Modèle de Wilson

Modèle : interaction des flux et huile piezo-visqueuse : Toujours dans le but de modéliser la zone d’entrée en laminage, et dans le prolongement du raisonnement de Wilson, nous reprenons le système (1.84). Cependant lors de la différentiation des équations, il sera tenu compte de la piézo-viscosité de l’huile : ( P) µ = µdd 0, ex

Conditions aux limites

Dans le cadre du laminage les conditions aux limites considérées seront les suivantes : Là où commence la déformation plastique, en cp = xx , la pression sera considérée comme valant σ , sa dérivée étant prise nulle. Par conséquent : ( ) = σ (xGPetxP cpcp ) = 0 . Le mécanisme de concentration de Wilson ne s’initie qu’à partir du moment où les gouttes d’huile ont été écrasées un certain nombre de fois entre la tôle et le cylindre. Par conséquent jusqu’à cet endroit (en init. = hh ) le taux d’huile reste constant égal à sa valeur nominale. En xinit, puisque la goutte d’huile a été écrasée alors ginit. < 2rh . Nous considérerons par conséquent que l’expression de l’épaisseur à l’endroit où s’amorce le mécanisme de Wilson sera : = 2Crh ginit : où C (dont la valeur est inférieure à un) rend compte du phénomène d’écrasement. En résumé : ( ) ( ) ( ) = σ = 0 φ initcpcp = φ 0

Méthodes de résolution 

Ordre deux Une première méthode de résolution (méthode A) consiste à travailler sur le système (2.88) qui fait intervenir l’équation de Reynolds d’ordre 2 avec les conditions aux limites (2.91). L’inconvénient majeur de cette méthode est que les temps de calculs sont extrêmement longs et qu’aucun résultat ne peut être obtenu pour les vitesses les plus basses. Un blocage de cette nature était en fait redouté : en effet, dans l’équation de Reynolds la grande raideur introduite par le terme en h3 devient critique en terme de convergence lorsque les épaisseurs sont submicroniques. Vu les difficultés inhérentes à cette méthode, la résolution du problème se fait donc à partir de l’équation de Reynolds d’ordre 1 (méthode B). 3.2. Ordre un Equations … En reprenant le système (1.84), au lieu de dériver et de passer au second ordre, les équations sont laissées en l’état, ce qui rend l’approche toute différente.

Résolution du système …

Comme pour la résolution du système de Szeri, et pour les mêmes raisons, la résolution du système de Wilson sera rétrograde. Une fois les équations de Wilson (2.92) discrétisées, le Système se présente sous la forme suivante : où X est une grandeur quelconque. Pour résoudre le système en question il faut, dans un premier temps, affecter une valeur de manière arbitraire à φ n et calculer le n h correspondant grâce à la formule (2.95). Une fois ceci réalisé il faut déterminer pour chaque itération nouvelle la valeur φ n−i qui est solution de l’équation suivante   Une fois ce travail réalisé, comme la valeur de hn a été établie en utilisant la formule (2.95) la pression en init. h = h est assurée d’être nulle. Pour savoir si la valeur φ n donnée de manière arbitraire est la bonne, il suffit de vérifier que le valeur de φ 0 obtenue en fin de calcul est bien égale à valeur attendue.

Autres précisions …

Le taux d’huile augmente de sa valeur φ0 en h=2Crg jusqu’à sa valeur maximale φcp en x=xcp. Lorsque les vitesses sont grandes la valeur maximale atteinte (en x=xcp) par le taux d’huile est inférieure à la valeur limite de 0,907. Dans ce cas le tir sur la concentration se fait bien sur φcp. Pour les vitesses les plus basses, prendre un φcp égal à la valeur limite conduit à avoir en h=2Crg, une valeur pour la concentration inférieure à la valeur φ0 souhaitée. Il faudrait donc augmenter la valeur de φcp. Mais, comme il est impossible de dépasser la valeur limite, le tir sur la concentration ne peut plus se faire sur φcp. Il se fait alors sur la longueur de la réserve d’huile, soit sur la position xˆ (située en amont de xcp, le sens étant rétrograde) à laquelle la concentration « décroche » de sa valeur maximale.