Nous pla»cons cette notion dans le contexte des ¶equations difi¶erentielles pour la pr¶esente ¶etude. L’espace X £ U des variables ind¶ependantes et d¶ependantes doit ^etre prolong¶e pour prendre en compte les d¶eriv¶ees partielles qui flgurent dans le systµeme.

Nous notons Ur l’espace de toutes les d¶eriv¶ees partielles d’ordre r de la fonction u et U(k) = U1 £ U2 £ ::: £ Uk l’espace produit cart¶esien de toutes les difi¶erentes d¶eriv¶ees de la fonction de l’ordre 0 µa l’ordre k. Par exemple, si le systµeme est tel que p = 2 et q = 1 nous avons X = R2 et U = R et ainsi l’espace U1 a pour coordonn¶ees (ux; uy). L’espace U2 a pour coordonn¶ees (uxx; uxy; uyy): L’espace U(2) contient toutes les d¶eriv¶ees partielles de u jusqu’µa l’ordre 2 et a pour coordonn¶ees (u; ux; uy; uxx; uxy; uyy). Le kieme prolongement (ou prolongement d’ordre k ) d’une fonction u est directement li¶e aux coordonn¶ees obtenues plus haut. En efiet, le prolongement est une fonction vectorielle allant de l’espace des variables ind¶ependantes vers l’espace U(k) et dont les composantes repr¶esentent les valeurs de u et de ses d¶eriv¶ees jusqu’µa l’ordre k.

Ainsi pour le systµeme d¶ecrit plus haut (p = 2 et q = 1) , le prolongement d’ordre 2 est donn¶e par (u; ux; uy; uxx; uxy; uyy). L’espace total X£U(k) contenant les variables ind¶ependantes et d¶ependantes ainsi que les d¶eriv¶ees de ces derniµeres est appel¶ « espace de jet d’ordre k » de l’espace X £ U. On peut constater qu’il prend en compte tous les el¶ements flgurant dans notre systµeme d’¶equations (2.1) Dans le cas g¶en¶eral de notre systµeme d¶eflni sur un sous ensemble M de X £ U ,on d¶eflnit l’espace de jet d’ordre k de M par M(k) = M £ U1 £ U2 £

::: £ Uk. Le systµeme d’¶equations peut alors ^etre consid¶er¶ comme une correspon-dance de l’espace X £ U(k) vers un espace euclidien de dimension m. Ainsi les ¶equations d¶eterminent le lieu g¶eom¶etrique oµu s’annule cette correspon-dance sur l’ensemble de d¶epart. Elles d¶eterminent donc une sous vari¶et¶ de cet espace. Aussi le graphe du prolongement d’ordre k de toute solution du systµeme doit-il ^etre contenu dans cette sous vari¶et¶. A titre d’exemple, consid¶erons l’¶equation de Laplace dans le plan :

uxx + uyy = 0 Cette ¶equation d¶etermine une sous vari¶et¶ dans l’espace X £ U(2) lequel est de coordonn¶ees locales (x; y; ux; uy; uxx; uxy; uyy). Utilisant la condition portant sur le prolongement d’ordre 2 de toute solution, (il doit ^etre contenu dans la sous vari¶et¶e) nous pouvons v¶erifler si la fonction f : (x; y) 7!x3¡3xy2 est solution de l’¶equation de Laplace dans le plan. Le prolongement d’ordre k d’une fonction u se note pr(k)u On a donc pr(2)f(x; y) = (x3 ¡ 3xy2; 3×2 ¡ 3y2; ¡6xy; 6x; ¡6y; ¡6x): Les quatriµeme et sixiµeme composantes ont leur somme nulle (¡6x + 6x) comme l’exige l’¶equation de Laplace. La fonction f est bien solution de notre ¶equation. L’espace X £ U a et¶ prolong¶e de fa»con µa prendre en compte les d¶eriv¶ees partielles D¶eflnition 2.5 Soit G un groupe de transformations op¶erant sur un sous ensemble M de X £U. L’action du groupe G sur l’espace de jet M(k) d’ordre k est le prolongement du m^eme ordre du groupe. Ce prolongement transforme les d¶eriv¶ees des fonctions initiales en d¶eriv¶ees des fonctions prolong¶ees. Ainsi, dire qu’un groupe G est un groupe de sym¶etries d’une ¶equation difi¶erentielle revient µa dire que la sous vari¶et¶ correspondant µa cette ¶equation est invariante par l’action du groupe prolong¶e.

Le r¶esultat suivant, fondamental dans l’analyse classique s’en suit alors :

Proposition 2.1 Consid¶erons un systµeme d’¶equations difi¶erentielles d’ordre

k :¢i ¡x; u(k)¢ = 0 d¶eflnies sur une vari¶et¶ M contenue dans X £ U et un groupe local de transformations G op¶erant sur M . Si l’action du kiemeµ prolongement de tout g¶en¶erateur inflnit¶esimal de G s’annule sur le systµeme alors G est un groupe de Lie de sym¶etries du systµeme. Au terme de ce paragraphe, nous savons que pour la d¶etermination du groupe de sym¶etries, la forme g¶en¶erale pq

X @ Xl @

fi =    ·i(x; u)+’l(x; u)

@ul

i=1@xi=1

est utilis¶ee avec la condition

pr(k)fi · 0

sur l’ensemble des solutions de (2:1). Cette condition permet de d¶eterminer les coe–cients ·i et ’l de « l’op¶erateur de sym¶etries » fi. Nous pouvons d¶esormais voir les difi¶erentes ¶etapes de la m¶ethode de Lie. 18

Les ¶etapes 1 µa 5 suivantes permettent la d¶etermination des sym¶etries.

Etape 1

On construit le prolongement d’ordre k du champ de vecteur

pq

X@Xl@

fi =·i(x; u)+’l(x; u)

@ul

i=1@xi=1

par

qX

(k)Xl(k)@

J

pr fi = fi + “l (x; u ) ; 1 • jJj • k

@ul

=1JJ

oµu les coe–cients “J sont d¶etermin¶es de la fa»con suivante :

l

Xp

“Jli = Di’l(x; u) ¡ ulJj Di·j(x; u)

j=1

oµu Ji est le p-uplet avec 1 µa la iµeme position et 0 partout ailleurs et Di est l’op¶erateur de d¶erivation totale :

qX

@Xl@

Di = + uJl ;   0 • jJj • k

@xi+Ji@ul

=1JJ

Les prolongements d’ordre sup¶erieur sont d¶eflnis par

Xp

“Jl+Ji = Di“Jl ¡ ulJ+Jj Di·j(x; u) ; jJj ‚ 1 j=1

Etape 2

On applique l’op¶erateur de prolongement pr(k)fi µa chaque ¶equation ¢i ¡x; u(k)¢ = 0 et on requiert que

fl

pr(k)fi ¢ifl¢j=0 = 0 i; j = 1; :::; m