Modélisation en éléments finis des plaques fissurées

 Modèles de plaques 

Une plaque est une structure tridimensionnelle plane, dont l’épaisseur est très faible devant les autres dimensions. Pour fixer les idées, nous supposerons que le plan moyen de la plaque, que l’on désigne par Ω, est inclus dans le plan d’altitude nulle x3 = 0, voir Fig. 1.1. Le déplacement inconnu est à 3 dimensions, comme en élasticité 3D. Mais les hypothèses physiques des modèles de plaque permettent de ramener ce problème tridimensionnel à un problème bidimensionnel, posé sur le plan moyen. Ceci se fait en intégrant dans l’épaisseur. La dépendance en x3 est donc explicite dans les modèles. Ainsi les déplacements inconnus seront bidimensionels, ce qui les rend plus simple à étudier. Le solide complet Ω×] − ε, ε[ est noté Ω ε . L’épaisseur de la plaque vaut donc 2ε. Le bord supérieur de la plaque est noté Γ ε +, et le bord inférieur Γ ε −. La tranche est notée Γ ε , et elle est partagée en 3 parties disjointes Γ ε 0 , Γ ε 1 et Γ ε 2 , sur lesquelles la plaque est supposée respectivement encastrée, en appui simple et libre

Modèle de Kirchhoff-Love Hypothèses physiques

Le modèle de Kirchhoff-Love est parfois appelé dans la littérature le modèle « classique » de plaque. On considère les deux hypothèses suivantes, en plus des hypothèses ci-dessus. Hypothèse 3 La déformation dite de « cisaillement transverse » est supposée nulle : γα3(u) = 0. (1.3) Hypothèse 4 Les contraintes de cisaillement transverse σα3 et celles de pincement σ33 sont supposées négligeables devant les contraintes planes σαβ (mais elles ne sont pas supposées identiquement nulles). Au niveau géométrique, ces hypothèses se traduisent par le fait que la normale au plan moyen reste orthogonale à la surface moyenne après déformation.

Cette propriété géométrique différencie le modèle de Kirchhoff-Love de celui de Mindlin-Reissner. Expression du déplacement dans le modèle de Kirchhoff-Love Les hypothèses physiques de ce modèle donnent une forme particulière au champ de déplacement tridimensionnel : ½ uα(x1, x2, x3) = uα (x1, x2) − x3 ∂αu3(x1, x2) u3(x1, x2, x3) = u3(x1, x2) (1.4) Ainsi, la connaissance des 3 fonctions u1 , u2 , u3 permet de reconstituer le déplacement total. Ces 3 fonctions inconnues ne dépendent que des 2 variables x1 et x2, et la dépendance en x3 est explicite.Les déplacements horizontaux u1 et u2 sont appelés les déplacements de membrane, tandis que le déplacement vertical u3 est appelé la flèche. Les fonctions u1 et u2 s’interprètent simplement comme les déplacements dans le plan (O, x1, x2) des points du plan moyen Ω.

Il s’agit donc de son déplacement de membrane. Notons que le terme −∂αu3 correspond à la rotation des fibres verticales de la plaque. Ce terme est couramment appelé « rotation de la normale ». Dans le modèle de KirchhoffLove, étant donné qu’il reste perpendiculaire au plan moyen après déformation, il est défini par le gradient de u3. Mais ce n’est pas le cas dans le modèle de Mindlin-Reissner, où cette grandeur constitue une variable indépendante (et donc une inconnue supplémentaire du problème). 

Loi de comportement

La loi de comportement relie la déformation à la contrainte. On considère une loi de comportement élastique linéaire ; la relation entre ces deux tenseurs est donc linéaire, de la forme γαβ = Sαβλµ σλµ, où Sαβλµ est la restriction plane du tenseur de souplesse, d’ordre 4. On cherche donc la loi qui donne la relation inverse, de la forme : σαβ = Rαβλµγλµ, (1.6) en notant Rαβλµ l’inverse du tenseur Sαβλµ. Dans le cas homogène isotrope, on considère pour Sαβλµ la restriction plane de la loi de Hooke : γαβ = 1 + ν E σαβ − ν E σλλ δαβ, (1.7) où δαβ désigne le symbole de Kronecker (δαβ = 1 si α = β, 0 sinon). En inversant cette relation, on obtient donc la loi de comportement pour une plaque de Kirchhoff-Love : σαβ = E 1 − ν 2 [ (1 − ν) γαβ + ν γλλ δαβ ].