Modélisation et propriétés des harmoniques CWE

Modélisation

Le modèle se décompose en trois étapes distinctes : premièrement, le calcul des trajectoires des électrons de Brunel, deuxièmement, la détermination du temps d’excitation du plasma et troisièmement, la construction du champ attoseconde émis. 

Calcul des trajectoires

Le calcul des trajectoires se base sur le modèle de Brunel [17], qui est modifié pour prendre en compte les caractéristiques laser (enveloppe, chirp et CEP) et le caractère relativiste du mouvement des électrons. Modélisation et propriétés des harmoniques CWE 124 Modélisation et propriétés des harmoniques CWE Modèle de Brunel Le modèle de Brunel [17] fournit les équations à une dimension du mouvement des électrons à la surface d’un plasma dense sans gradient de densité (gradient infiniment raide) sous l’effet d’un champ électrique oscillant. Dans l’espace x ≥ 0, on considère un plasma homogène dont la résistivité est supposée nulle : il constitue une réserve infinie d’électrons et le champ électrique au sein du plasma est nul. Dans l’espace x ≤ 0, on définit un champ électrique extérieur uniforme (champ laser) dont la direction est sur l’axe des x : EL = E0 sin ωt. Le laser est en incidence oblique (angle d’incidence θ) en polarisation p, le champ à la surface est la somme des champs incident Ei et réfléchi Er projetés sur la normale : EL = 2 sin θ|Ei | car |Ei | = |Er|. Pour 0 < t < π/ω, le champ électrique extérieur tire des électrons vers le vide. Ceux-ci écrantent le champ laser au niveau de la surface du plasma en créant une charge d’espace : un champ électrostatique ES(x, t) apparaît entre le plasma chargé positivement et les électrons de Brunel situés dans le vide. Le champ vu par l’électron i à la position xi au temps t est alors : E (i) (t) = EL(t) + ES(xi , t) (5.1) Comme on considère que le plasma est un conducteur parfait, le champ doit être nul à sa surface : la densité d’électrons arrachés par le laser est telle que le champ électrostatique annule le champ laser au niveau de la surface du plasma. On a ainsi pour l’électron i : EL(t) + ES(0, t) = 0, soit ES(0, t) = −EL(t) (5.2) L’évolution du champ électrique et des électrons de Brunel est schématisé sur la Fig. 5.1. Au fur et à mesure que le champ laser augmente, d’autres électrons sont arrachés et les premiers électrons sont accélérés dans le vide. En faisant l’hypothèse que les électrons ne se doublent pas dans le vide, le champ électrostatique ne varie pas au cours du temps : ES(xi , t) = −EL(ti), où ti est le temps auquel l’électron i est arraché du plasma (« temps de naissance »). Il est maximal à la surface du plasma et décroit vers le vide. Ensuite, quand le champ laser décroit, les derniers électrons arrachés sont attirés par le plasma alors que les premiers électrons sont toujours accélérés par le laser. Enfin, le champ laser s’inverse et tous les électrons sont accélérés vers le plasma.

Modèle avec impulsion laser

Le champ électrique d’une impulsion courte s’écrit E = E0 A(t) sin ωt où A(t) = e −t 2/2τ 2 pour une enveloppe gaussienne. Pour simplifier les équations, on fait l’approximation |∂A(t)/∂t| << ω/π A(t) (l’enveloppe varie peu à l’échelle du demi cycle optique, durée caractéristique de la dynamique des électrons de Brunel dans le vide), l’équation 5.5 devient alors : pi/me = vosc  e −t 2/2τ 2 cos ωt − e −t 2 i /2τ 2 cos ωti  + ωvosc e −t 2 i /2τ 2 (t − ti) sin ωti (5.7) La prise en compte de la CEP et du chirp s’effectue en remplaçant le temps ωt par ωt + φ + αt2/2, où φ est la CEP et α la phase quadratique temporelle due au chirp. Ce simple changement de variable est justifié si la variation de fréquence est négligeable à l’échelle du cycle optique : αT << ω. D’autre part, dans le cas d’une impulsion chirpée il faut prendre en compte l’augmentation de la durée d’impulsion et la diminution de son intensité (voir partie I paragraphe 1.2). La résolution numérique de la trajectoire des électrons de Brunel à partir des équations 5.7 et 5.6 pour une impulsion de 2 cycles optiques à mi-hauteur est illustrée sur la Fig. 5.3. Les électrons de Brunel effectuent une plus grande excursion dans le vide et ont une plus grande vitesse de retour pour les cycles optiques les plus intenses.

Croisement des trajectoires et pics de densité électroniques

Si on regarde désormais un grand nombre de trajectoires d’électrons de Brunel calculés avec le modèle pour différents temps de départ (Fig. 5.4 (a)) on observe une caustique dans le plasma sur laquelle tangentent toutes les trajectoires électroniques. Sur cette figure sont représentés les électrons qui se croisent à une profondeur comprise entre 0 et λ/10 dans le plasma, cela correspond à des temps de naissance compris entre t = T0/8 (E = √ 2 E0) à t = T0/4 (E = E0) pour une intensité de a0 = 0.4. Les électrons se croisent ainsi massivement à l’intérieur du plasma : un pic de densité électronique se déplace suivant la caustique. La Fig. 5.4 (b) montre les temps de passage des électrons en fonction de leur temps de départ à une profondeur donnée (λ/50) dans le plasma. Dans ce cas, tous les électrons sont représentés. On retrouve que les premiers électrons arrachés (ti < 0.04 T0) ne retournent pas dans le plasma. Au voisinage du minimum de la courbe des temps de passage, les électrons atteignent la profondeur λ/50 à des temps très proches, ils sont donc concentrés dans le temps : c’est le pic de densité électronique. Ce pic est d’autant plus grand que la dérivée seconde de cette courbe ∂tp/∂ti est faible. Le temps d’excitation des oscillations plasma correspond donc au minimum de la courbe Fig. 5.4 (b).