Modélisation et reconstruction des amas de galaxies dans le domaine optique/infrarouge

L’Univers vue par les perturbations

Notre présence aujourd’hui est la preuve même que l’Univers n’est pas homogène et qu’il y a donc des perturbations de la métrique. Une formidable découverte fut celle des anisotropies du fond diffus cosmologique qui nous prouve que ces perturbations existaient avant le découplage rayonnement-matière. De plus, nous allons voir que ces dernières ont dû 32 Cosmologie Figure I.12 – Mesure de la température du rayonnement du CMB par les satellites COBE et WMAP. Les variations qui sont présentées sont de l’ordre de 100µ K autour de la valeur moyenne de 2, 725 K. La différence entre les deux cartes est due à la différence de taille des lobes d’observations (7 degrés pour COBE contre une trentaine de minutes d’arc pour WMAP) être générées dans des conditions particulières pour permettre l’observation des spectres de corrélations, de température et de polarisation, du CMB. Cette section est la partie principale de mon introduction à la cosmologie. Je veux, au travers de celle-ci, présenter le lien qu’il y a entre les perturbations primordiales, la fonction de corrélation de température du CMB, la fonction de corrélation de polarisation puis la formation des structures. Je ferai également une petite digression sur la période de réionisation qui marque de son empreinte les données du CMB et qui est reliée à la formation des premières étoiles et galaxies. Instant qui aura son importance pour l’étude des amas de galaxies dans le domaine optique/infrarouge. Je commence tout de suite par introduire plus en détail la période inflationnaire, du moins un modèle simple à un seul champ scalaire.

Inflation, génération des perturbations

La période d’inflation est modélisée par l’évolution d’un ou plusieurs champs scalaires. Cette évolution contient deux phases : – une phase qui provoque l’expansion exponentielle, dite de roulement lent ( slow-roll en anglais), – une phase qui fait disparaître ce ou ces champs au profit des particules usuelles 12 , dite de réchauffement ( reheating en anglais) . C’est lors de la phase de slow-roll, que l’on peut traduire par roulement lent, que les perturbations sont générées. La phase de reheating, soit de réchauffement, est nécessaire pour sortir de la période d’expansion rapide ainsi que pour créer les particules. La création d’un tel modèle se comprend assez facilement en regardant la forme des équations qui caractérisent un champs scalaire dynamique spatialement homogène (Kolb & Turner, 1990) : ρφ = φ˙2 2 + V (φ), (I.82) pφ = φ˙2 2 − V (φ), (I.83) w(φ) = pφ ρφ = φ˙2 2 − V (φ) φ˙2 2 + V (φ) . (I.84) Dans les conditions de roulement lent, la variation du potentiel par rapport au temps est quasiment nulle (par définition de cette phase) et donc : φ˙2 2 ≪ V (φ). (I.85) En réutilisant la relation entre l’évolution du facteur d’échelle et l’équation d’état du fluide dominant, nous voyons directement apparaître que durant cette phase le facteur d’échelle croît exponentiellement avec le temps. En effet, d’après l’équation I.27, nous obtenons : ρ˙φ + 3 a˙ a (ρφ − ρφ) = 0 ⇒ ρ˙φ = 0 ⇒ ρφ = cte. (I.86) En utilisant l’équation I.25 pour le seul fluide φ existant durant cette période : H 2 =  a˙ a 2 = 8πG 3 ρφ = cte, (I.87) ce qui nous donne pour le facteur d’échelle : a˙ = r 8πG 3 ρφ × a ⇒ a ∝ exp « r 8πG 3 ρφ × t # . (I.88) La figure I.13 est fonction de la valeur moyenne du champ quantique φ. Or, comme tout champ quantique, ce dernier fluctue. Ces fluctuations génèrent des perturbations scalaires 12. la matière baryonique, les neutrinos ainsi que la matière noire. 34 Cosmologie Figure I.13 – Potentiel typique pour un champ d’inflaton avec une phase de roulement lent pour créer la phase d’expansion de l’Univers et une phase d’oscillation pour désintégrer le champ en les particules usuelles. Cette figure est tirée de (Baumann & Peiris, 2008). et tensorielles qui, subissant l’expansion inflationnaire, deviennent rapidement des perturbations classiques. Le passage au régime classique, qui correspond à l’entrée dans son horizon causal, provoque une amplification de ces perturbations leur conférant une amplitude de l’ordre de 10−4 par rapport à la densité moyenne 13 . Les perturbations sont entièrement caractérisées par leur spectre de puissance (moment d’ordre 2 en corrélation) car étant prévues comme gaussiennes par ces modèles. Les prédictions pour le spectre de puissance des perturbations, scalaires PS(k) et tensorielles PT (k), au passage classique dans les modèles à un champ sont : Ps(k) = 128π 3m6 pl V 3 V ′2 (I.89) PT (k) = 32 3m4 pl V, (I.90) avec V ′ la dérivée du potentiel par rapport au champs φ et mpl la masse de Planck. On introduit également les indices spectraux de ces deux spectres de puissances : ns(k) − 1 = d ln Ps(k) d ln k ⇔ Ps(k) ∝ k ns(k)−1 , (I.91) nT (k) = d ln PT (k) d ln k ⇔ PT (k) ∝ k nT (k) . (I.92) 13. Je ne décrirai pas les calculs qui dépassent le cadre de cette introduction. Dans l’équation différentielle d’évolution des perturbations apparaît un terme en k − a 2H 2 qui donne une solution hyperbolique lorsque la perturbation rentre dans son horizon. Ainsi se produit schématiquement l’amplification. Cosmologie 35 On voit immédiatement que les spectres de puissances sont invariants d’échelle ( ie. ne dépendent pas de la taille de la perturbation k) si ns = 1 et nT = 0. Les théories inflationnaires, mêmes simples, prévoient une légère déviation à cette invariance d’échelle : ns(k) − 1 = −6ǫ + 2η, (I.93) nT (k) = −2ǫ, (I.94) où les paramètres ǫ et η sont ceux de roulement lent (donc avec une variation du potentiel V faible avec le champs φ) définis par : ǫ(φ) = m2 pl 16π  V ′ (φ) V (φ) 2 , (I.95) η(φ) = m2 pl 8π V ′′ (φ) V (φ) , (I.96) qui sont tous les deux très petits devant l’unité. On voit ainsi que les spectres des perturbations prévus par l’inflation sont en première approximation invariant d’échelle. La valeur de ces deux derniers paramètres caractérisent entièrement la forme du potentiel au moment de la génération des fluctuations (Lidsey et al., 1997). Ainsi, une mesure du rapport entre les deux spectres de puissances permettrait de contraindre fortement les modèles d’inflations. On appel ce rapport le «rapport tenseur sur scalaire» et on le note simplement r. Bien que la durée de cette période reste un paramètre du modèle standard de la cosmologie, on sait néanmoins qu’elle est extrêmement courte (de l’ordre de 10−30 s). On préfère l’exprimer comme le logarithme de l’accroissement du facteur d’échelle, ce qu’on appelle le nombre de e-folding : Ne = Z tf ti 8πG 3 ρφdt. (I.97) Toujours est-il que cette période est tellement courte qu’elle ne permet aucune propagation d’information qui, dans le plasma est transmise via les ondes sonores. En d’autres termes, les perturbations n’ont jamais évoluées, au sens comobile, à la fin de la période de slow roll. Le champ se désintègre en entrant dans la phase de reheating. Le champ tombe dans le potentiel et prend alors de la «vitesse» tandis que le potentiel tombe vers zero, soit φ˙2 2 >> V (φ). En conséquence, les équations de densité et de pression deviennent : ρφ = φ˙2 2 , (I.98) pφ = φ˙2 2 , (I.99) ce qui donne l’équation d’état suivante : wφ = φ˙2/2 φ˙2/2 = 1. (I.100) En réutilisant les résultats des équations I.33 et I.39 on obtient : ρφ ∝ a −6 , (I.101) 36 Cosmologie et que le facteur d’échelle évolue durant cette période comme : a ∝ t 1 3 . (I.102) Durant cette période, le champs d’inflaton se désintègre en toutes les particules primordiales énoncées dans la section réservée à la nucléosynthèse .La proportion entre les différentes espèces produites dépend de la nature du champs d’inflaton. Dans un modèle de champs scalaire unique, ces proportions sont donc conservées partout dans l’Univers. On dit alors que les perturbations sont adiabatiques, la densité totale étant la seule à varier. Dans des modèles plus compliqués d’inflation, il peut y avoir plusieurs champs. Ainsi, les proportions entre les espèces produites lors du réchauffement dépendent du rapport d’amplitude entre les différents champs d’inflaton en tout point. De part la nature attractive et répulsive des différentes espèces, selon leurs proportions il sera possible de générer après évolution des perturbations de densités. En effet, une zone ayant généré plus de matière noire sera un attracteur qui formera une surdensité par la suite. A contrario, une zone ayant généré une majorité de neutrinos laissera place à une sous densité lorsque ceux-ci se seront échappés. Il est alors possible de former des perturbations de densités, après un temps d’évolution, sans avoir eu de perturbation de de densité d’énergie totale au départ, et donc aucune perturbation de la métrique. Pour cette raison, on les appelle les perturbations isocourbes, la courbure étant alors égale partout au départ. Cependant, les observations actuelles montrent que les perturbations sont principalement adiabatiques et c’est la raison pour laquelle je ne vais considérer par la suite que ce genre de perturbations. Durant cette période, le facteur d’échelle est tel que l’information ne peut se propager entre les particules. I.2.2 Evolution dans le plasma Figure I.14 – Représentation de deux modes de perturbations au sortir de la période inflationnaire. Ils sont tous les deux dans l’état fixe, à savoir que le fluide baryon-photon (baryons représentés par les boules jaunes et les photons par les ressorts) n’a pas encore reçu l’information de la présence du puits de potentiel gravitationnel. Nous partons de la fin de la période d’inflation. L’ensemble des perturbations créées sont gelées dans leur état initial n’ayant jamais eu l’occasion d’évoluer (figure I.14). Le fluide baryon-photon y est représenté comme des boules jaunes massives attirées dans le puits Cosmologie 37 gravitationnel de la perturbation tandis que les ressorts représentent la force de rappel due à la pression de radiation. Le rayon causal-particule comobile est à cet instant nul pour tout événement. Le champ d’inflaton maintenant désintégré, l’Univers devient alors dominé par le rayonnement. Le facteur d’échelle n’évolue plus exponentiellement ce qui permet à une information, telle qu’une surdensité, de se propager. Je vais désormais considérer une perturbation de mode comobile kcom fixé. Je vais également raisonner dans l’espace comobile. La zone surdense de la perturbation va propager l’information, au travers d’une onde sonore, la présence de son puits de potentiel. Cette information se propage avec la vitesse du son dans le fluide baryon-photon, qui dépend des conditions de densité d’énergie (Hu & Sugiyama, 1995) de la façon suivante : cs = s 1 3(1 + R) avec R = 3ρb 4ρR , (I.103) où ρb et ρR sont les densités d’énergie de la matière baryonique et de radiation à l’instant considéré. Cependant, pour des raisons de simplification, je vais l’utiliser comme constante dans le temps avec les conditions initiales (ρR ≫ ρb), soit cson = c/√ 3. Cette vitesse est bien celle calculée dans l’espace comobile car elle ne prend pas en compte les effets de l’expansion. Il faut donc un temps non nul, et calculable, pour que l’onde atteigne les bords de la perturbation et ainsi qu’elle rentre dans son horizon causal. Cette distance est λcom/2 = π/kcom car elle ne doit parcourir que le rayon et non le diamètre de la perturbation. La relation entre la longueur d’onde et le nombre d’onde nous donne le temps nécessaire pour faire ce trajet et que j’appelle «temps de rentrée dans l’horizon» tRH (k) : tRH(kcom) = λcom 2 × cson = π kcom × cson . (I.104) Figure I.15 – Représentation de deux modes de perturbations dans lesquels le fluide commence à s’effondrer. Seulement, pour un même temps de compression, le mode plus petit (donc de nombre kcom plus grand) est dans un état plus avancé de compression. Cette figure est tirée de la page personnelle de Wayne Hu (http://background.uchicago.edu/~whu/intermediate/intermediate.html) C’est à ce moment que la perturbation commence à s’effondrer I.15 dans son puits de potentiel. La matière baryonique tombe dans le puits ainsi que la matière noire et par extension les photons qui interagissent avec les baryons. En s’effondrant, la densité totale ainsi que la pression de radiation augmentent. Je présente sur cette figure deux modes de 38 Cosmologie perturbations de tailles différentes. On peut voir que la plus grande perturbation, en haut de la figure, et donc celle de nombre d’onde k plus petit, est en début de phase de compression tandis que celle du bas, plus petite, a terminé sa première phase de compression. Par là j’entends qu’elle a atteint le point d’équilibre entre l’attraction gravitationnelle du puits et la répulsion due à la pression de radiation des photons interagissant avec les baryons. On dit alors qu’elle est dans son état de compression maximum et qu’elle va commencer une phase de dilatation (ou décompression) sous l’effet de la pression de radiation. On peut voir sur la figure I.16 l’instant auquel la grande perturbation est en état de première compression maximum tandis que la petite est à la fin de sa phase de dilatation. Elle s’apprête déjà à comprimer pour la deuxième fois sous l’action de l’attraction gravitationnelle du puits. Cela ressemble au comportement d’un oscillateur harmonique et c’est d’ailleurs sous cette forme que je vais décrire, à l’ordre zéro, l’évolution des perturbations. La position d’une particule dans ce fluide est décrite par l’équation suivante : x¨ + ω 2x = 0, (I.105) où x est l’écart à la position d’équilibre et ω 2 est la pulsation du système. Cette dernière est reliée au nombre d’onde comobile de la perturbation kcom, à travers l’expression de la période T, par la relation suivante : T = 2π ω T = λ cson = 2π kcomcson , (I.106) ⇒ ω = kcomcson. Comme la pulsation dépend uniquement de la valeur du nombre d’onde kcom, je la noterai désormais ω(kcom). La solution de l’équation de l’oscillateur I.105 est directement, par les propriétés de la dérivée seconde de la fonction sinus : x(t − t0) = α × sin(ω(kcom) × (t − t0)) + γ, (I.107) où (t − t0) est l’intervalle de temps durant lequel la perturbation à le temps d’osciller donc, où t0 = tRH (kcom). Les conditions initiales sont telles que la position est x(t0) = 0, ce qui nous donne γ = 0. Pour finir, au moment de l’entrée dans l’horizon, la matière commence par être attirée par le puits gravitationnel ce qui nous donne une valeur négative pour α. x(t − t0) = −|α| × sin(kcom × cson × (t − t0)). (I.108) Il faut maintenant s’intéresser au résultat final des oscillations. Elles se terminent au moment du découplage rayonnement-matière, moment durant lequel disparaît le support d’oscillation. De plus, il s’agit du moment de la dernière diffusion des photons sur les électrons libres. Ils porteront l’information de l’état de la perturbation dans laquelle ils ont interagit pour la dernière fois. C’est cette information que nous observons encore actuellement dans le CMB. Ce qui nous intéresse est donc l’état d’oscillation à t = tCMB = 380.000 ans. Une perturbation de mode kcom a oscillé pendant un temps tosc(kcom) : tosc(kcom) = tCMB − tRH (kcom) = tCMB − π kcom × cson . (I.109) Cosmologie 39 Figure I.16 – Représentattion de la première compression maximum pour le mode du haut tandis que le mode du bas a déjà entamé la sa première décompression. Cette figure est tirée de la page personnelle de Wayne Hu (http://background.uchicago.edu/~whu/intermediate/intermediate.html) . La perturbation se trouve dans l’état de première compression maximale si la fonction sinus atteind son premier maximum, ce qui revient à écrire : kcom × cson × (t − t0) | {z } Tosc(kcom) = kcom × cson ×  tCMB − π kcom × cson  = π 2 . (I.110) Ceci nous donne une solution unique dans l’espace des nombres d’onde comobiles, que je note kcmax,1 (pour première compression maximale) : kcmax,1 = 3π 2cson × tCMB ⇒ λcmax,1 = 4 3 cson × tCMB, (I.111) où cson × tCMB est l’horizon causal sonore au moment de l’émission du CMB. Avec le calcul correct sans approximations, on trouve que la taille des perturbations dans le premier état de compression est exactement de la taille de l’horizon sonore. Je vais tout de même continuer le raisonnement sur mes calculs simplifiés bien qu’il faudra se souvenir qu’il y a un léger décalage dans la solution réelle. Intéressons nous désormais à l’ensemble des solutions. Perturbations en compression maximale La solution de première compression maximale est donnée par l’équation I.110, et toutes les solutions de compression maximale (deuxième compression, troisième …) sont modulo 2π de la première solution de par la nature sinusoïdale de la fonction. Il vient alors que la taille des perturbations dans l’état maximale de leur j eme compression, que je note kcmax,j , est : kcmax,j = kcmax,1 + j × 2π cson × tCMB . (I.112) 40 Cosmologie Perturbations en dilatation maximale La solution de la première dilatation maximale intervient la première fois que la fonction sinus atteint sont minimum −1, ce qui revient à : kcom × cson ×  tCMB − π kcom × cson  = 3π 2 , (I.113) ce qui donne finalement pour la première dilatation maximale, que je note kdmax,1 : kdmax,1 = 5π 2cson × tCMB ⇒ λdmax,1 = 4 5 cson × tCMB. (I.114) La taille des perturbations se trouvant exactement dans l’état maximal de leur j eme dilatation kdmax,j est donnée, de la même manière que pour les compressions, par : kdmax,j = kdmax,1 + j × 2π cson × tCMB . (I.115) Peruturbations en transition La majorité des perturbations ne sont, ni en état de compression maximale, ni en état de dilatation maximale mais sont soit en phase de compression soit en phase de dilatation. Pour simplifier les explications qui vont suivre, j’introduit la variable ϕ(kcom) = kcom × cson ×  tCMB − π kcom×cson  qui ne dépend que de kcom. – Les perturbations sont en phase de compression si le mode k respecte la condition −π 2 < ϕ(kcom)[2π] < π 2 (phase montante de la fonction sinus) – Les perturbations sont en phase de dilatation si le mode k respecte la condition π 2 < ϕ(kcom)[2π] < 3π 2 (phase descendante de la fonction sinus) Je montre sur la figure I.17 la représentation graphique, sur le cercle trigonométrique, de l’état d’oscillation à la surface de dernière diffusion des perturbations en fonction de leur mode kcom associé. Le trait bleu représente la position de l’espace des phases d’où partent toutes les perturbations lorsqu’elles rentrent dans leur horizon. Elles commencent alors à osciller en suivant le cercle dans le sens trigonométrique. Les équations développées ci-avant permettent de déterminer à quelle position de cet espace des phases se trouve les perturbations d’un mode kcom donné. Il est très important de noter que toutes les perturbations d’un mode kcom donné sont toutes dans le même état d’oscillation à tout temps et donc particulièrement au moment du découplage rayonnement-matière. C’est cette propriété liée au modèle avec période inflationnaire qui va permettre d’expliquer les différentes fonctions de corrélation des anisotropies du CMB. Avant d’aller plus loin, je vais décrire les différentes façons d’écrire la fonction de corrélation ainsi que le spectre de puissance qui est sa transformée de Fourier. Fonction de corrélation Pour étudier les propriétés des anisotropies du CMB, nous utilisons la fonction de corrélation de la température. Cela équivaut à étudier la valeur moyenne (sur les représentations CosmologieFigure I.17 – Représentation des des phases de compression et de dilatation en fonction de la variable ϕ = kcom × cson ×  TCMB − π kcom×cson  . La représentation est modulo 2π. La seule variable dans l’expression de ϕ étant kcom fait qu’on regarde l’état d’oscillation d’une perturbation de taille donnée au moment de la surface de dernière diffusion. Les pics de compressions sont donnés pour ϕ = π 2 [2π] tandis que les pics de dilatation sont donnés par ϕ = 3π 2 [2π]. Les perturbations pour lesquelles ϕ est copris entre π 2 et 3π 2 modulo [2π] sont en dilatation, les autres sont en phase de compression. de l’Univers) d’une quantité (ou de deux quantités q1 et q2 différentes) entre des points séparés d’un certain vecteur ( ~x1 − ~x2), où ~x1 et ~x2 sont les deux vecteurs pointant vers les zones observées : ξ q1,q2 ( ~x1 − ~x2) = hq1( ~x1)q2( ~x2)iΩ . (I.116) Deux points sont à clarifier. Tout d’abord, le principe cosmologique impliquant l’isotropie de l’Univers, l’orientation du vecteur ( ~x1 − ~x2) n’a alors aucune importance et seule l’écart entre les zones observées importe (| ~x1 − ~x2)|. Le deuxième point est le fait de moyenner sur les représentations d’Univers qui semble impossible de prime abord. Pour s’en sortir, on utilise le principe d’ergodicité. Cela revient à découper la carte du CMB en zone non causalement liée (qui n’ont plus été en contact causal depuis la fin de l’inflation) et de les considérer comme des représentations différentes de l’Univers. Cependant, plus la séparation considérée ( ~x1 − ~x2) est grande, et moins il y a de représentations indépendantes d’Univers pour faire la moyenne ce qui implique une erreur statistique qu’on appelle variance cosmique (cosmic variance en anglais).