Modélisation de l’endommagement

Les essais mécaniques présentés au chapitre II ont indiqué le rôle joué par l’endommagement sur les résultats macroscopiques. Dans le chapitre III, les observations microscopiques ont indiqué que la croissance de cavités était le mécanisme endommageant dans le PVDF. Etant donné que ce mécanisme a été bien identifié sur les éprouvettes AE, on choisit de travailler sur cette géométrie pour identifier les paramètres numériques d’endommagement. On compare également les prévisions du modèle avec l’expérience. Les calculs sur ces éprouvettes permettent d’étendre la loi de comportement à des sollicitations multiaxiales. C.I Choix des conditions de calculs La géométrie axisymétrique entaillée a été étudiée suivant trois rayons de courbures : R = 4 mm (AE4), R = 1.6 mm (AE1.6) et R = 0.8 mm (AE0.8). Par symétrie, seule la moitié de l’éprouvette est maillée à l’aide d’éléments axisymétriques quadratiques à intégration réduite (appelé cax4r). Ainsi, grâce à la symétrie il est possible de ne mailler que la demi-longueur pour représenter la structure entière. Dans la zone entaillée, le maillage est fin (100 µm*50 µm), contrairement à la zone lisse où celui-ci est plus grossier. Le nombre total de nœud varie suivant la géométrie étudiée : 905 nœuds et 280 éléments pour l’AE4, 1080 nœuds et 345 éléments pour l’AE1.6, 1273 nœuds et 400 éléments pour l’AE0.8. La figure IV.14 indique les maillages utilisés dans la zone de l’entaille. Le maillage complet, c’est à dire sur toute la demi-longueur, est présenté dans l’annexe

Modélisation de l’endommagement

Figure IV.14 Maillage des éprouvettes AE4, AE1.6 et AE0.8 Un ressort est ajouté en haut de l’éprouvette afin de tenir compte de la complaisance de la machine. Il permet de représenter le déplacement élastique dû à la ligne d’amarrage. Cette ligne est particulièrement longue pour permettre de réaliser des essais dans l’enceinte climatique. Le comportement du ressort est considéré comme élastique (E = 1.5 GPa, et n = 0.45). Sa hauteur est fixée arbitrairement à 3 mm. L’ajout du ressort permet d’ajuster les déplacements longitudinaux expérimentaux et simulés. Les essais sur éprouvettes AE ont été pour la plupart effectués en pilotage de réduction diamétrale. Numériquement il n’est pas possible de rentrer directement une telle condition de chargement dans le calcul. Dans un premier temps, le déplacement longitudinal de l’éprouvette qui a été mesuré lors d’un essai à vitesse de réduction diamétrale constante, est utilisé. L’allure de ces courbes est illustrée sur la figure IV.15 pour deux éprouvettes AE1.6 et AE0.8. Le déplacement longitudinal est caractérisé par trois étapes : tout d’abord le chargement est à peu près linéaire, il correspond à la déformation dans le domaine viscoélastique. Ensuite, un très net ralentissement de la déformation est obtenu pour tous les rayons de courbure, à toutes les vitesses testées, correspondant à la localisation de la déformation dans l’entaille. En fin d’essai, la vitesse de déplacement ré-augmente, correspondant à l’étape d’étirement final des fibrilles. Ainsi, pour représenter correctement ces trois zones bien distinctes, le déplacement est entré point par point dans le calcul. AE4 AE1.6 AE0.8 Chapitre IV. Modélisation du comportement et de l’endommagement 174 Figure IV.15 Déplacement LVDT en fonction du temps pour une AE1.6 et AE0.8, pour un pilotage en réduction diamétrale 2,5.10–3 mm/s, à 20°C La figure IV.16 indique le résultat du calcul sur AE0.8 en ayant comme chargement la courbe de déplacement longitudinal précédente. Figure IV.16 Courbes force-réduction diamétrale simulée et expérimentale en pilotage en déplacement longitudinal, AE0.8, à 20°C Une telle condition de chargement implique que l’adoucissement après la charge maximale est immédiatement suivi d’une ré-augmentation de la charge. Bien que ce résultat soit logique compte tenu des conditions de chargement présentées sur la courbe de la figure IV.15, il ne correspond pas au résultat expérimental. On rappelle qu’expérimentalement le chargement se fait à partir d’une routine qui relie le déplacement radial au déplacement du vérin de la machine. Une vitesse de déplacement radial est imposée par une consigne dans le logiciel de pilotage. La vitesse du vérin s’ajuste ensuite pour permettre à la réduction diamétrale de correspondre à la consigne demandée. Dans la première partie du chargement, le déplacement radial et le déplacement longitudinal sont tous les deux monotones croissants. A la charge maximale, la localisation de la déformation dans l’entaille nécessite une diminution de la vitesse de déplacement longitudinal. Ensuite, l’orientation de la matière dans le sens de traction tend à rigidifier le matériau. Pour maintenir la vitesse de réduction diamétrale constante, la machine réagit en augmentant la vitesse de déplacement.  Afin de mieux représenter les conditions de l’essai, on choisit d’entrer dans le calcul la même routine que celle utilisée expérimentalement, pour permettre de relier le déplacement longitudinal à la réduction diamétrale. Comme expérimentalement, la consigne de chargement est telle que le vérin doit permettre de contrôler une vitesse de réduction diamétrale constante. La vérification entre la consigne et le résultat numérique se fait à chaque pas de calcul et est corrigée si nécessaire. Une procédure de pénalisation est également présente dans le processus de routine pour permettre d’accroître la correspondance avec la réduction diamétrale expérimentale. L’inconvénient majeur de l’emploi de la routine est de générer un pas de calcul très faible, afin que numériquement le déplacement des nœuds en haut de l’éprouvette induise le déplacement du nœud donnant la réduction diamétrale. Suivant le pas de calcul choisi, il est possible de suivre correctement la vitesse de réduction diamétrale imposée. Ainsi, pour les calculs un compromis sera fait entre la rapidité des calculs et le suivi exact de la vitesse de réduction diamétrale imposée (cf. Annexe IV.3). L’introduction de cette routine dans le calcul permet de s’assurer que la réduction diamétrale expérimentale est très proche de la réduction diamétrale simulée. C.II Rappels des particularités des courbes force-réduction diamétrale obtenues sur AE pour le PVDF déplastifié Le modèle de Gurson habituellement utilisé sur les matériaux métalliques permet de représenter la chute de charge liée à la croissance des cavités dans le matériau. L’allure des courbes suit en général celle donnée sur la figure IV.17. Sur cette figure représentant la force en fonction de l’évolution du diamètre pour un acier 16MND5, trois rayons de courbure différents sont présentés (R = 6 mm, R = 2.4 mm, et R = 1.2 mm). Figure IV.17 Résultats expérimentaux et simulés obtenus à –60°C et –30°C sur l’acier 16MND5 [Tanguy, 2001] Dans le cas des matériaux métalliques, le comportement élastique se vérifie pour des niveaux de déformation très faibles et une limite élastique très haute. Ensuite la localisation de la déformation entraîne une diminution progressive de la charge. La charge maximale augmente en fonction de la diminution du rayon de courbure, c’est à dire en fonction de l’augmentation du taux de triaxialité des contraintes. La réduction diamétrale à rupture diminue avec l’augmentation de t. Concernant le PVDF, il a déjà été mentionné de nombreuses fois que la localisation de la déformation entraînait un très net adoucissement de la charge. Cet adoucissement, appelé communément crochet de traction, ne peut pas en théorie être représenté par le modèle GTN. Les observations microscopiques ont indiqué que la croissance des cavités débute juste avant la force maximale, induisant une augmentation de volume. Le crochet est d’ailleurs d’autant plus significatif que le rayon de courbure diminue. Tous ces résultats confirment le rôle de la triaxialité sur l’importance des mécanismes d’endommagement. Chapitre IV. Modélisation du comportement et de l’endommagement 176 Le second résultat particulier observé sur le PVDF concerne la même charge maximale obtenue entre les éprouvettes AE1.6 et AE0.8. Pour différentes vitesses et également à plus basse température, la force maximale pour les deux types d’éprouvettes est équivalente. Une éprouvette de rayon R = 0.15 mm avait indiqué également la même tendance. Les observations microscopiques et les mesures de déformations volumiques ont indiqué que le taux initial élevé de porosités, ainsi que l’importance de l’endommagement pouvait expliquer ce résultat. Il ne peut pas en théorie être reproduit par le modèle GTN puisqu’une diminution de rayon de courbure implique une augmentation du taux de triaxialité c’est à dire une augmentation de la rigidité de l’éprouvette. Enfin, le dernier résultat important et différent des matériaux métalliques est la stabilisation (AE1.6, AE0.8) voire l’augmentation de la charge en fin d’essai (AE4). Ce mécanisme communément appelé rhéodurcissement dans les polymères caractérise l’augmentation de rigidité dans la matrice due à l’orientation des chaînes macromoléculaires de phase amorphe, et probablement aux lamelles cristallines plus ou moins orientées dans la direction principale de sollicitation. Même si la réelle augmentation de charge n’est visible macroscopiquement que sur les AE4 à faible vitesse de déplacement, la quasi-stabilité de la charge pour les AE1.6 et AE0.8 indique une augmentation de la rigidité avec la déformation. Tous ces mécanismes devront être pris en compte pour permettre de représenter correctement les résultats de traction sur les éprouvettes entaillées.