Définition de la Value-at-Risk

La notion de Value-at-Risk (VaR) est apparue pour la première fois dans le secteur de l’assurance. A la fin des années 1980, la banque Bankers Trust fut l’une des premières institutions à utiliser cette notion sur les marchés financiers aux Etats-Unis, mais c’est principalement la banque JP Morgan qui dans les années 90 a popularisée ce concept notamment grâce à son système RiskMetrics (pour un historique complet de la notion de Value-at-Risk et de sa diffusion se reporter au livre de Dowd, 2005). La Value-at-Risk est ensuite devenue, en moins d’une dizaine d’années, une mesure de référence du risque sur les marchés financiers, consacrée notamment par la réglementation prudentielle définie dans le cadre des accords de Bâle II. De façon générale, la Value-at-Risk est définie comme la perte maximale potentielle qui ne devrait être atteinte qu’avec une probabilité donnée sur un horizon temporel donné (Engle et Manganelli, 2001). La Value at Risk est donc la pire perte attendue sur un horizon de temps donné pour un niveau de confiance donné. Cette définition très simple constitue l’un des principaux attraits de la Value-at-Risk : il est en effet très facile de communiquer sur la VaR et de ainsi proposer une mesure homogène et générale (quelque soit la nature de l’actif, la composition du portefeuille etc.) de l’exposition au risque.Ainsi, la Value-at-Risk n’est rien d’autre qu’un fractile de la distribution de perte et profit associée à la détention d’un actif ou d’un portefeuille d’actifs sur une période donnée. La mesure de Value-at-Risk ne fait que refléter l’information contenue dans la queue gauche (associée aux pertes) de la distribution des rendements d’un actif. Si l’on considère un taux de couverture de α % (ou de façon équivalente un niveau de confiance de 1α %) la Value-at-Risk correspond tout simplement au fractile de niveau α % de la distribution de perte et profit valable sur la période de détention de l’actif : VaR(α ) = F− 1( α) où () .F désigne la fonction de répartition associée à la distribution de perte et profit. De cette définition générale découlent plusieurs définitions techniques tout aussi simples.

Taux de couverture et niveau de confiance

Le niveau de confiance choisi est un paramètre compris entre 0 et 1 (95% ou 99% en général) qui permet de contrôler la probabilité que l’on obtienne un rendement supérieur ou égale à la Value-at-Risk. Supposons que la distribution des pertes et profits associée à la détention d’un actif sur une période corresponde à une distribution normale standard. Sur la Figure 1 est reproduite cette distribution de perte et profit supposée normale : sur la partie gauche de l’axe des abscisses figurent les rendements négatifs (pertes) tandis qu’à droite figure les rendements positifs (profits). Dans ce cas, la Value-at-Risk définie pour un niveau de confiance de 95% ( 5% α = ) est égale tout simplement à -1.645. Dit autrement, dans cet exemple il y a 95% de chances que le rendement de l’actif, noté r, soit au moins égal à -1.645 sur la période de détention.

Horizon de détention

Le deuxième élément fondamental dans le calcul de la Value-at-Risk est la période de détention de l’actif ou du portefeuille d’actifs. La formule de calcul de la Value-at-Risk doit alors être ajustée de façon à tenir compte de la composition des rendements. Il n’existe aucune règle quant au choix de la période de détention dans le calcul de la Value-at-Risk puisque ce choix dépend fondamentalement de l’horizon de reporting ou d’investissement des opérateurs. Toutefois, les autorités de régulation peuvent spécifier des horizons de détention spécifiques notamment dans le cadre es procédures de validation de la Value-at-Risk. Dans le cadre de ce site, tous les calculs proposés portent sur une Value-at-Risk définie à partir de la distribution de pertes (-) et profits (+) (ce qui implique une valeur négative de la Value-at-Risk) et pour un horizon de détention d’une période (une journée, un mois etc. suivant les données utilisées pour les calculs).

Value-at-Risk conditionnelle

Il est possible de distinguer deux types de distribution de pertes et profits : la distribution conditionnelle et la distribution non conditionnelle. Dès lors, on peut naturellement définir une mesure de Value-at-Risk conditionnelle à un ensemble d’information. Soit R le rendement d’un actif. On suppose que le rendement est une variable aléatoire réelle de densité (distribution de perte et profit) () R f r r\ ∀∈ . Naturellement, pour cette variable aléatoire il est possible de définir une densité conditionnelle à un certain ensemble d’information, noté Ω. Soit () R f r r\ Ω∀∈ la densité conditionnelle associée au rendement (densité conditionnelle de perte et profit).