La simulation d’écoulements en milieux poreux

Extension au cas diphasique

Mise à jour des fonctions de base

Afin de résoudre le problème diphasique (2.6) sur le maillage fin Kh, on a présenté dans le chapitre 2 des schémas de discrétisation en temps dont le principe est de découpler le calcul de la pression (2.8) de celui des saturations (voir équations (2.9) ou (2.14)). Dans ce chapitre, nous avons vu comment la solution du problème (2.8) pouvait être obtenue par application d’un schéma volumes finis classique. Dès lors, l’extension au cas diphasique de la méthode présentée dans la partie précédente consiste à appliquer l’un de ces schémas de résolution IMPES ou IMPIMS en substituant le schéma de résolution du problème en pression (2.8) par la méthode multi-échelle. En effet, la différence entre le problème (5.1) et les deux premières équations du problème (2.6) est simplement la dépendance de la mobilité totale à la saturation du fluide. Ainsi, il convient de considérer λ ≡ k λT pour appliquer strictement la même stratégie de résolution multi-échelle au problème en pression du cas diphasique. Les flux sont calculés sur le maillage grossier KH puis mis à l’échelle sur le maillage Kh. L’évolution de la saturation au cours du temps est obtenue en utilisant les flux fins issus du calcul multi-échelle. Ce calcul peut être fait de manière explicite par l’application de (2.11) ou de manière implicite en résolvant l’équation (2.15) Toutefois, la dépendance en saturation de la mobilité implique également une dépendance en saturation des fonctions de base. Ainsi, les fonctions de base doivent être recalculées dès que la saturation varie, c’està-dire à chaque pas de temps..

Utilisation d’une information globale

La méthode multi-échelle présentée jusqu’à présent fait intervenir uniquement des informations locales pour le calcul des fonctions de base. Cependant, cela peut ne pas être suffisant pour bien décrire l’écoulement. En particulier, si les propriétés varient également à une échelle de l’ordre de la résolution du maillage grossier une erreur de résonance va affecter la solution obtenue avec notre méthode (voir inégalité (5.17) et remarques 4.3). On cherche donc à incorporer une information fine globale au calcul des fonctions de base multi-échelles. La méthode que l’on va appliquer est présentée au paragaphe 4.2.1 de l’ouvrage [EH09]. Cette méthode consiste en fait à résoudre sur le maillage fin le problème monophasique (5.1). La résolution numérique de ce problème nous permet d’obtenir la vitesse de Darcy dans le cas monophasique : v mono . On définit alors les fonctions de base sur des couples face/maille en utilisant cette vitesse pour pondérer la vitesse de base sur la face grossière à laquelle elle est associée La fonction ψK,Σ est telle que son flux à travers Σ est unitaire et orienté suivant nΣ. Pour une face interne, la fonction ψK,Σ peut être assimilée à la restriction de la fonction de base ψΣ définie par (5.3) à la maille K. La différence importante entre les systèmes (5.3) et (5.18) vient de la condition imposée sur Σ. Le flux total à travers Σ est unitaire dans les deux cas mais la répartition de ce flux sur chaque face fine dépend dans (5.18) de l’écoulement monophasique global dans le milieu poreux.

Présentation des résultats 

On présente dans cette partie les résultats obtenus avec le schéma IMPIMS intégrant la méthode multiéchelle présentée dans ce chapitre. Ces résultats sont présentés pour différentes tailles de maillage grossier et comparés à ceux obtenus au paragraphe 2.5.2. 

Couche 85 du cas SPE10

 Dans ce paragraphe, on observe la solution obtenue lorsque le volume poreux d’eau injecté est égal à 25% du volume poreux total. La figure 5.4 montre le champ de pression obtenu dans le cas fin ainsi que celui obtenu avec une simulation multi-échelle comprenant 12 mailles grossières en x et 44 mailles grossières en y Sur la figure 5.5 les champs de saturation obtenus avec deux maillages grossiers sont comparés avec le champ de saturation obtenu avec un solveur fin et présenté dans le paragraphe 2.5.2. Les différents champs de saturation obtenus avec la méthode multi-échelle sont également comparées numériquement à la solution fine en utilisant la norme L 2 dans le tableau 5.1. Dans ce tableau, nous désignons par LocalAlways la solution calculée en mettant à jour toutes les fonctions de base après chaque pas de temps. Local70 représente la solution obtenue si on choisit comme critère de mise à jour des fonctions de base εtol = 0,7 (voir paragraphe 5.3.1). GlobalAlways et Global70 sont les solutions obtenues en utilisant une information globale pour calculer les fonctions de base multi-échelles (voir paragraphe 5.3.2). Les résultats obtenus avec la méthode multi-échelle sont assez proches de ceux obtenus avec une résolution fine. On remarque également que l’augmentation du nombre de mailles grossières améliore la précision de la solution multiéchelle par rapport à la solution fine. Ce résultat logique traduit l’augmentation de la précision de la méthode considérant un maillage grossier KH lorsque H décroît. La figure 5.6 présente les saturations obtenues avec les différentes méthodes pour un maillage grossier 4 × 4. 

Cas fracturé

 Le cas fracturé présenté au paragraphe 2.5.2 est beaucoup plus hétérogène que la couche 85 du cas SPE 10. Les hétérogénéités présentes dans le champ de perméabilité sont de tailles très variées. La prise en compte d’une information globale lors du calcul des fonctions de base a une influence très importante dans ce cas comme nous pouvons le constater sur la figure 5.7. Le tableau 5.2 confirme cette observation.