MODELE DYNAMIQUE DES SYSTEMES ARTICULES

Introduction

Jusqu’à présent, notre analyse des systèmes articulés était uniquement focalisée sur des considérations cinématiques. Dans ce chapitre, nous présentons les causes qui sont à l’origine du mouvement de tels mécanismes. Les buts que nous nous fixons dans ce chapitre peuvent être résumés en trois points essentiels: • Apporter une contribution à la modélisation du problème dynamique â partir du formalisme des groupes et algebres de Lie et des outils de modélisation que nous avons développés jusqu’ici avec la notion de nombres duaux. • Automatiser le processus de génération des équations du mouvement des systèmes mécaniques articulés. Pour ce faire, nous allons établir une formulation itérative quasi-optimale permettant de calculer le modèle dynamique d’un système articulé à chaîne ouverte simple ou arborescente. • Relier les modèles dans le formalisme des groupes et algebres de Lie avec les modèles classiques de la mécanique. Comme nous allons le voir, une comparaison selon l’efficacité du calcul algorithmique, entre notre formulation et sept autres méthodes de référence parmi les algorithmes les plus réputés pour leur efficacité, permettra de mettre en valeur la puissance de notre formulation et son adaptabilité à la commande dynamique des robots en temps réel. Comme nous allons le voir dans un prochain chapitre, les performances de nos algorithmes peuvent atteindre une efficacité optimale grâce: • d’une part, à une implementation itérative symbolique utilisant l’outil de calcul formel et les techniques de réécriture pour le regroupement des termes qui interviennent plusieurs fois dans le schéma des calculs.

Description s d u cham p de s vitesse 

Dérivée temporelle d’u n champ

Considérons un champ de vecteurs Y variable au cours du temps (i.e. t i-> Y(t) définit une application de R dans £>). Si on se fixe une famille fondamentale f = {£,??, C) de l’algèbre de Lie des torseurs Ö, on peut exprimer Y par son système de coordonnées par rapport à la famille fondamentale f: Y = (a + s a) i + {ß + e b) r¡ + (y + e c) Ç la dérivée temporelle du champ de vecteur Y, rapporté à la famille fondamentale f, est complètement déterminée par les dérivées des coordonnées de Y relativement à la famille f; c’est à dire: — Y= (à + e à) £ + 0 + e i))v + (j + e c) Ç (Eq.4.1) d . Remarquons cependant que si M est un point mobile: ~[Y(M}] ^ Y (M). 4.2.2 Description s euierienn e e t lagrangienn e de s vitesse s Généralement en mécanique du corps solide on définit deux descriptions du mouvement selon que l’on se réfère à l’espace ou au solide lui même. 

 Champ eulerien de vitesse

Définition 4.1 Le champ eulerien de vitesse (ou tout simplement vitesse euierienne) est le champ des vitesses du corps dans un réfèrentiel lié à l’espace. Pour un mouvement de corps rigide caractérisé par t >-> D{t) relativement à une configuration de référence r, la théorie des groupes et algebres de Lie permet d’exprimer le champ eulerien de vitesse à partir de la dérivée à droite du déplacement D par rapport à la variable temporelle: U= RlJ-£ (Eq.4.2)

Champ de s vitesses lagrangiennes

Définition 4.2 Le champ lagrangien de vitesse (ou tout simplement vitesse lagrangienne) est le champ des vitesses du solide dans un référentiel lié au solide lui même. Soit un mouvement de corps rigide caractérisé par l’application t *-* D(t) relativement à une configuration de référence r. D’après la théorie générale des groupes et algebres de Lie, le champ 4.2. Descriptions du champ des vitesses Partie 2 lagrangien de vitesse peut être exprimé à partir de la dérivée à gauche du déplacement D par rapport à la variable temporelle. Ainsi: V = Ll^l£ (Eq.4.3) Corollair e 4.1 Si U et V désignent respectivement les champs eulerien et lagrangien de vitesse d’un mouvement donné par t >—> D(t) relativement à configuration de référence, alors: V = D*1 U (Eq.4.4)

Cas du sous-groupe des mouvements cylindriques

Le cas des paires cinématiques de type C (paires cylindriques) présente un intérêt particulier dans la modélisation des systèmes mécaniques articulés. En effet, ce cas englobe toutes les articulations dont le mouvement relatif entre les deux éléments de la paire cinématique se réduit à un mouvement selon un axe fixe. Nous avons vu, au chapitre précédent, qu’un mouvement quelconque peut être décomposé en trois mouvements de types C. En fait, un mouvement de type C peut être caractérisé par le fait que le générateur infinitésimal du déplacement D(t) — expX(t)} relativement à une configuration de référence, peut se mettre sous la forme: X{t) – a{t)( avec a € C2 (R,A) et ( G d telle que || C ||o= 1 (Eq.4.5) où C2 (R, A) est l’ensemble des fonctions d’une variable réelle et à valeurs duales deux fois continuement dérivables. Cette condition de dérivabilité traduit dans ce cas particulier le principe de dérivabilité de la cinématique (i.e. existence des vitesses et des accélérations). Les mouvements de type C recouvrent toutes les paires cinématiques associées à des sous-groupes de C (les déplacements cinématiquement admissibles par les articulations de type C forment un sous-groupe du groupe de Lie ILP -qui admet à son tours des sous-groupes propres- et ,en tant que variété différentielle sur R, il est de dimeusion 2). On retrouve ainsi les quatre types d’articulations mécaniques à axe fixe (pour le mouvement relatif) au cours du temps: • les paires cinématiques prismatiques (un degré de liberté en translation) de type P, • les paires cinématiques pivots (un degré de liberté en rotation) de type R, • les paires cinématiques hélicoïdales (un degré de liberté suivant un axe) de type H, • les paires cinématiques cylindriques (deux degrés de liberté: une rotation et une translation indépendantes suivant le même axe) de type C. Corollair e 4.2 Si t ¡-» D[t) = expX(t) désigne un mouvement de type C, alors le champ des vitesses euleriennes et, confondit avec le champ des vitesses lagrangïennes et on a: X^ a( =>• U= V- àÇ (Eq.4.6) O »IBM ET fi« l’aies P Accélérations d’un corps rigide – Lois de composition de mouvements Avant d’entamer la description des accélérations, nous allons tout d’abord discuter brièvement le problème de différentiation de la représentation adjointe du déplacement associé à un mouvement donné.