan.1, Wan.2]. 

Fonction de partition interne des molécules 

Les fonctions de partition interne des molécules tiennent compte de toutes les formes d’énergies citées précédemment dans ce chapitre (cf. §1.1 de ce chapitre). Dans ses travaux, Chapitre II – Compositions chimiques et Propriétés thermodynamiques 38 Godin [God.1] propose une approximation qui peut être à la fois utilisée pour la détermination des fonctions de partition interne des espèces diatomiques et des espèces polyatomiques. Elle est donnée par la formulation suivante en fonction des données thermochimiques compilées dans les tables de JANAF [Cha.3] : 𝑄𝑖𝑛𝑡(𝑇) = 𝑃𝑟 𝑘𝐵. 𝑇 ( ℎ 2 2. 𝜋. 𝑚. 𝑘𝐵. 𝑇 ) 3 2 .𝑒 [ 1 𝑁𝑎.𝑘𝐵 ( [𝐻(0)−𝐻(𝑇𝑟)]𝐽𝐴𝑁𝐴𝐹 𝑇 −[ 𝐺−𝐻(𝑇𝑟) 𝑇 ] 𝐽𝐴𝑁𝐴𝐹)] (II-6) avec : – Pr et Tr : respectivement la pression standard (Pr =1bar) et la température de référence (Tr = 298.15K) des tables de la JANAF. – Na : le nombre d’Avogadro. – H(0) – H(Tr) : l’enthalpie évaluée à zéro kelvin. – [G – H(Tr)]/T : l’énergie de Gibbs qui doit être connue pour toutes les valeurs de la température. Dans les tables de la JANAF, les données tabulées présentent des pas en température variables et grossiers (50K minimum). De plus, elles n’existent que pour une gamme de température qui va généralement de 0 à 6 000K. Bien que les molécules ne soient dominantes qu’à basse température, il est toutefois essentiel de disposer de leurs fonctions de partition pour la gamme des températures d’intérêts. Ainsi, pour chacune des espèces moléculaires considérées dans nos calculs, les données sont en premier lieu passées dans une fonction spline cubique afin de réaliser une interpolation en température (ΔT = 1K) de résolution. Afin d’obtenir les valeurs des fonctions de partition interne au-delà de 6 000K, nous avons choisi, après plusieurs analyses de leur variation, d’extrapoler ces données à partir d’une fonction polynôme de degré 2. Nous verrons lors de la confrontation avec des résultats de la littérature que cette approximation est raisonnable et qu’elle n’influence en aucun cas l’évolution globale des espèces.