MODELISATION MULTIPARTICULATE DES MATERIAUX MULTICOUCHES

CONSTRUCTION DU MODÈLE MULTIPARTICULAIRE DES MATERIAUX MULTICOUCHES (M4)

Premier niveau de construction: Définition de la géométrie et de la cinématique a) Famille géométrique de l’objet On peut décrire généralement l’objet à modéliser par une variété géométrique de dimension 3, 2 ou 1 de R3 . Plus la dimension de la variété est élevée plus la description de l’objet est fine. 8 Modélisation multiparticulaire des matériaux multicouches Pour le M4, on choisit de décrire les objets par des surfaces de R » ; la géométrie des objets est alors bidimensionnelle. Pour simplifier l’exposé, nous supposons la surface plane dans sa configuration de référence. Nous choisissons un repère orthonormé (0,ei,e2,ej) tel que la surface soit décrite par un domaine © du plan X?=0 de bord y. Dans ce qui suit, nous adoptons les notations X pour un vecteur de œ, X pour un tenseur d’ordre 2 de (û, X_ pour un vecteur de R3 et X pour un tenseur d’ordre 2 de R 3 . b) Nombre de particules de matériau D est souvent possible de considérer qu’un point de matière n’est occupé que par une seule particule de matériau. Cependant, pour certains objets, on obtient des modèles plus pertinents en considérant que chaque point de matière est occupé par plusieurs particules de matériaux pouvant avoir des mouvements différents (c’est par exemple le cas en mécanique des sols où chaque point de matière est occupé par une particule solide et une particule liquide). Le modèle M4 fait partie de ces modèles multiparticulaires; en chaque point de matière (Xi.Xi) de tû on suppose l’existence de n particules de matériaux (une particule par couche). Objet reel Modélisation de l’objet ci La microstructure des particules de matériau Dans certaines applications, on peut enrichir la cinématique de la particule en lui associant une microstructure (l’exemple !e plus connu est celui de la théorie des poutres, où chaque particule possède une microstructure associée à la section de la poutre). Pour ie modèle M4, on suppose que les particules de matériaux n’ont pas de microstructure. d) Les liaisons internes D’un point de vue pratique, après le choix de la microstructure, la cinématique de l’objet à l’instant t est définie par un espace vectoriel. Les liaisons internes conduisent à définir un sous espace vectoriel de cet espace. 9 Modélisation multiparticulaire des matériaux roulticouches Pour ie modèle M4, on choisit de ne pas avoir de liaisons internes. Nous disposons alors pour décrire les mouvements de l’objet à l’instant t, d’un espace vectoriel contenant l’ensemble des champs de vitesses généralisées possibles pour le modèle de l’objet. On adopte alors l’hypothèse des petites perturbations (H.P.P.). La configuration actuelle peut alors être confondue avec les configurations de référence de chaque couche. Dans ce cas, le mouvement peut être décrit par les n champs tridimensionnels de déplacement des particules définis sur ces configurations. 

Deuxième niveau de construction: Définition des efforts

C’est à ce niveau que la Méthode des Puissances Virtuelles intervient. Rappelons en le schéma générai: l ere étape : Choix de l’espace vectoriel des mouvements virtuels; 2 emtr étape : Choix des formes linéaires définissant les efforts; 3 eme étape : Application du Principe des Puissances Virtuelles (P.P.V.). L’idée philosophique de base de !a méthode est de dire que le concept d’effort est abstrait, et que l’on ne peut en avoir qu’une mesure indirecte par le biais d’une mesure de puissance. Pour définir des efforts, ia ‘puissance virtuelle’ constitue un « instrument » permettant de faire « travailler virtuellement » ces efforts et de mesurer la puissance mise en jeu. La puissance est alors une forme linéaire des champs de vitesses. Cet « instrument » pour la définition des efforts, est ainsi naturellement un espace vectoriel des champs de vitesses généralisées, appelées mouvements virtuels. La première étape de la Méthode des Puissances Virtuelles consiste donc à choisir cet Espace Vectoriel des Mouvements Virtuels. Ce dernier doit impérativement inclure celui des mouvements réels possibles a) Choix de l’espace vectoriel des mouvements virtuels Le choix naturellement associé aux objets ci-dessus est l’espace vectoriel des nchamps de vecteurs sur ü) (un champ par couche). L’espace vectoriel des mouvements virtuels peut donc s’écrire sous la forme : V’ = [v, ‘ = V » + W »ei ,i=\,n} (* faisant référence aux grandeurs virtuelles) 10 Modélisation multiparticulaire des matériaux muîticouches Cet espace vectoriel des mouvements virtuels contient un sous espace qui joue un rôle très important dans la définition des efforts intérieurs dans le modèle: le sous espace vectoriel des mouvements rigidifiants. D s’agit de l’ensemble des mouvements ne déformant pas l’objet. Les efforts intérieurs ne « travaillent » pas dans un mouvement virtuel rigidifiant (dans le cas du milieu continu 3D « classique », ce sont par exemple les combinaisons de champs de vitesses de translation et de rotation). Le choix ici de ce sous-espace vectoriel des mouvements virtuels rigidifiants est essentiel; c’est lui qui va redonner l’ordre d’empilement et l’épaisseur des couches, deux caractéristiques géométriques qui ont été « perdues » dans la description de l’objet. Notons h~, h* et h¡ respectivement la côte du bas, la côte du haut et la côte médiane de la i’me couche et e¡ = h* – h~ l’épaisseur de cette couche. Les mouvements virtuels rigidifiants V j dans ce modèle sont choisis tels que: 3(Z;Q* ) tq \/(Xt ,X7) et V/e[U ] V¿(Xl .X2)= V¡ + Q’ A (X,.g, + X2.e2 + h..e3) V0′ vecteur translation de R3 et Q* vecteur rotation de R3 . L’écriture des mouvements rigidifiants faisant intervenir un terme Q’A/Î,.^ , ressort du libre choix du modélisateur. L’introduction du terme h¡ a pour but de redonner l’épaisseur et Tordre d’empilement des couches. La pertinence de ce choix devra être jugée à la fin de la construction du modèle b) Choix des formes linéaires définissant les efforts Nous pouvons distinguer trois types d’efforts: – Efforts d’inertie; – Efforts extérieurs; – Efforts intérieurs. * Efforts d’inertie La forme définissant les efforts d’inertie (Puissance Virtuelle des quantités d’Accélération PVA) est linéaire en fonction des quantités d’accélération et s’écrit sous la forme d’une densité dans û). 11 Modélisation multiparticulaire des matériaux multicouches Nous définissons simplement la puissance de la quantité d’accélération par : n PVA(V’) = ¡Ydp , .f(X1,X2).Vi ‘(Xl ,X2)do) (1.1) 1=1 où y’ désigne l’accélération au niveau de la couche i. * Efforts extérieurs On définit classiquement la puissance virtuelle des efforts extérieurs comme la somme de l’intégrale d’une densité dans le domaine eu et de l’intégrale d’une densité sur son bord y, chaque densité étant une expression linéaire de la vitesse virtuelle locale. Ce choix nous conduit à: ( n \ f n \ ü>V¡ = ! J y\<=] J (1.2) où F » est le champ de forces extérieures surfaciques dans la couche i et T’ le champ de forces extérieures linéiques sur le bord de la couche i. Pour un problème de mécanique, les efforts extérieurs sont des données. * Efforts intérieurs L’intérêt principal de la méthode des puissances virtuelles est de pouvoir définir avec beaucoup de liberté ces efforts intérieurs. II faut toutefois assurer la cohérence du modèle. Cette cohérence impose que la forme linéaire des efforts intérieurs s’annule sur le sous-espace vectoriel des mouvements rigidifiants: PV!(V’lt) = 0 V£'( mouvement virtue! rigidifiant (1.3) En général, cette forme linéaire ( Puissance Virtuelle des efforts Intérieurs PVI) est définie à l’aide d’une densité dans Û) linéaire en fonction des vitesses généralisées et de leurs gradients successifs. En s’arrêtant au premier gradient des champs de vitesses généralisées, on dit que l’on construit une théorie au premier gradient.