Modélisation des composites piézoélectriques de connectivité 1-3

Pour l’étape de modélisation, les éléments finis [138] sont l’outil central. C’est une des méthodes de résolution d’équations aux dérivées partielles comme le sont, pour les plus courantes, les méthodes par différences finies [139] ou volumes finis [140]. En effet, pour connaître le comportement du matériau, l’équation de la dynamique doit être résolue en 3 dimensions dans notre cas et seules les méthodes de résolution numérique qui Figure 6.1 – Discrétisation du domaine d’étude. approximent les dérivées peuvent nous donner une solution assez précise du problème. Pour la méthode des éléments finis, le domaine étudié est découpé en sous-domaines appelés des éléments et sont interconnectés par des points appelé nœuds (Fig. 6.1). Si un point situé à l’intérieur de l’élément est pris, sa valeur recherchée, par exemple son déplacement, est alors reliée aux valeurs nodales par des fonctions d’interpolation qui sont choisies par l’utilisateur. En résolvant l’équation aux dérivées partielles de cette manière sur tous les éléments, nous avons le comportement de la géométrie dans sa globalité en ajoutant de bonnes conditions limites qui sont indispensables à la détermination de solutions. Ce calcul par éléments finis est fait avec le logiciel ATILA [101] développé par le département SAMBA/ISEN de l’IEMN à Lille. Il peut simuler le comportement élastique, piézoélectrique et magnétostrictif des structures. Les équations résolues dans le code ATILA sont : – le principe fondamental de la dynamique pour le domaine élastique, – l’équation de Poisson pour la partie piézoélectrique ou électrostrictive du calcul, – les équations de Maxwell pour les cas magnétostatiques, – et l’équation d’Helmholtz pour les fluides. ans le cadre de cette thèse, les matériaux utilisés sont uniquement élastiques, piézoélectriques et fluides. Les inconnues sont donc le vecteur des valeurs nodales du champ de déplacement U, du potentiel électrique Φ et du champ de pression P pour les sources de forces généralisées F, de charges électriques q et du gradient de pression normal aux surfaces Ψ.

Préparation du calcul en Éléments Finis (FEM)

 Pour l’étude des structures piézoélectriques, plusieurs grandeurs caractéristiques peuvent être examinées (section 1.1.4). Dans le cadre de la transduction ultrasonore, la bande passante (BP) et la sensibilité sont les caractéristiques les plus importantes. Le coefficient de couplage électromécanique est aussi un bon indicateur de performance. Ils sont respectivement obtenus à partir de la réponse électro-acoustique (REA) et de l’impédance électrique du matériau. Deux calculs distincts seront préférés pour un gain de temps sur le calcul de l’impédance électrique qui, dans l’air, est très rapide. Ils sont tous les deux effectués en calcul harmonique. Pour des explications plus détaillées, les différentes faces (Figure 6.2b) de la cellule de base du composite portent un nom. 

Impédance électrique 

Généralement, l’impédance électrique d’un composite est mesurée dans l’air pour sa caractérisation électromécanique. Le calcul se fera donc dans ces mêmes conditions dans un souci de futures comparaisons. La première étape consiste à simplifier autant que possible la structure à mailler ainsi que les conditions aux frontières. Tout d’abord, les dimensions latérales du composite 1-3 étant grandes devant son épaisseur h, cette structure est considérée infinie dans le plan (~x, ~y) qui sont les vecteurs du repère orthogonal défini Figure 6.2.De plus, la différence d’impédance acoustique entre l’air et le composite nous permet de simplifier le problème en négligeant l’air présent sur les faces Ω + z et Ω − z . En effet, il n’y a quasiment aucun échange d’énergie entre les deux milieux qui est inférieur à 0,1% en utilisant l’expression (1.20) de transmission d’énergie. Le système d’équations résolu est alors le système (6.2). Il est donc possible de mailler uniquement le huitième de la cellule de base du composite (partie hachurée de la Figure 6.2a) avec les plans de symétrie appropriés A, B et C. La traduction d’un plan de symétrie sur les déplacements de ses points M est le blocage de leur composante normale à ce dit plan [141]. En résumé, les déplacements ~u des points M doivent vérifier : – ∀M ∈ A, ~u.~y = 0 – ∀M ∈ B, ~u.~x = 0 – ∀M ∈ C, ~u.~z = 0 où les vecteurs ~x, ~y et ~z sont les vecteurs de base du repère représenté sur les Figures 6.2. Évidemment, tous les points appartenant aux plans Ω + x et Ω − y respectent ces mêmes conditions de symétrie. Enfin, d’un point de vue électrique, le plan Ω + z a un potentiel électrique positif et le plan C est à la masse. Le maillage est fait sur le volume avec des éléments hexaèdres à interpolation quadratique, c’est à dire que chaque arête comporte 3 nœuds et sont interpolés par une parabole. De ce fait, en mécanique des vibrations, quatre éléments par longueur d’onde suffisent à une bonne approximation de l’onde sinusoïdale qui se propage. Lorsque le calcul est fini, pour avoir l’impédance électrique, il suffit de récupérer l’information du potentiel sur la surface Ω + z .

Réponse électro-acoustique

La sensibilité et la bande-passante sont obtenues expérimentalement en plongeant le composite dans l’eau et en regardant son comportement en émission et en réception. Pour le calcul de la réponse électro-acoustique, l’eau sera donc ajoutée dans le milieu environnant du composite. Le système à résoudre devient donc le système (6.1). L’adaptation d’impédance acoustique étant meilleure qu’avec de l’air, l’énergie transmise du milieu fluide au milieu solide (et vice versa) ne peut plus être négligée. Ainsi, pour connaître exactement le champ de pression dans l’eau, il est nécessaire de tenir compte de la contribution des cellules voisines qui rayonnent elles aussi. Pour cela, une condition de périodicité est insérée dans le calcul : les fonctions d’espace (pression, déplacement et potentiel électrique) devront être périodiques. Pour modéliser cette périodicité, les éléments fondamentaux ont été développés essentiellement par Brillouin et al. [142]. C’est en ajoutant la relation de Bloch-Floquet que le calcul par éléments finis peut satisfaire ces conditions de périodicité [143, 50]. Le composite étant toujours considéré comme infini dans le plan (~x,~y), et ne travaillant qu’en incidence normale, chaque fonction doit satisfaire la relation : F(x + p, y + p, z) = F(x, y, z) (6.3) où p est le pas de la structure. Pour terminer la définition des conditions aux limites, la face Ω + z (resp. Ω − z ) est isopotentielle à un potentiel positif (resp. à la masse). Les conditions de raccordement en onde plane [143] qui permettent de prendre en compte l’eau en deçà de ΩInf et au-delà de ΩSup sans la mailler, sont également ajoutées sur ΩInf et ΩSup pour modéliser un milieu infini dans lequel rayonne cette source acoustique. La Figure 6.2b représente la structure complète maillée pour le calcul de la REA. Des éléments hexaédriques à interpolation quadratique sont utilisés et la présence d’eau avec des vitesses de propagation plus faibles que dans les matériaux nous contraint à des tailles d’éléments plus petites par rapport à celles utilisées dans le calcul de l’impédance. Le temps de calcul s’en trouve augmenté considérablement. De plus, la quantité d’eau doit être assez importante pour que les plans limites de l’eau (ΩSup et ΩInf) ne soient pas dans le champ proche du composite. Une distance minimale a été retrouvée pour ne plus avoir l’effet des ondes évanescentes de l’interface sur le champ de pression. La REA est la multiplication de la fonction de transfert du système en émission avec celle en réception. En simulation, trois calculs doivent être faits et sont représentés sur la Figure 6.3 : – Un premier, effectué en émission, où un potentiel électrique sinusoïdale VG est appliqué en Ω + z et la pression émise P1 est récupérée sur l’un des deux plans limites de l’eau. En anglais, le rapport de cette pression sur le potentiel électrique est appelé « Transmitting Voltage Response » (TVR). Le point P1 ne doit pas être pris trop proche du composite pour ne pas subir l’influence des ondes évanescentes à l’interface solide/fluide. – Un deuxième, en réception, où une onde plane incidente est envoyée sur Ω − z à une pression correspondante Pinc et le potentiel électrique VOUT en Ω + z est enregistré. Le ratio VOUT/Pinc est appelé « Free-Field Voltage Sensitivity » (FFVS) – Un troisième, avec seulement de l’eau, est réalisé pour connaître précisément l’onde incidente Pinc car, dans le code ATILA, elle ne peut pas être choisie.