Les équations de Halpin et Tsai

„ Les théories d’homogénéisation plus fines expriment les résultats par le biais de formules plutôt compliquées et souvent d’application limitée (voir le cas précédent des solutions avec contiguïté). „ Dans le but d’obtenir des formules fiables et simples pour la prédiction des modules homogénéisés, Halpin et Tsai (1969) ont proposé des équations obtenues essentiellement par interpolation de résultats trouvés obtenus par des théories micromécaniques différentes. „ En particulier, Halpin et Tsai ont démontré que la solution de Hermann (1967), qui est une généralisation du modèle autocohérent de Hill (1965), peut être réduite aux équations approximées suivantes qui concernent E2, G12 ou ν23:Les équations de Halpin et Tsai „ Dans les équations de Halpin-Tsai, M représente un module parmi E2, G12 ou ν23, et Mf les modules correspondants pour les fibres, Ef , Gf ou νf , tandis que Mm pour la matrice, Em, Gm o νm. „ Pour ce qui concerne E1 et ν12, Halpin et Tsai continuent à prendre les formules de la théorie classique. „ Le coefficient ξ est une mesure du renfort du matériau composite, renfort donné à la matrice par la présence des fibres. „ ξ dépend de la géométrie des fibres, de leur disposition et de la condition de chargement. Généralement ξ doit être déterminé expérimentalement et ceci est le point faible des équations de Halpin-Tsai, surtout parce que, comme déjà dit, ξ dépend aussi de la condition de chargement. „ En particulier, pour des fibres circulaires disposées régulièrement sur un réseau à mailles carrées et pour Vf = 0.55, Halpin et Tsai, par comparaison avec les données expérimentales, ont trouvé la valeur ξ =2 pour E2 et ξ =1 pour G12.   Les équations de Halpin et Tsai „ Cependant, Hewitt et de Malherbe proposent pour la valutation de G12 la formule semi empirique suivante pour ξ, qui semble donner une meilleur adéquation avec les données de l’expérience: „ En théorie, ξ peut varier entre 0 et ∞; on remarque facilement que pour ξ =0, à savoir on obtient le résultat typique du modèle de type série, qui comme vu représente la limite inféireure. A l’opposé, pour ξ =∞, qui est le résultat typique du modèle de type parallèle, qui représente la limite supérieure. 1 4 . 10 ξ = + Vf , 1 1 m f f f M V M V M − = + (1 ) m, M =Vf Mf + −Vf M 115 229 Les équations de Halpin et Tsai „ Donc, dans un certain sens, comme déjà anticipé ξ représente une mesure du renfort donné à la matrice par les fibres: plus grande est ξ, plus les fibres contribuent au renfort structural de la matrice. „ Pour ce qui concerne la quantité η, on peut vérifier que pour des inclusions rigides η =1, pour un matériau homogène η =0 et pour des vides η =−1/ ξ. „ Le terme η Vf , peut être interprété comme une fraction volumique réduite (parce que η ≤ 1). En figure, on montre la variation de µ=M/Mm en fonction de η Vf , pour différentes valeurs de ξ.

Généralités

„ L’analyse de résistance d’un matériau hétérogène et anisotrope présente des problèmes inexistants dans le cas de matériaux classiques, monophasés et isotropes. „ Ceci a eu comme effet la proposition d’un certain nombre de critères de résistance conçus ad hoc pour ce type de matériaux. „ Dans la suite, nous nous occuperons surtout d’une couche orthotrope, car c’est le cas d’intérêt pour les applications. „ D’une manière synthétique, on peut dire que les effets de l’anisotropie sur la résistance et sur la formulation d’un critère de résistance sont principalement: … la variation des caractéristiques de résistance avec la direction; … ceci implique, entre autres, la nécessité de caractériser la résistance, à travers des tests expérimentaux, dans certaines directions privilégiées, en particulier dans les directions d’orthotropie (en outre, les tests dans d’autres directions seraient très compliqués); … la non coaxialité de contraintes et déformations: dans la direction de la contrainte maximale on n’a pas, en général, la direction de la plus grande déformation.   „ De son côté, l’hétérogénéité influence le phénomène de la rupture, ou en tout cas de l’obtention d’un état limite, par un effet de structure interne au milieu, ce qui comporte: … l’occurrence de diverses mécanismes de rupture (par exemple le pullout, à savoir l’arrachement des fibres, l’instabilité locale des fibres comprimées, l’endommagement de la matrice etc.); … l’influence sur la propagation des fissures, souvent positive; … la différente résistance en traction et compression. „ Dans la suite, nous nous bornerons à analyser le problème de la formulation d’un critère de résistance pour un milieu anisotrope homogène, dans lequel l’hétérogénéité n’apparaît pas dans la formulation du modèle. „ Dans d’autres mots, nous nous bornerons à analyser le problème de la résistance d’une couche en composite du point de vue macroscopique. Naturellement, ceci implique qu’on renonce à analyser tous les phénomènes localisés, cités ci-dessus, qui difficilement peuvent être saisis par une analyse de synthèse.   

Nécessité de critères ad hoc pour les matériaux anisotropes

„ On a dit que l’anisotropie a plusieurs effets sur la résistance; en particulier, il faut observer que, comme les caractéristiques de résistance varient avec la direction, il n’est as forcement la contrainte maximale qu’il faut contrôler. „ En effet, ce qu’il faut comparer ce n’est pas la plus grande contrainte principale avec la valeur de la résistance dans cette direction principale, mais plutôt le champ de la contrainte effective avec le champ de la contrainte admissible. „ Dans d’autres mots, tandis que dans un matériau isotrope la résistance est indépendante de l’orientation de l’état de la contrainte appliquée (si l’on tourne les directions principales de la contrainte rien ne change), dans un matériau anisotrope la résistance est fonction de l’orientation du champ de contraintes, à parité de tous les autres facteurs. „ En particulier, dans une couche orthotrope, la résistance est fonction de l’orientation des contraintes principales par rapport aux axes d’orthotropie. 238 Nécessité de critères ad hoc pour les matériaux anisotropes „ La plus grande partie des données expérimentales de résistance concernent un test monoaxial; l’usage d’un critère de résistance permet, c’est bien connu, d’interpréter le résultat de ces tests même pour des champs de contraintes multiaxiaux. „ Pour un matériau anisotrope, une difficulté ultérieure est que ces tests donnent des valeurs de résistance monoaxiale dans des directions particulières. Il faut donc en tenir compte dans le critère de résistance. „ Le but est, comme toujours, celui d’obtenir des surfaces ou courbes limite dans l’espace des contraintes, avec lequel comparer l’état de contraintes actuel. „ Toutefois, dans l’usage des courbes ou surfaces limite on perde des infirmations sur le type de crise qui se produit: pour cette raison, ces critères s’appellent aussi phénoménologiques, au sens qu’ils sont en mesure de saisir, plus ou moins bien, le moment de la crise, mais pas sa raison, le mécanisme de rupture.