Isomorphismes entre groupes de cohomologie ;
Plongement de structures CR de fibrés en tores sur le cercle

Isomorphismes d’applications naturelles

 Dans ce chapitre nous allons voir que certains résultats d’isomorphisme entre groupes de cohomologie de Dolbeault permettent de résoudre directement certains problèmes comme celui du ∂ pour les courants prolongeables. 

Résolution du ∂ pour les courants prolongeables d’ordre N 

Nous allons nous intéresser, exactement comme dans [58], à la résolution du ∂ pour les courants de bidegré (p,q) d’ordre l sur Ω et prolongeables, où Ω est un domaine strictement pseudoconvexe de C n . Par le théorème suivant nous obtenons l’annulation du groupe de cohomologie de Dolbeault des courants prolongeables de bidegré (p, r ) et d’ordre l dans un domaine strictement pseudoconvexe de C n pour 1 ≤ r ≤ n. Le résultat principal de cette section est le suivant : Théorème 2.1.1 Soit Ω ⊂⊂ C n un domaine strictement pseudoconvexe à bord lisse de classe C ∞. Si T est un courant de bidegré (0, r ), d’ordre l, prolongeable et ∂ fermé sur Ω, alors il existe un courant S de bidegré (0, r −1), d’ordre l, sur Ω, prolongeable, et tel que ∂S = T sur Ω pour 1 ≤ r ≤ n. D’après [47] les courants prolongeables de bidegré (p,q) d’ordre l sur Ω sont les duaux topologiques des (n −p,n −q) formes différentielles de classe C l à support compact sur Ω. La technique de résolution est identique à celle de [55], dans lequel S. Sam11 bou a résolu le ∂, pour les courants prolongeables. Il montre qu’il existe une solution du ∂ pour un courant prolongeable. Ici nous montrons que si le courant est prolongeable d’ordre l, alors il admet une solution du ∂ qui est aussi un courant prolongeable d’ordre l. Notation 2.1.2 Soit Ω un domaine de C n , on note H0,l p,q (Ω) le (p,q)-ième groupe de ∂ cohomologie des formes différentielles de classe Cl et à support compact dans Ω et H0,l,cour p,q (Ω) le (p,q)- ième groupe de ∂ cohomologie des courants d’ordre l à support compact dans Ω. Les (p,q) formes différentielles de classe Cl et à support compact sur Ω sont notées Dl p,q (Ω). Nous avons d’abord la proposition suivante ; il s’agit de la résolution du ∂avec condition de support : Proposition 2.1.3 Soit Ω un domaine strictement pseudoconvexe à bord lisse de classe C ∞. Si f ∈ D l p,r (Ω)∩ ker∂, alors il existe g ∈ D l p,r −1 (Ω) telle que ∂g = f sur C n , pour 1 ≤ r ≤ n −1. Preuve. Soit f ∈ D l p,r (Ω)∩ker∂, puisque H 0,l p,r (C n ) ≈ H 0,∞ p,r (C n ) = 0, il existe h ∈ D l p,r −1 (C n ) telle que ∂h = f . Puisque h est une (p, r −1) forme sur C n à support compact, on a ∂h|Cn\Ω = 0. Si r = 1, alors h|Cn\Ω est une (p,0) forme holomorphe à support compact. Le principe du prolongement analytique entraîne h = 0 sur C n \Ω. Si r ≥ 1 alors h|Cn\Ω est une (p, r − 1) forme différentielle à support compact et de classe C l . D’après le théorème (3-1) de [41], il existe θ ∈ C l p,r −2 (C n \ Ω) telle que ∂θ = h|Cn\Ω . Soit θ˜ une extension de θ à Ω posons u = h − ∂¯θ˜, alors ∂u = ∂h = f et u est à support compact sur Ω. Preuve du théorème 2.1.1. Considérons l’application LT : ∂D l n,n−r (Ω) → C qui à ∂ϕ associe 〈T,ϕ〉. Lemme 2.1.4 LT est bien définie. Preuve du Lemme 2.1.4. Si ∂ϕ = ∂ϕ′ alors ϕ − ϕ ′ est une (n,n − r ) forme différentielle de classe C N , à support compact sur Ω et ∂ fermée. Si n −r = 0, alors ϕ−ϕ ′ est une (n,0) forme holomorphe à support compact. Donc ϕ−ϕ ′ = 0 grâce au principe du prolongement analytique. On a 〈T,ϕ〉 = 〈T,ϕ ′ 〉. Si n −r ≥ 1, alors ϕ−ϕ ′ est une (n,n −r ) forme différentielle de classe C N à support compact sur Ω. D’après la proposition 2.1.3 ϕ − ϕ ′ = ∂θ où θ ∈ D l n,n−r −1 (Ω) qui est un espace de Banach. Puisque D l n,n−r −1 (Ω) est dense dans D l n,n−r −1 (Ω), il existe (θj)j∈N une famille d’éléments de D l n,n−r −1 (Ω) telle que lim j→+∞ θj = θ dans D l n,n−r −1 (Ω). On a alors 〈T,∂θ〉 = lim j→+∞ 〈T,∂θj〉 = 0. Ce qui entraîne 〈T,ϕ〉 = 〈T,ϕ ′ 〉. Donc LT est bien définie. Lemme 2.1.5 LT est continue. Preuve du Lemme 2.1.5. Pour 1 ≤ r ≤ n −1, l’opérateur ∂ : D l n,n−r (Ω) −→ D l n,n−r +1 (Ω)∩ker∂ est linéaire continu et surjectif entre espaces de Banach, donc ouvert. Pour montrer que LT est continue, il suffit de montrer que l’image réciproque de tout ouvert U de C par LT est un ouvert de D l n,n−r (Ω). Soit U un ouvert de C, puisque LT ◦ ∂ = T , on a L −1 T (U) = ∂(T −1 (U)). T −1 (U) est ouvert et ∂ est une application ouverte d’où L −1 T (U) est un ouvert. Suite de la preuve du théorème. D’après le lemme 2.1.4 et le lemme 2.1.5 l’application LT est bien définie et continue. Il est évident qu’elle est aussi linéaire. De plus ∂D l n,n−r (Ω) = D l n,n−r +1 (Ω)∩ker∂ ⊂ D l n,n−r +1 (Ω). Donc LT : ∂D l n,n−r (Ω) −→ C est définie linéaire et continue. D’après le théorème de Hahn-Banach LT se prolonge en une forme L˜ T linéaire et continue sur D l n,n−r +1 (Ω). L˜ T est un courant prolongeable d’ordre l et ∂L˜ T = (−1)r T . 

 Quelques résultats d’isomorphismes d’applications naturelles 

Soit X une variété analytique complexe et soit M une sous variété réelle de X de codimension d. Nous savons d’après [3] que si M est q-concave avec 1 ≤ q ≤ n−d 2 , alors l’application naturelle H l 0,r (M) −→ H l,cour 0,r (M) est un isomorphisme pour 0 ≤ r ≤ q −1 ou n −d −q + 2 ≤ r ≤ n −d, et est surjective pour r = n −d − q +1. Considérons maintenant une hypersurface réelle S de X. C’est une sous-variété CR de codimension réelle 1. Nous savons d’après [56, Théorème IV.A.1] que si S a une hessienne ayant q valeurs propres de même signe, q ≥ n+1 2 , alors l’application naturelle H ∞ 0,r (S) −→ H ∞,cour 0,r (S) est injective si n − q +1 ≤ r ≤ q et est surjective si n − q ≤ r ≤ q −1. Nous voulons obtenir la version C l de ce résultat. Notons que S n’est pas q-concave au sens de la définition 1.0.7. Notons par H˘ l 0,r (Ω) (respectivement H l 0,r (Ω)), l = 0,1··· ,∞, le (0, r )-ième groupe de cohomologie de Dolbeault des courants prolongeables d’ordre l (respectivement celui des formes différentielles de classe C l sur Ω), où Ω est un ouvert de X. Nous avons d’abord les propositions suivantes : Proposition 2.2.1 L’application naturelle de H˘ l 0,r (Ω) −→ H˘ ∞ 0,r (Ω) est un isomorphisme pour 0 ≤ r ≤ n. Preuve. (a) Injectivité : Soit [T ] ∈ H˘ l 0,r (Ω) tel que [T ] = 0 dans H˘ ∞ 0,r (Ω), il existe un courants S prolongeable tel que T = ∂S. On a d’après [46], Tˆ = ∂Sˆ où Tˆ et Sˆ sont des prolongements de T et S à support sur Ω. D’après [18], pour ε > 0, Sˆ = RεSˆ+∂AεSˆ+ AεTˆ Tˆ = ∂Sˆ = ∂RεSˆ+∂AεTˆ Tˆ |Ω = T = ∂RεSˆ |Ω +∂AεTˆ |Ω AεTˆ a une régularité sur Ω meilleure que celle de Tˆ sur un ε-voisinage de Ω, donc AεTˆ |Ω est d’ordre l. RεSˆ |Ω est de classe C ∞. Donc T est d’ordre l, d’où l’injectivité de l’application naturelle. 14 (b) Surjectivité : Soit [T ] ∈ H˘ ∞ 0,r (Ω) et Tˆ une extension de T à support sur Ω de T , Tˆ = RεTˆ +∂AεTˆ + Aε∂Tˆ avec ∂Tˆ = 0 sur Ω. T = Tˆ |Ω = (RεTˆ + Aε∂Tˆ )+∂AεTˆ |Ω. Aε∂Tˆ est à support sur un ε-voisinage de Ω ; donc Aε∂Tˆ |Ω est un courant prolongeable. La régularité de Aε∂Tˆ |Ω est meilleure que celle de ∂T sur tout ouvert de X ; donc Aε∂Tˆ |Ω est un courant d’ordre. RεTˆ est de classe C ∞. Donc [T ] = [(RεTˆ + Aε∂Tˆ )|Ω] qui appartient à H˘ l 0,r (Ω), d’où la surjectivité de l’application naturelle. Proposition 2.2.2 L’application naturelle de H ∞ 0,r (Ω) −→ H l 0,r (Ω) est un isomorphisme pour 0 ≤ r ≤ n. Preuve. Soit [f ] ∈ H ∞ 0,r (Ω) telle que [f ] = 0 dans H l 0,r (Ω). Il existe g ∈ C l o,r −1 (Ω) telle que ∂g = f dans Ω. Soit g˜ une extension de classe C l de g à X. On a : g˜ = Rεg˜ +∂Aεg˜ + Aε∂g˜. Ceci entraine que : ∂g = ∂(Rεg˜ + Aε∂g˜) |Ω . Puisque la régularité de Aε∂g˜ est de (1-0) meilleure que celle de f sur un ε-voisinage de Ω donc Aε∂g˜ est de classe C ∞ sur Ω. Alors : h = (Rεg˜ + Aε∂g˜)|Ω est de classe C ∞ sur Ω et on a ∂h = f sur Ω. Donc l’application naturelle est injective. Soit f ∈ H l 0,r (Ω), alors : ˜f = Rε ˜f +∂Aε ˜f + Aε∂ ˜f où ˜f est une extension de classe C l de f à X avec ∂ ˜f = 0 sur Ω. f = (Rε ˜f + Aε∂ ˜f )|Ω +∂Aε ˜f|Ω 15 sur Ω. (Rε ˜f + Aε∂ ˜f ) est de classe C ∞ sur Ω ; Donc [f ] = [(Rε ˜f + Aε∂ ˜f )|Ω]. Ainsi l’application naturelle de H ∞ 0,r (Ω¯ ) −→ H l 0,r (Ω¯ ) est un isomorphisme. Comme conséquense des propositions 2.2.1 et 2.2.2 nous avons la version C l des annulations des groupes de ∂-cohomologie des courants prolongeables de [55], [56] et [11], ainsi que les annulations des groupes de cohomologie des formes différentielles de classe C l sur Ω¯ obtenus également dans ces travaux. Il s’agit du théorème suivant : Théorème 2.2.3 Soit X une variété analytique complexe de dimension n, Ω ⊂⊂ X un domaine à bord lisse de classe C∞, alors : (a) Si Ω est complètement strictement (q +1)-convexe, 0 ≤ q ≤ n −2 on a : H l 0,r (Ω¯ ) = 0 pour 1 ≤ r ≤ q +1 (b) Si X est une variété de Stein et si elle est une extension q-convexe de Ω, 1 ≤ q ≤ n −1, on a : H l 0,r (X \Ω) = 0 pour n − q +1 ≤ r ≤ n −1 (c) Si Ω est complètement strictement q-convexe, 0 ≤ q ≤ n −1, on a : H˘ l 0,r (Ω) = 0 pour 1 ≤ n − q ≤ r ≤ n (d) Si X est une variété de Stein et si elle est une extension q-convexe de Ω, 1 ≤ q ≤ n −1, on a : H˘ l 0,r (X \Ω) = 0 pour 1 ≤ r ≤ q et r ≤ n −2 (e) Si X est une variété de Kähler et si Ω est à bord lipschitzien et est logδ-pseudoconvexe, alors pour tout fibré holomorphe hermitien E sur X , on a : H l 0,r (X,Ω,E) = 0 pour 1 ≤ r ≤ n −1 (f ) Si X est une variété de Kähler et si Ω est à bord lipschitzien et est logδ-pseudoconvexe on a : H˘ l 0,r (Ω) = 0 pour 1 ≤ r ≤ n −1 16 Remarque 2.2.4 Puisqu’un domaine strictement pseudoconvexe est complètement strictement n−1-convexe, donc en appliquant le point (c) du théorème 2.2.3 on obtient directement le théorème 2.1.1 de résolution du ∂ pour les courants prolongeable d’ordre N dans un domaine strictement pseudoconvexe de C n . Proposition 2.2.5 Soit X une variété analytique complexe et S une hypersurface lisse de X de classe C∞. Alors l’application H ∞ 0,r (S) −→ H l 0,r (S) est un isomorphisme pour 0 ≤ r ≤ n −1. Preuve. Quitte à restreindre X, on peut supposer que S partage X en deux composantes connexes X + et X −. Notons par C l 0,r (A) l’espace des (0,r)-formes de classe C l sur A dont le ∂ ou le ∂b est aussi de classe C l sur A où A peut désigner X, X + , X − ou S. Des suites courtes 0 −→C l 0,r (X) −→C l 0,r (X + )⊕C l 0,r (X − ) −→C l 0,r (S) −→ 0 et 0 −→C ∞ 0,r (X) −→C ∞ 0,r (X + )⊕C ∞ 0,r (X − ) −→C ∞ 0,r (S) −→ 0 on a les suites longues 0 /H l 0,0(X) / f0  H l 0,0(X + )⊕ H l 0,0(X − ) / g0  0 /H ∞ 0,0(X) /H ∞ 0,0(X + )⊕ H ∞ 0,0(X − ) / /H l 0,0(S) / h0  H l 0,1(X) / f1  ··· /H ∞ 0,0(S) /H ∞ 0,1(X) /··· où les applications naturelles f0, g0, f1,··· sont des isomorphismes. Donc l’application naturelle hr : H l 0,r (S) −→ H ∞ 0,r (S) est un isomorphisme pour 0 ≤ r ≤ n −1 Théorème 2.2.6 Soit Ω un ouvert à bord C∞ d’une variété analytique complexe X de dimension n. Soit bΩ le bord de Ω ; Alors : 17 (a) Si bΩ est strictement q-concave, q ≥ n+1 2 , alors l’application naturelle Hl 0,r (Ω) −→ H˘ l 0,r (Ω), l = 0,1··· ,∞, est un isomorphisme si 0 ≤ r ≤ q −1 et est injective si r = q. (b) Si bΩ est strictement q-convexe, q ≥ n+1 2 , alors l’application naturelle Hl 0,r (Ω) −→ H˘ l 0,r (Ω), l = 0,1··· ,∞, est un isomorphisme si r ≥ n−q+1 et est surjective si r = n−q. Preuve. Ce résultat découle immédiatement des propositions 2.2.1 et 2.2.2 et de [56, corollaire III.10]. Comme application des résultats précédents, on a : Théorème 2.2.7 Soit X une variété analytique complexe de dimension n et S une hypersurface réelle de X . Si S a une hessienne ayant q valeurs propres de même signe, q ≥ n+1 2 , alors l’application naturelle de H l 0,r (S) −→ H ∞,cour 0,r (S), l = 0,1··· ,∞, est injective si n − q +1 ≤ r ≤ q et est surjective si n − q ≤ r ≤ q −1. Preuve. Quitte à restreindre X, on peut supposer que S partage X en deux composantes connexes X + et X −. Puisque H l 0,r (X + ) ≃ H ∞ 0,r (X + ) et H l 0,r (X − ) ≃ H ∞ 0,r (X − ) pour 0 ≤ r ≤ n, on remplace, grâce à la proposition 2.2.5, les données de classe C ∞ par des données de classe C l , dans la suite longue de la preuve de [56, théorème IV.A.1]. On obtient alors le diagrame commutatif suivant : /H l 0,r (X) / cr  H l 0,r (X + )⊕ H l 0,r (X − ) / ar  H l 0,r (S) / br  /H l,cour 0,r (X) /H˘ l 0,r (X +)⊕ H˘ l 0,r (X −) /H ∞,cour 0,r (S) / /H l 0,r +1 (X) / cr+1  /H l 0,r +1 (X + )⊕ H l 0,r +1 (X − ) / ar+1  ··· /H l,cour 0,r +1 (X) /H˘ l 0,r +1 (X +)⊕ H˘ l 0,r +1 (X −) /··· 18 où les flèches verticales sont les applications naturelles. On peut supposer sans perte de généralité que X + se situe du coté convexe de S. D’après le théorème 2.2.6, ar et ar +1 sont injectives si n − q +1 ≤ r ≤ q et sont surjectives si n − q ≤ r ≤ q −1. Puisque cr et cr +1 sont des isomorphismes, on a le résultat grâce au lemme des 5. Nous avons aussi la proposition suivante comme autre application Proposition 2.2.8 Soit X une variété de Stein de dimension n ≥ 1 et Ω ⊂ X un domaine relativement compact à bord bΩ lisse de classe C∞ tel que X soit une extension q-convexe de Ω. Alors : H l 0,r (bΩ) = 0 pour l = 0,··· ,∞ et n − q ≤ r ≤ q −1.