La Décomposition Modale Empirique

EMD : Méthode originelle ou EMD classique 4

Quelques définitions Définition 4.2.1 Notion de moyenne locale : Soit Ω ⊂ R le domaine de définition d’une fonction x ∈ L 1 loc(Ω) et Iδ = [t − δ 2 , t + δ 2 ], une fenêtre d’observation. La moyenne locale du signal x définie au travers de Iδ est donnée par : Mlocδ[x](t) = 1 δ Z Iδ x(y)dy (4.1) La fonction Mlocδ[x](t) est plus régulière que x en ce sens qu’elle est dérivable sur Iδ. 

EMD : Méthode originelle ou EMD classique

Définition 4.2.2 L’enveloppe moyenne d’un signal s est une extension de la notion de moyenne locale. En pratique, elle est définie par la demi-somme de ses enveloppes supérieure et inférieure, qui sont obtenues par interpolation des maxima et des minima respectivement. Il existe différentes méthodes d’interpolation pour les enveloppes. La plus utilisée est l’interpolation par spline cubique. Définition 4.2.3 Un IMF (pour Intrinsic Mode Function) est une fonction oscillante de moyenne nulle, c’est-à-dire une fonction : • dont le nombre d’extrema et le nombre de passages par zéro diffèrent d’au plus un. • dont la moyenne locale, au sens de la définition précédente, est nulle en tout point. Définition 4.2.4 Un signal AM-FM monocomposante est un signal pouvant s’écrire sous la forme : s(t) ∆= a(t)cos Z t 0 2πf(τ )dτ (4.2) Cette définition contient à la fois la fonction AM, a(t) et la fonction FM, f(t). Ces signaux sont largement utilisés et peuvent modéliser efficacement des systèmes comme la transmission d’informations dans un canal, les systèmes RADAR et SONAR. L’intérêt principal en traitement du signal est la facilité d’extraction d’informations relatives à des grandeurs comme l’amplitude instantanée a(t) et la fréquence instantanée f(t) à partir d’un signal modulé s(t). Définition 4.2.5 On appelle Sifting Process (SP) la procédure qui consiste à soustraire à un signal sa moyenne locale, plusieurs fois de suite jusqu’à obtenir une moyenne (quasi) nulle. Définition 4.2.6 Une intermittence est une perturbation additionnelle localisée sur un signal. Le fait d’avoir des propriétés d’un IMF le rend difficile à extraire sans une opération suplémentaire après sifting. Définition 4.2.7 Un mixage de modes ou mode mixing est une superposition, dans des proportions déterminées, de deux ou de plusieurs modes. Ce mélange garde toutefois les propriétés d’un IMF, ce qui rend difficile la séparation avec les méthodes classiques. 

Principe

L’EMD postule que tout signal réel se décompose en une moyenne locale ou tendance locale m et une composante plus oscillante d1. On a ainsi : s = d1 + m (4.3) 42 4. Sur La Décomposition Modale Empirique Considérons un signal s, l’EMD va le décomposer en une somme finie de modes oscillants. On pourra alors écrire : s = X N k=1 dk + r (4.4) Les modes oscillants dk appelés IMFs (Intrinsic Mode Function), sont des fonctions oscillantes autour de 0, et de moyenne locale nulle. Le résidu r est plutôt moins oscillant donc plus basse fréquence que dk, c’est-à-dire qu’il contient au plus 3 extrema. La méthode originale définit l’enveloppe supérieure d’un signal (resp. inférieure) comme l’interpolation par splines cubiques des maxima (resp. minima) du signal. On peut alors définir l’enveloppe moyenne comme demi-somme de ces deux enveloppes. L’algorithme consiste donc à extraire successivement les modes en soustrayant au signal son enveloppe moyenne. Cependant, les modes ainsi extraits ne sont pas des IMF : bien qu’ils oscillent autour de 0, ils ne pourront être ainsi que si leur moyenne locale est nulle. Le rôle du sifting process est de tamiser ces protomodes pour obtenir de véritables IMFs. Pour cela, on soustrait au mode son enveloppe moyenne, plusieurs fois, jusqu’à obtenir une moyenne locale – ou enveloppe moyenne – quasi-nulle. 

Algorithme Algorithm 1 

Empirical Mode Decomposition Algorithm 1: Initialisation : r = f,k = 1 2: Calcul de l’enveloppe moyenne e de r (i.e. la moyenne de l’enveloppe des minima et de l’enveloppe des maxima de r). 3: Extraction de fonctions intermédiaires pi = r − e et posons r = e. 4: Tant que pi n’est pas un IMF répéter • Calcul de l’enveloppe moyenne e de pi • pi+1 = pi − ei ; i = i + 1 5: dk = pi , r = r − dk 6: Si r n’est pas monotone, retour à l’étape 2 et posons k = k + 1 sinon la décomposition est terminée. Le sifting process, que l’on pourrait traduire par processus de tamisage, correspond à l’extraction d’un IMF, à partir d’un signal donné. La fonction de mode intrinsèque, ou IMF, ainsi obtenue peut être vue comme les détails du signal, de variation rapide. Pour cela, on extrait de façon itérative ces détails, jusqu’à conserver un IMF. Lorsqu’un IMF est extraite du signal, le signal résiduel est privé des variations les plus rapides, qui ont été capturées par la fonction mode intrinsèque. On constate ainsi expérimentalement une diminution du nombre d’extrema et donc l’arrêt de l’algorithme. En particulier, le dernier 4.2. EMD : Méthode originelle ou EMD classique 43 résidu est une fonction monotone, qui traduit la tendance générale du signal. On aura finalement, une décomposition de la forme : x(t) = mN + X N i=1 di.

Exemples

Voyons ici le comportement de l’EMD sur des exemples bien contrôlés. On considère des signaux dont on connaît a priori les différentes IMFs, par construction. Dans la figure 4.2 on voit bien comment l’EMD retrouve remarquablement bien les différentes composantes. • Signal − test1 : mélange de sinusoïdes (figure 4.2) s1 = X 3 i=1 sin(2νiπt), avec ν1 = 28, ν2 = 13 et ν3 = 4. • Signal − test2 : mélange de sinusoïdes modulées AM/FM (figure 4.3) s2 = X 3 i=1 ai(t)sin(φi(t)t), On ne donnera pas l’écriture analytique des amplitudes et fréquences instantanées de chaque composante, mais on pourra se reporter à la figure. • Signal − test3 : Signal oscillant discontinu (figure 4.4).