TD : METHODE D’EULER

Problème 

On est souvent amené en classe de Terminale S, en électricité, en radioactivité (voir à la rentrée) ou en mécanique, par exemple, à MODELISER un phénomène et par la suite à comparer (d’où l’écart relatif …) un résultat expérimental avec ce modèle. Nombreux sont les modèles qui débouchent sur la résolution d’une équation différentielle. De nombreux logiciels de saisies et de traitement de données résolvent graphiquement les équations différentielles et permettent la superposition d’une courbe expérimentale avec la résolution graphique de l’équation différentielle.
Dans ce TD, vous allez découvrir, à partir d’un exemple, une procédure de résolution de l’équation différentielle, pas à pas ….

La méthode d’Euler 

Il s’agit de résoudre numériquement une équation différentielle par la méthode d’ EULER (mathématicien suisse du XVIIIième siècle), et de comparer la solution numérique trouvée avec la solution analytique, déterminée grâce aux Mathématiques.

Principe 
On choisit de traiter, comme exemple, la réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension (ici, la charge d’un condensateur ) qui conduit à l’équation différentielle suivante (cf cours) :u + R.C. = E avec R, la résistance du circuit, C la capacité du condensateur, u la tension aux bornes du condensateur et E l’échelon de tension. On donne E = 6,00 V ; R = 1,00 k ; C = 10,0 F. Plutôt que de rechercher l’expression mathématique de la fonction u = f(t) , on essaie de résoudre numériquement l’équation différentielle : on cherche donc à obtenir les valeurs approchées de cette fonction à des intervalles de temps t considérés « petits » ce qui nous permettra, ainsi, d’en déduire la représentation graphique u = f(t).

Remarques 
– L’intervalle de temps t est petit ; on précisera dans la suite de ce TD dans quelle mesure il peut être considéré comme petit …
– t porte le nom de « pas » de la méthode et doit être constant tout au long des calculs effectués. On montrera également dans ce TD, l’influence du pas de calcul sur la pertinence de la solution.

Méthode et résolution 

Méthode 
A une date t donnée, on assimile la valeur de , à celle de , où u est la variation de la valeur de u(t) pendant la durée t , à condition de choisir t petit.Ainsi : = . Soit : u = ( ) t (1)
D’un point de vue mathématique, on doit écrire = . Or, ici, on ignore le « lim …. » , à condition de choisir t petit.