Modélisation du comportement et de l’endommagement

Présentation du modèle GTN A.I 

Les résultats expérimentaux ont indiqué le rôle central que jouait la croissance des cavités dans la rupture ductile des métaux [Puttick, 1959], [Rogers, 1960], [Brown et Embury, 1973]. Toutes ces études ont porté sur des matériaux métalliques et ont montré que les cavités se formaient sur des Chapitre IV. Modélisation du comportement et de l’endommagement 158 particules de seconde phase, ou par décohésion entre une particule et la matrice, ou par la rupture d’une particule. La rupture finale intervient après la phase de croissance de cavités voisines jusqu’à leurs coalescences finales. Des analyses de croissance de cavités dans un matériau infini plastique montrent que cette croissance est fortement dépendante de la contrainte hydrostatique [McClintock, 1968], [Rice et Tracey, 1969]. Ainsi la coalescence des cavités sera engendrée par un taux de triaxialité élevé. Cette prévision a été confirmée par des séries de tests sur des éprouvettes plus moins entaillées sévèrement dans le cas d’acier [Hancock et Mackenzie, 1976], [Hancock et Brown, 1983]. Compte tenu des résultats expérimentaux, il y a eu un intérêt croissant sur l’utilisation de la croissance et de la coalescence des cavités pour décrire la rupture ductile des métaux. De nombreux exemples de recherche ont porté sur la croissance d’une cavité unique dans un solide élasto-plastique infini, pour différents états de contraintes [McClintock, 1968], [Rice et Tracey, 1969], [Budiansky et al, 1982]. Basé sur des analyses équivalentes pour une cavité sphérique, Gurson a développé un modèle permettant de décrire le comportement d’un solide poreux ductile [Gurson, 1977a,b]. Dans ce modèle, le paramètre f , fraction volumique de porosités, est le seul paramètre d’endommagement et la réponse matériau est très sensible à son évolution. Ce modèle a été étendu par Needleman et Rice pour tenir compte de la germination de cavités [Needleman et Rice, 1978], et ensuite par Tvergaard et Needleman pour tenir compte de la coalescence de cavités [Tvergaard, 1982a], [Tvergaard et Needleman, 1984]. A.II Description du modèle de Gurson-Tvergaard-Needleman (GTN) A.II.1 Description de la fonction d’écoulement et des fonctions d’endommagement Compte tenu du taux de porosités initial dans le PVDF non plastifié et de l’importance de l’endommagement par cavitation en cours de déformation, il est apparu évident qu’il n’était pas possible de découpler l’endommagement du comportement. Le modèle GTN est basé sur le modèle micromécanique développé par Gurson en 1977 [Gurson, 1977a]. Il permet de décrire la croissance d’une cavité sphérique dans une matrice rigide parfaitement plastique conduisant à l’expression du critère de plasticité donné par (1) : ( ) (1 ) 2 3 , , 2 cosh 2 0 2 0 2 0 f f f eq m – + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = + s s s s f s s (1) avec s le tenseur des contraintes macroscopiques (matrice+porosités), s eq la contrainte macroscopique équivalente, s m 3s kk = 1/ la contrainte macroscopique moyenne, f la porosité du matériau, et s0 la limite d’élasticité de la matrice. En appliquant la règle de normalité et en calculant la trace du tenseur des vitesses de déformation macroscopique p e& , on obtient (2) : 0 2 3 sinh 3 0 0 ¹÷ ÷ ø ö ç ç è æ = ÷ ÷ ø ö ç ç è æ ¶ ¶ = s s s l s f e l m p f tr tr & & & (2) L’équation (2) est obtenue en considérant d’abord la règle de normalité telle que (3) : s f e l ¶ ¶ = & & p (3) Chapitre IV. Modélisation du comportement et de l’endommagement 159 On considère ensuite la dérivée s f ¶ ¶ , séparée en deux parties telles que (4) : ( ) s s s eq 3 3 / 2 : 2 = ¶ ¶ = ¶ ¶ s s s et I m 3 1 = ¶ ¶ s s (4) avec I , le tenseur identité et s, le déviateur des contraintes Ainsi, il est possible d’avoir une variation positive ou négative du volume, donc une croissance ou une réduction de porosité. Le calcul de la trace de p e& donne ensuite le résultat énoncé dans l’équation (2). A.II.1.a Introduction de la contrainte d’écoulement sy L’expression (1) prévoit une porosité à rupture f = 1 (F = 0 si s = 0), ce qui conduit à une surestimation des ductilités à rupture et suppose un matériau rigide parfait. Le modèle a alors été modifié par Tvergaard et Needleman pour prendre en compte l’interaction entre les cavités et l’écrouissage [Tvergaard, 1982b]. La prise en compte de l’écrouissage est réalisée en remplaçant la limite d’élasticité s0 du matériau parfaitement plastique par s y la résistance à l’écoulement de la matrice écrouissable avec f ( p) s y = . L’écrouissage est supposé de nature isotrope. La variable d’écrouissage p est définie en supposant l’égalité de la dissipation plastique microscopique et de la dissipation macroscopique. La déformation plastique effective p représente l’état de la déformation microscopique dans la matrice. Son évolution est donnée par (5) : (1 ) s e :s p p y – f & = & (5) ( ) y 1- f p&s correspond à la puissance microscopique puisque seule une fraction (1- f ) est occupée par la matière. La variable d’écrouissage est différente de la variable employée pour les matériaux non endommagés puisque ici on considère la déformation plastique cumulée au sens de von Mises telle que 0.5 : 3 2 ÷ ø ö ç è æ = p p p& e& e& . L’écrouissage est introduit sous la forme d’un écrouissage moyen d’un milieu poreux se déformant de façon uniforme [Leblond et al, 1995]. A.II.1.b Introduction des paramètres q1 et q2 dans l’expression du critère de plasticité Deux paramètres, q1 et q2 , ont été ajoutés dans le critère de plasticité. Ils permettent de tenir compte de l’interaction possible des cavités [Tvergaard, 1981, 1982c]. Ils sont en général déterminés à partir de calcul sur des cellules élémentaires (une seule cavité dans le volume représente la fraction volumique de cavités dans la matrice). Ils ont dans un premier temps été pris égaux à l’unité, ceci pour une matrice parfaitement rigide plastique, où la déformation autour d’une cavité sphérique est parfaitement symétrique. Cependant, en considérant un matériau ayant une distribution périodique de cavités sphériques et cylindriques, un meilleur accord est obtenu avec l’expérience en prenant q1 = 1.5 et q2 = 1. Le critère de plasticité du modèle GTN est alors de la forme suivante (6) : Chapitre IV. Modélisation du comportement et de l’endommagement 160 ( ) ( ) 2 *2 1 * 2 2 1 2 1 2 3 , , 2 cosh q f q f q f y m y eq y – + ÷ ÷ ø ö ç ç è æ = + s s s s f s s (6) Le paramètre q1 a un sens physique, puisque pour s = 0 , c’est à dire à l’instant de la rupture, f q 1 1 = , avec f la porosité à rupture. q2 aura plutôt une influence sur l’évolution de l’endommagement, puisqu’il se situe devant le terme représentatif du taux de triaxialité. A.II.1.c Introduction de la coalescence et de la germination Pour une croissance donnée, il a été observé que les cavités pouvaient se rejoindre, ce qui entraîne un endommagement supplémentaire par rapport à la croissance seule. Pour représenter l’accélération de la croissance des cavités pendant le stade de coalescence, la fonction * f est introduite [Tvergaard et Needleman, 1984] dans l’expression du potentiel d’écoulement. La fonction bilinéaire * f représente la porosité effective et est justifiée pour décrire l’apparition de la coalescence au delà d’une porosité critique c f , la porosité est alors plus endommageante que si elle restait sphérique (7). f ( f ) = * f si c f £ f sinon f ( f ) = * ( ) c c f + d f – f (7) avec F c U c f f f f – – = * d , * U f est la porosité effective à rupture ( ) 1 * f 1/ q U = , et F f la porosité à rupture. Figure IV.1 Fonction * f [Tanguy, 2001] En cours de croissance, des cavités peuvent également apparaître en complément, on parle alors de germination. L’évolution de la porosité due à la croissance et à la germination de nouvelles cavités est telle que (8) : croissance ger ation f f f min & & & = + (8) L’évolution de la croissance est obtenue à partir du principe de conservation de la masse telle que (9) : ( ) croissance p f f tracee& & = 1- (9) Cette dernière équation est obtenue à partir du raisonnement suivant : soit W le volume (matrice+cavités), et soit w le volume des cavités. Par incompressibilité de la matrice, on aura w& W& = . La porosité est définie par W = w f . Chapitre IV. Modélisation du comportement et de l’endommagement 161 On aura donc ( f ) w f – W W ÷ = ø ö ç è æ W – W W = 1 1 & & & et p tre& & = W W . p e& est obtenue par la règle de normalité ( ) s f e l ¶ ¶ = & & p La cinétique de germination est décrite à partir de deux coefficients supplémentaires An et Bn qui peuvent être associé s à l’intensité de germination contrôlée en contrainte et en déformation respectivement.