Modélisation multiplicative des perturbations dans un modèle de réapprovisionnement sur deux périodes

Modélisation et Optimisation

En adoptant la séquence d’événements décrite dans l’introduction de la partie 2 de ce mémoire et en addition aux notations de la demande, tout au long de ce chapitre, nous utilisons les notations qui suivent : ISi  ( . PHi resp  ): variable aléatoire représentant les perturbations sur la quantité IS (resp. PH) durant la période i 1,2 ( . ) µ resp µ ISi PHi : la moyenne de ISi  ( . PHi resp  ) durant la période i 1,2 ( . ) ISi PHi   resp : l’écart type de ISi  ( . PHi resp  ) durant la période i 1,2 ( . ) ISi ISi f resp F : la fonction densité (resp. la fonction de répartition,) de ISi  durant la période i 1,2 ( . ) PHi PHi f resp F : la fonction densité (resp. la fonction de répartition,) de PHi  durant la période i 1,2 Yi : niveau de re-complètement pour la période i 1,2 * Yi : la valeur optimale Yi de la période i 1,2 YISi : quantité affichée dans le système d’information au début de la période i 1,2 YPHi : quantité disponible dans le système physique au début de la période i 1,2 i x : stock IS initial affiché dans la période i 1,2 avant la passation d’une commande auprès du fournisseur  2 : le profit moyen associé à la période 2  g : le profit moyen global associé aux périodes 1 et 2 Afin d’utiliser les résultats du chapitre précédent, nous définissons ici un coût de surstockage par période : i h : le coût unitaire de stockage associé à la période i 1,2 coût de sur-stockage dans la première période et coût payé quand un produit reste invendu à la fin de la deuxième période. 

Méthodologie de résolution 

Afin de résoudre analytiquement le problème en déterminant les niveaux de recomplètement optimaux * Yi ( i 1,2 ), nous utilisons la programmation dynamique avec une récursion arrière (backward recursion). Ceci consiste à calculer dans un premier temps le profit moyen de la période 2 pour un niveau donné du stock IS initial 2 x et de déduire dans un second temps le profit global pour les deux périodes de vente en appliquant l’espérance mathématique sur toutes les valeurs possible de 2 x . Le niveau 2 x est fonction du niveau de re-complètement de la première période Y1 et de la demande D1 générée également durant la première période.

Dynamique du système et fonction profit global 

 Analyse du problème mono-période

 Afin de résoudre le problème à deux périodes, il est nécessaire d’étudier dans un premier temps la fonction profit générique relative au problème mono-période. Pour ce faire, nous utilisons la fonction coût associée à une période de vente i ,( , ) xY , cf. équation (4.1), exprimée pour un stock initial i x donné, un niveau de re-complètement IS YIS , un niveau de re-complètement PH YPH , une demande Di et un coût de sur-stockage unitaire i h :

Optimisation et conditions d’existence des solutions d’optimalité 

Conditions d’optimalité pour * Y2

 L’optimisation de la période 2 correspond tout simplement au cas mono-période pour un niveau 2 x donné. En utilisant et en adaptant les résultats mono-période démontrés par Dans le chapitre précédent, le niveau de re-complètement optimal pour la période 2 * Y2 , s’il existe, doit annuler la dérivée première de la fonction profit moyen 

Application numérique 

Nous présentons dans cette section, une analyse numérique afin de répondre à des interrogations managériales sur l’impact des perturbations IS et PH sur la stratégie optimale de chaque période de vente. Nous considérons un e-détaillant ayant des produits à forte marge ( 1 2 u et u sont supérieurs à 1 2 h et h ) et des produits à faible marge ( 1 2 u et u sont inférieurs à 1 2 h et h ). Cette distinction est faite afin de permettre une analyse complète. Le tableau 4.3 présente les valeurs relatives aux coûts unitaires considérés dans notre étude numérique ainsi que les paramètres de la demande pour chaque période de vente.