Modélisation du comportement des matériaux

Comportement élasto-plastique

Modèle élasto-plastique

La démarche adoptée pour modéliser le comportement repose sur le choix d’une approche phénoménologique pouvant être écrite dans le cadre de la thermodynamique des processus irréversibles et appliquée aux matériaux élasto-plastiques. L’application visée étant l’emboutissage de tôles minces, le modèle développé dans ce paragraphe permet de prendre en compte les effets de l’anisotropie initiale, de l’anisotropie induite et de l’évolution de l’écrouissage mais est restreint aux déformations à froid et aux matériaux indépendants du temps physique. Cette dernière restriction sera levée dans les dernières parties de ce chapitre. Des détails complémentaires sur ce modèle peuvent être consultés dans (Lemaitre et Chaboche 1990) ou encore dans (Haddag 2007; Abed-Meraim 2009). La relation entre le taux de contrainte de Cauchy et le taux de déformation élastique est décrite par une loi hypo-élastique : :  p σ C D D   (3.11) où C est le tenseur d’ordre quatre représentant les modules d’élasticité permettant de relier le taux de contraintes de Cauchy σ au taux de déformation élastique e D défini comme la différence entre le taux de déformation totale D et le taux de déformation plastique p D , exprimés dans le repère corotationnel. Une loi d’écoulement plastique associée permet d’exprimer l’évolution de ce tenseur : p f       D V σ (3.12) où  et V sont respectivement le multiplicateur plastique et la direction d’écoulement plastique, normale à la surface de charge délimitée par le potentiel f . Le critère de charge peut s’écrire sous la forme de Kuhn – Tucker :  , 0  0 0 f Y f         σ X (3.13) avec Y et X respectivement la taille de la surface de charge, reliée à la variable d’écrouissage isotrope, et la variable d’écrouissage cinématique. 31 Deux définitions classiques seront utilisées pour calculer la contrainte équivalente  : la contrainte équivalente de von Mises dans le cas isotrope et la contrainte équivalente de Hill’48 dans le cas anisotrope. La première s’exprime sous la forme suivante :      (3.14) où la notation  est utilisée pour représenter la partie déviatorique de la grandeur considérée. La direction d’écoulement devient alors :   (3.16) où le tenseur M , représentant l’anisotropie initiale de la tôle, peut être exprimé à partir des coefficients de Hill’48 en utilisant la représentation vectorielle des tenseurs σ et X : sont définis à partir des rapports des déformations plastiques pris respectivement dans des directions orientées à 0°, 45° et 90° par rapport à la direction de laminage et la déformation plastique dans l’épaisseur de la tôle mesurées au cours d’un essai mécanique. Lorsque les trois coefficients de Lankford sont égaux, il est possible de montrer que les critères de Hill’48 et von Mises sont équivalents ; le critère de von Mises peut alors être considéré comme un cas particulier du critère de Hill’48. Avec la définition du critère de Hill’48, la direction d’écoulement devient : 32 :     M  V σ X (3.18) De nombreux critères de plasticité alternatifs ont été développés afin d’améliorer la prise en compte de l’anisotropie de la tôle pour différents types de matériaux, avec par exemple les travaux de (Hill 1979; Barlat et al. 1991; Hill 2000; Banabic et al. 2003; Barlat et al. 2005). Seuls les critères de von Mises dans le cas isotrope et le critère de Hill’48 dans le cas anisotrope seront considérés par la suite, leur utilisation étant suffisante pour l’objectif fixé de comparaison théorique des critères d’instabilité plastique. Il a par ailleurs été montré que le choix de critères de plasticité plus avancés permette bien souvent une nette amélioration des prédictions réelles de CLF (Kuroda et Tvergaard 2000; Banabic et Dannenmann 2001). D’autre part, l’évolution de la variable d’écrouissage cinématique peut être représentée par la loi non-linéaire d’Armstrong – Frederick : X n X H    C X X sat  X X   (3.19) avec CX et Xsat deux constantes du matériau représentant respectivement la vitesse de saturation et la valeur de saturation de la variable d’écrouissage cinématique et nX la direction de saturation définie par :    X  σ X n (3.20) Lorsque le critère de von Mises est utilisé, il peut être noté que les directions d’écoulement plastique et de saturation de l’écrouissage cinématique sont confondues. Dans l’équation (3.13), la taille courante de la surface de charge est reliée à la variable d’écrouissage isotrope par : Y Y R  0 (3.21) où Y0 représente la taille initiale du domaine élastique. La variable d’écrouissage isotrope R est utilisée pour représenter l’évolution de la taille de la surface de charge et est physiquement reliée à la densité des dislocations réparties aléatoirement dans le volume de matière. Différentes lois peuvent être utilisées pour décrire son évolution. 

Modèle élasto-plastique endommageable

Certains critères d’instabilité plastique, notamment ceux développés pour la prédiction de modes localisés sous forme de bandes présentant des discontinuités du gradient de la vitesse (Chapitre 6), nécessitent l’utilisation de modèles de plasticité non-associée ou encore la présence d’un régime adoucissant. De tels effets adoucissants peuvent être introduits par le couplage des équations constitutives avec l’endommagement en plasticité associée. Différentes approches ont été développées ces dernières décennies pour modéliser l’endommagement. Le modèle de Gurson est utilisé pour décrire l’endommagement dans des milieux poreux présentant un comportement élasto-plastique ductile (Gurson 1977; Needleman et Rice 1978; Tvergaard et Needleman 1984). Ce modèle est basé sur la représentation de la germination de cavités et de microfissures à l’intérieur du volume élémentaire représentatif (VER), de leur croissance puis de leur coalescence conduisant à la rupture. La mécanique de l’endommagement continu constitue une seconde approche, dont les bases reposent sur la thermodynamique des processus irréversibles (Rabotnov 1969; Kachanov 1986). Selon ce modèle, la variable tensorielle d’endommagement est reliée à la densité surfacique des micro-défauts, constitués par exemple de vides, de cavités ou de microfissures pouvant être présents sur une surface du VER. Cette grandeur d’endommagement peut être d’ordre quatre dans le cas d’endommagement anisotrope ou un scalaire dans le cas d’endommagement isotrope. Le choix d’une variable scalaire, plus simple à mettre en œuvre et à identifier, a été privilégié ici. Le couplage du modèle élasto-plastique avec l’endommagement est alors mené en suivant l’approche de Lemaitre, reliant 35 l’endommagement au rapport entre la surface des micro-défauts et la surface totale sur un VER (Lemaitre 1985) : def S d S  (3.32) avec d la variable d’endommagement, Sdef la surface des micro-défauts sur une surface élémentaire S d’un VER. La contrainte effective est alors reliée à la contrainte usuelle par : 1 eff d   σ σ (3.33) En adoptant le principe d’équivalence en déformation, le comportement d’un matériau endommagé relie le taux de déformation au taux de contrainte effective par les équations constitutives du matériau non endommagé dans lesquelles la contrainte est remplacée par la contrainte effective (Lemaitre et Chaboche 1990). La forme incrémentale de la loi d’élasticité devient alors : :  p σ C D D eff   (3.34) ou encore : 1 :    1 p d d d      σ C D D σ (3.35) où le taux de déformation plastique p D peut être exprimé à partir d’une loi d’écoulement associée vérifiant la relation de normalité : p f     D σ (3.36) La surface de charge et le critère d’écoulement plastique deviennent après couplage avec l’endommagement :  ,  0 0 0 eff f f Y         σ X (3.37) Si la contrainte équivalente de Hill’48 est utilisée, il est possible d’en déduire l’expression du taux de déformation plastique :         : 1 : : p eff eff eff d          M σ X D σ X M σ X (3.38) 36 Dans cette équation, la variable d’écrouissage cinématique est affectée par l’endommagement à travers la modification de sa direction de saturation, alors notée nXd : X n X H    C X X sat d  X X   (3.39) avec :  ,  eff eff d      X X σ n σ X Par commodité, la notation HX utilisée dans le cas élasto-plastique est réutilisée ici bien qu’il ne s’agisse pas exactement des mêmes fonctions, la direction de saturation étant affectée par l’endommagement. Il peut toutefois être montré que nX et nXd sont égaux en l’absence d’endommagement. Par contre, comme la contrainte n’apparait pas explicitement dans les expressions d’évolution de l’écrouissage isotrope, ces équations restent valables sans modification et pourront être écrites sous la forme générique précédente, soit : ou R H Y H   R Y   (3.40) où il est intéressant de noter la relation entre le multiplicateur plastique et le taux de déformation plastique équivalente :     1 d  (3.41) L’évolution de la variable d’endommagement isotrope est reliée à l’évolution de la microstructure du matériau et plus particulièrement au taux de déformation plastique équivalente  . La loi d’évolution de l’endommagement isotrope du modèle de Lemaitre relie cette variable à la déformation plastique équivalente et au taux de restitution de la densité d’énergie élastique, dont l’expression est (Lemaitre 1992) : 1 : : 2 e e Y e  ε C ε (3.42) Dans le cas de l’élasticité isotrope linéaire, l’écriture de cette grandeur est simplement donnée par :     est le second invariant de la contrainte effective déviatorique,   la contrainte effective hydrostatique, E et  le module de Young et le coefficient de Poisson du matériau non endommagé. Des améliorations de la loi de Lemaitre ont été proposées et appliquées récemment à la simulation d’opérations de formage de tôles minces par emboutissage. Un seuil d’activation Yei , agissant sur le taux de restitution de la densité d’énergie élastique et à partir duquel l’endommagement peut évoluer, est introduit :avec d S , d s et d des paramètres matériaux.