MODELE GEOMETRIQUE DES SYSTEMES ARTICULES

Liaison — Paire cinématique — Degré s d e liberté

Considérons un solide C. Il est dit isolé s’il peut se mouvoir librement sans être soumis à aucune contrainte. Sinon, on dit qu’il est soumis à des liaisons. En mécanique, il existe plusieurs types de liaisons. Dans la littérature, les auteurs ont employé différents formalismes et différentes notations pour décrire de telles liaisons. Pour notre part, nous nous tiendrons à une terminologie en relation avec le formalisme des groupes1 . En fait, le terme liaison a un sens purement mathématique. Cependant, il existe en général plusieurs moyens, en mécanique, de réaliser matériellement une liaison [Fig. 3.3J. Dans le cadre de cet exposé, nous allons modêliser une liaison d’origine mécanique par une relation binaire sur l’ensemble § (des familles fondamentales). Considérons deux corps C¿ et Cj entrant en liaison. Dans la suite nous allons adjoindre à ces deux corps deux familles fondamentales qui en soient rigidement solidaires2 . Soient f¿ et f;- ces deux familles; alors, à tout moment, on peut déterminer le mouvement relatif de Cj par rapport à d par un déplacement D(t) tel que: f3- = D(t) o f¿. Ce déplacement traduit la liaison £ entre les corps C¿ et C} et l’on écrira: f¿£f, <=» fi= £>(i)of, (Eq.3.1) Définition 3.1 On appellera ensemble des déplacements cinématiquement admissibles pour la liaison C, l’ensemble implicitement défini par: €(i,f) = {D e D/fi = D o f¡} (Eq.3.2) Remarquons que la détermination de l’ensemble des déplacements cinématiquement admissibles est obtenue à un déplacement (constant) près. En effet, considérons deux corps C¿ et Cj et trois familles mobiles telles que par exemple: • f¿ est rigidement solidaire au corps d, • fii e t fia son t rigidement solidaires au corps Cj. Comme f^ et f¿, sont rigidement solidaires d’un même corps, alors, il existe un déplacement fini -constant- D\ tel que: h,= D\o\j, Ainsi, les ensembles cinématiquement admissibles £[i,ji) et £(¿, J2) sont liés par la relation: <£(i,J 2 )= *D><£(t,¿i) (Eq.3.3) où ñjrji désigne l’action de multiplier, à droite3 , tous les déplacements de l’ensemble €(i,ji) par le déplacement D\. Par ailleurs, La réciprocité du mouvement relatif entre les corps Ci et Cj entraîne qu’à la liaison £ reliant le corps C3 par référence au corps C¿ est associée une liaison £ reliant le corps Ci par référence au corps Cj, telle que: fjZfc <«=• f,£L; (Eq.3.4) L’ensemble des déplacements cinématiquement admissibles £(j,i) associé à la liaison £ est donné par la relation: C(j,i)= C-H.i.j) (Eq.3,5) où £ – 1 ( Î 7 I ; ‘) désigne l’ensemble des inverses des déplacements de l’ensemble £(•/’,_/). On a immédiatement:

Classification des paires cinématiques par sous-groupes de D

La théorie des groupes offre une méthode très simple pour la classification des paires cinérnatiques. En effet, quelle que soit la réalisation matérielle d’une liaison mécanique, les déplacements cinématiquement admissibles pour cette liaison peuvent être décomposés en un produit de sousgroupes de Grâce à l’application exponentielle définie dans le contexte de théorie des groupes de Lie et la notion de familles fondamentales, il est possible de caractériser explicitement ces déplacements pour permettre de faire un calcul symbolique direct dans l’algèbre de Lie Ö (par exemple a transformation de familles fondamentales). Dans le tableau 3.1, les déplacements cinématiquement admissibles sont donnés dans le système coordonnées de seconde espèce (a, a, ß,b,-y, c) associées à la base (£, 0 £, T], il ?/, (, UÇ) de D liée à la famille fondamentale f — (Í,??,C) convenablement choisie [Annexe A, paragraphe A.5.5, page 220]. Ces déplacements peuvent avoir des expressions différentes dans d’autres systèmes de coordonnées. La correspondance entre les différentes représentations sont obtenues par des changements de cartes sur le groupe de Lie M 3.4 Chaîne cinématique Un solide peut éventuellement entrer en liaison dans la réalisation technologique de plusieurs paires cinématiques à la fois. Cette aspect de la mécanique donne Heu à la notion de chaîne cinématique ou mécanisme. Définition 3.5 Une chaîne cinématique (i.e. mécanisme) est la réalisation matérielle, technologique, d’un assemblage de N corps (rigides), tels que chacun de ses éléments entre en liaison (géométrique en général) avec au moins un deuxième élément de cet assemblage. On distingue deux grandes classes de chaînes cinématiques: les chaînes cinématiques simples et les chaînes cinématiques complexes.