LE ROBOT MOBILE

Quand on parle de robot mobile les connaissances sont tout de suite focalisées sur le moyen de localisation de ce robot ou bien sur la planification de son mouvement (définition d’une trajectoire) ou bien sur la commande du robot proprement dit ou les trois ensembles. Dans ce qui suit nous nous focaliserons plutôt sur la planification de son mouvement dont seront développés le modèle géométrique qui lui est associé (lié à l’étude cinétique du mobile), son modèle odométrique (permettant d’estimer la position du mobile en mouvement) mais aussi le principe de suivi de chemin ; nous y citeront les méthodes de suivi déjà utilisées et nous insisteront sur la méthode qui sera utilisée pour simuler le mouvement de notre futur robot mobile.

Modèle du robot

Modèle cinématique

Le modèle cinématique est la transformation qui permet de passer des vitesses angulaires des roues à la vitesse instantanée du robot. Cette transformation est divisée en trois étapes. Nous allons calculer la vitesse du milieu des deux roues. Ensuite, nous calculerons la vitesse de n’importe quel point du robot, et enfin, à partir des vitesses nous calculerons la position. [7] a. Modèle cinématique du milieu des axes des roues Voici le schéma du robot différentiel, respectivement vu de dessus et vu de côté. Figure II.1 : Modèle cinématique du robot vu de dessus Figure II.2 : Modèle cinématique du robot vu de côté ψ Application  Avec : 2l : distance entre les roues r : rayon de la roue Vd, Vg : vitesse angulaire respective de la roue droite et gauche x, y : position du robot ψ : orientation du robot Pour commencer, nous allons calculer la vitesse linéaire des roues (Vld et Vlg) : 𝑉𝑙𝑑 = 𝑟. 𝑉𝑑 𝑒𝑡 𝑉𝑙𝑔 = 𝑟. 𝑉𝑔 Nous pouvons par ailleurs en déduire la vitesse moyenne du centre des roues comme suit : 𝑉𝑚𝑜𝑦 = 𝑉𝑙𝑑 +𝑉𝑙𝑔 2 Pour ramener cette vitesse moyenne dans le repère (O,x,y) nous devons la décomposer en deux coordonnées suivant l’axe des x et suivant l’axe des y. Ainsi avec l’expression de la vitesse angulaire du robot donnée par : 2. 𝑙. 𝜃 𝜓 = 𝑟. 𝑉𝑑 − 𝑟. 𝑉𝑔 Donc 𝜃 𝜓 = 𝑟. 𝑉𝑑 − 𝑟. 𝑉𝑔 2. 𝑙 NB : ψ est pris dans le sens trigonométrique Le modèle cinématique de notre robot sous forme matricielle s’écrit finalement comme la formule 2.5 : 𝑉𝑥 𝑉𝑦 𝜃 𝜓 = 𝑟 2 . cos⁡(𝜓) cos⁡(𝜓) sin⁡(𝜓) sin⁡(𝜓) 1 𝑙 −1 𝑙 . 𝑉𝑑 𝑉𝑔 b. Modèle cinématique pour n’importe quel point du robot Parfois, le centre du robot n’est pas le milieu des deux roues. Ou alors, le robot est équipé d’un outil, et c’est la position de cet outil qui nous intéresse. Il est alors possible de calculer le modèle cinématique en prenant en compte cette nouvelle contrainte. Supposons que le point du robot qui nous intéresse est décalé de d1 et d2 [13]: (2.1) (2.2) (2.3) (2.4) (2.5) Application 29 Figure II.3 : Modèle cinématique du robot pour n’importe quel point Voici la transformation (en position) qui permet de passer du centre de l’axe des roues au point P’. 𝑥 𝑃 ′ = 𝑥 + 𝑑1. cos 𝜓 𝑦 𝑃 ′ = 𝑦 + 𝑑1. sin⁡(𝜓) 𝜓 𝑃 ′ = 𝜓 En dérivant 2.6, on obtient les vitesses au point P’ : 𝑉𝑥 𝑃′ = 𝑉𝑥 − 𝑑𝑙. sin 𝜓 . 𝜃 𝜓 = 𝑟 2 . 𝑐𝑜𝑠 𝜓 − 𝑑𝑙 𝑙 . sin 𝜓 𝑉𝑑 + cos 𝜓 + 𝑑𝑙 𝑙 . sin 𝜓 . 𝑉𝑔 𝑉𝑦 𝑃′ = 𝑉𝑦 − 𝑑𝑙. cos 𝜓 . 𝜃 𝜓 = 𝑟 2 . 𝑠𝑖𝑛 𝜓 + 𝑑𝑙 𝑙 . cos 𝜓 𝑉𝑑 + sin 𝜓 − 𝑑𝑙 𝑙 . cos 𝜓 . 𝑉𝑔 𝜃𝜓 𝑃′ = 𝜃𝜓 Sous forme matricielle, tenons compte de l’expression 2.4 pour la vitesse angulaire, nous obtenons : 𝑉𝑥 𝑉𝑦 𝜃 𝜓 𝑃′ = 𝑟 2 . cos 𝜓 − 𝑑1 𝑙 sin⁡(𝜓) cos 𝜓 + 𝑑1 𝑙 sin⁡(𝜓) sin 𝜓 + 𝑑1 𝑙 cos⁡(𝜓) sin 𝜓 − 𝑑1 𝑙 cos⁡(𝜓) 1 𝑙 −1 𝑙 . 𝑉𝑑 𝑉𝑔 Pour obtenir le modèle au point P, il suffit d’effectuer le changement de repère de P’ à P, d’où: 𝑉𝑥 𝑉𝑦 𝜃 𝜓 𝑃′ = 𝑟 2 . cos 𝜓 − 𝑑1 𝑙 sin⁡(𝜓) cos 𝜓 + 𝑑1 𝑙 sin⁡(𝜓) sin 𝜓 + 𝑑1 𝑙 cos⁡(𝜓) sin 𝜓 − 𝑑1 𝑙 cos⁡(𝜓) 1 𝑙 −1 𝑙 . 𝑉𝑑 𝑉𝑔 (2.6) (2.7) (2.8) (2.9) ψ Application

Modèle odométrique du robot

En discrétisant le modèle cinématique moyennant des hypothèses de simplification c’est-àdire que le mouvement des roues est un roulement sans glissement (formule 2.10) [8][13]: 𝑦 . cos 𝜓 − 𝑥 sin 𝜓 = 0 Par contre, la vitesse longitudinale s’écrit 𝑦 . cos 𝜓 + 𝑥 sin 𝜓 = 𝑉𝑚𝑜𝑦 Le modèle odométrique devient : 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 + 𝑢. 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑘+1𝑑𝑡 𝑦𝑘+1 = 𝑦𝑘 + 𝑢. 𝑠𝑖𝑛𝜃𝑘+1𝑑𝑡 𝜃𝑘+1 = 𝜃𝑘 + 𝜃 𝑑𝑡 Soit 𝜃 𝑘 = 𝑟 𝜃𝑑 𝑘 − 𝜃𝑔(𝑘) 𝑙 𝑥 𝑘 = 𝑥 𝑘 − 1 + 𝑟 Δ𝜃𝑑+Δ𝜃𝑔 2 . 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑘 −𝜃(𝑘−1) 2 𝑦 𝑘 = 𝑦 𝑘 − 1 + 𝑟 Δ𝜃𝑑 + Δ𝜃𝑔 2 . 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑘 − 𝜃(𝑘 − 1) 2 2. Calcul de la position Une fois qu’on connaît les vitesses instantanées, on peut facilement calculer la position du robot, en intégrant Vx, Vy et 𝜃𝜓 . Pour intégrer ces valeurs, il suffit d’effectuer une sommation discrète des valeurs depuis le début : 𝑥 = 𝑉𝑥 𝑛 0 𝑦 = 𝑉𝑦 𝑛 0 𝜃𝜓 = 𝜃 𝜓 𝑛 0 (2.14) (2.10) (2.11) (2.12) (2.13) Application

Méthodes de suivi de chemin

Comme l’idée principale de ce travail est la mise en œuvre d’un suivi de chemin. Plusieurs approches du problème existent, mais la méthode de référence dans le domaine reste celle proposée par le Français Claude Samson [11].

Loi de commande de C.Samson

C. Samson propose une loi de commande permettant de suivre un chemin de manière géométrique indépendamment de la vitesse du robot. La seule variable de commande utilisée est la vitesse angulaire ω=𝜃 du robot [7]. Soit C le chemin suivi et 𝜌(𝑠) sa courbure au point d’abscisse curviligne s, on note R’ le point de C le plus proche de R (point de référence du robot) et d la distance ||RR’|| (voir figure II.4). De même on note Ө𝑑𝑒𝑠 l’angle de la tangente à la courbe en R’ dans le repère principal. Cet angle représente l’orientation désirée pour le robot. Le but de la loi de commande proposée est de réduire à la fois l’erreur en distance d et l’erreur en orientation : 𝜃𝑒 = 𝜃 − 𝜃𝑑𝑒𝑠 Elle est donnée dans sa forme la plus simple par : 𝜔 = 𝑣. 𝜌(𝑆𝑅′ ) − 𝑘1 . 𝑑 − 𝑘2 . 𝜃𝑒 Où k1 et k2 sont des constantes positives sR’ : abscisse curviligne du point R’ Figure II.4 : Suivi de chemin selon C.Samson (2.15) (2.16) Application 

Courbe de Bézier

Pour pouvoir choisir la meilleure trajectoire pour suivre le chemin fourni par un planificateur, il faut établir un critère de choix ; dans tous les cas celui-ci fournira au minimum plusieurs points de passage consécutifs que le robot devra traverser pour atteindre son but final. Entre la position courante du robot et le prochain point de passage à atteindre, nous pouvons déterminer ce que l’on appelle une courbe de rattrapage. Une méthode pour tracer une telle courbe est d’utiliser les équations de Bézier, définie par quatre points de contrôles P1 à P4.