Étude analytique et numérique du développement de la striction multiple pour des cylindres métalliques en expansion dynamique

Extension de l’approche classique d’Analyse Linéaire de Stabilité

Dans ce chapitre, nous étudions la stabilité de l’écoulement de base décrit dans la section (2.2) du chapitre 2. Il s’agit d’étudier le développement de perturbations de faible amplitude. L’approche utilisée suit le formalisme développé par Fressengeas et Molinari (1994) et repris par Shenoy et Freund (1999), Mercier et Molinari (2004), Mercier et al. (2010) ou Jouve (2010). À un instant donné t0, une perturbation dépendante du temps et de l’espace est superposée à l’écoulement de base de telle manière que toute variable G (scalaire, vectorielle ou tensorielle) de l’écoulement, solution du problème perturbé est la somme de deux termes : G = G (b) + δG (3.1) avec G(b) , le champ de G relié à l’écoulement de base et δG le champ de perturbation associé. Le système d’équations régissant l’évolution des champs de l’écoulement perturbé est obtenu par la linéarisation des équations de champs décrites dans la section 2.1 du chapitre 2 : à partir de l’équation de conservation du volume linéarisée, nous définissons la fonction 47 Chapitre 3. Extension de l’approche classique d’Analyse Linéaire de Stabilité de courant δψ dont dérive la perturbation δx des positions matérielles. Nous montrons alors que, quelle que soit la grandeur G considérée, la perturbation δG associée peut s’écrire uniquement en fonction de δψ et de la perturbation δθ de la température absolue θ. Les deux fonctions δθ et δψ sont solutions d’un système linéaire de deux équations différentielles couplées, valables en tout point de la plaque. Le système est d’ordre 2 en temps sur δψ et d’ordre 1 en temps sur δθ. Pour être résolu, ce système doit être complété par les conditions aux limites de bords libres en X03 = ±L03 linéarisées et par des conditions initiales, données par l’amplitude initiale des perturbations. 

Système d’équations régissant l’écoulement perturbé

Cinématique

En déformation plane, la perturbation en position dans le repère orthonormal R s’écrit : δx =    δx1(X1, X3, t) 0 δx3(X1, X3, t) (3.2) La perturbation δF du gradient de transformation F donné par la définition (2.1) s’écrit alors à partir de l’équation (3.2) : δF =   δx1,1 0 δx1,3 0 0 0 δx3,1 0 δx3,3   (3.3) Le matériau est supposé incompressible (det(F (b) + δF) = 1). D’après les équations 48 Chapitre 3. Extension de l’approche classique d’Analyse Linéaire de Stabilité (2.4), (2.20) et l’écriture de δF (3.3), on obtient l’équation de conservation du volume linéarisée à l’instant t : δx1,1 1 1 + ε11 + δx3,3(1 + ε11) = 0 (3.4) On rappelle que ε11(t) = ˙ε11t = V01 L01 t (voir l’équation 2.19). De l’équation (3.4), on déduit :  δx1 1 + ε11  ,1 + (δx3(1 + ε11)) ,3 = 0 (3.5) Comme dans Mercier et Molinari (2003) ou Mercier et al. (2010), une fonction de courant δψ est définie comme suit :    −δψ,3 = δx1 1 + ε11 δψ,1 = δx3(1 + ε11) (3.6a) (3.6b) Remarque : la définition (3.6) pour la fonction de courant diffère de celle adoptée par Shenoy et Freund (1999) ou Jouve (2010) pour qui le terme ε11 n’est pas présent. En effet, dans leur formalisme, l’objectif est d’étudier la stabilité de l’écoulement à un instant t donné ; la perturbation est superposée à la solution fondamentale à cet instant, pris pour origine des temps. Le tenseur gradient de transformation dans l’écoulement de base est alors égal à l’identité. Le développement des calculs est identique mais le système d’équations obtenu par le formalisme Full-Lagrangian (voir Mercier et Molinari, 2003, Mercier et al., 2010), adopté ici, comporte un terme d’inertie supplémentaire. La longueur d’onde dominante n’est pas modifiée mais les taux de croissance obtenus sont plus faibles. Cette définition de la fonction de courant est la plus adaptée au suivi temporel d’une 49 Chapitre 3. Extension de l’approche classique d’Analyse Linéaire de Stabilité perturbation. D’après l’équation (2.3), la perturbation δL du tenseur gradient de vitesse eulérienne L s’écrit : δL =  δF˙ − L (b) δF  F −1(b) (3.7) La perturbation δD du tenseur taux de déformation est quant à elle la partie symétrique de la perturbation δL du tenseur gradient de vitesses : δD = 1 2 (δL + δL T ) (3.8) Le matériau est supposé incompressible (et indilatable) : Tr(D) = 0. Il en est donc de même pour δD et Tr(δD) = 0. Par ailleurs, puisqu’aucune grandeur ne dépend de la coordonnée X2 et δx2 = 0, on a : δD12 = δD22 = δD21 = δD23 = δD32 = 0 (3.9) On obtient donc : δD =   δD11 0 δD13 0 0 0 δD13 0 δD33   (3.10) avec : δD11 = −δD33. À partir des équations (3.7) (en notant que L (b) = D(b) dont l’expression est donnée par l’équation 2.23) et (3.8), de l’écriture du gradient de transformation au sein de l’écoulement 50 Chapitre 3. Extension de l’approche classique d’Analyse Linéaire de Stabilité de base (2.20) et au sein de l’écoulement perturbé (3.3), nous déduisons :    δD13 = 1 2  δx˙ 1,3(1 + ε11) + δx˙ 3,1 1 1 + ε11 − ε˙11  δx1,3 − 1 (1 + ε11) 2 δx3,1  δD11 = δx˙ 1,1 1 1 + ε11 − ε˙11 (1 + ε11) 2 δx1,1 δD33 = δx˙ 3,3(1 + ε11) + ˙ε11δx3,3 (3.11a) (3.11b) (3.11c) Notons qu’en dérivant la relation de conservation du volume linéarisée (3.4) par rapport au temps, on vérifie bien l’égalité δD11 + δD33 = 0. Les expressions (3.11a)-(3.11c) font intervenir des dérivées temporelles de la perturbation δx. À partir des équations (3.6), on donne les relations entre les dérivées temporelles de δx1 et δx3 et la fonction de courant δψ :    δx˙ 1 = −ε˙11δψ,3 − δψ˙ ,3(1 + ε11) δx˙ 3 = − ε˙11 (1 + ε11) 2 δψ,1 + δψ˙ ,1 1 1 + ε11 δx¨1 = −2 ˙ε11δψ˙ ,3 − (1 + ε11)δψ¨ ,3 δx¨3 = 2 ˙ε 2 11 (1 + ε11) 3 δψ,1 − 2 ˙ε11 (1 + ε11) 2 δψ˙ ,1 + 1 1 + ε11 δψ¨ ,1 (3.12a) (3.12b) (3.12c) (3.12d) Il vient alors, à partir de la définition de la fonction de courant (3.6), l’expression du 51 Chapitre 3. Extension de l’approche classique d’Analyse Linéaire de Stabilité tenseur δD en fonction de δψ :    δD11 = −δψ˙ ,31 δD33 = δψ˙ ,13 δD13 = 1 2  δψ˙ ,11 1 (1 + ε11) 2 − δψ˙ ,33(1 + ε11) 2  (3.13a) (3.13b) (3.13c) Ici également, on retrouve bien δD11 + δD33 = 0. 3.1.2 Contraintes La linéarisation de l’équation (2.11) permet d’établir une relation, pour un matériau incompressible, entre la perturbation δT du tenseur des contraintes nominales et la perturbation δΣ du tenseur des contraintes de Cauchy : δT = F −1(b)  −δF F −1(b)Σ (b) + δΣ  (3.14) L’expression de F (b) est donnée par la relation (2.20), celle de δF par la relation (3.3) et celle de Σ(b) par les relations (2.24), (2.25) et (2.31). Les composantes de δT sont donc : δT13 = P I δx1,3 + δS13 1 1 + ε11 δT31 = −  2Y (b) √ 3 − P I  δx3,1 + δS31 (1 + ε11) (3.15) δT11 = −  2Y (b) √ 3 − P I  δx1,1 1 (1 + ε11) 2 + 1 1 + ε11 (δS11 − δP) δT33 = P I (1 + ε11) 2 δx3,3 + (δS33 − δP)(1 + ε11) avec δP = − 1 3Tr(δΣ) et P I la pression inertielle au sein de l’écoulement de base. 52 Chapitre 3. Extension de l’approche classique d’Analyse Linéaire de Stabilité La contrainte d’écoulement Y (b) au sein de l’écoulement de base dépend uniquement du temps. L’expression de la pression inertielle P I au sein de l’écoulement de base est donnée par la relation (2.25). Elle dépend du temps mais aussi de la coordonnée de l’épaisseur X3. Par conséquent, la linéarisation de la relation fondamentale de la dynamique (2.13) donne, après projection selon les directions ~e1 et ~e3, en vertu de la relation de conservation du volume linéarisée (3.5) :    ρδx¨1 = P (b) ,3 δx3,1 + δS11,1 1 1 + ε11 + δS13,3(1 + ε11) − δP,1 1 1 + ε11 ρδx¨3 = P (b) ,3 δx3,3(1 + ε11) 2 + δS31,1 1 1 + ε11 + δS33,3(1 + ε11) − δP,3(1 + ε11) (3.16a) (3.16b) Ces deux relations font intervenir la perturbation δP de la pression. Dérivons par rapport à X3 l’équation (3.16a) multipliée par (1 + ε11). Dérivons ensuite par rapport à X1 l’équation (3.16b) multipliée par − 1 1 + ε11 . Les deux équations ainsi obtenues sommées membre à membre permettent d’éliminer δP. Il vient : ρ  (1 + ε11)δx¨1,3 − 1 1 + ε11 δx¨3,1  = (1 + ε11)P (b) ,33 δx3,1 − δS33,13 + δS11,13 − 1 (1 + ε11) 2 δS13,11 + (1 + ε11) 2 δS13,33 (3.17) avec, d’après les égalités (2.25) et (2.27) : P (b) ,33 = −2ρε˙ 2 11 (1 + ε11) 4 (3.18) L’égalité (3.17) doit être exprimée en fonction de la fonction de courant δψ. Les expressions des dérivées temporelles δx¨1 et δx¨3 ont déjà été données (voir 3.12c et 3.12d). Il faut désormais donner une expression du tenseur δS en fonction de δψ. Pour cela, il convient de linéariser la règle de normalité (2.8). δD est exprimé en fonction de la perturbation 53 Chapitre 3. Extension de l’approche classique d’Analyse Linéaire de Stabilité δλ du multiplicateur plastique λ et de la perturbation δS du déviateur S du tenseur des contraintes de Cauchy Σ : δD = λ (b) δS + S (b) δλ (3.19) Premièrement, examinons la forme de δS. En vertu des relations (3.10), (3.19) et de l’expression (2.26) du tenseur S (b) , on a : δD12 = δD22 = δD23 = 0 ⇒ δS12 = δS22 = δS23 = 0 (3.20) En conclusion, voici la forme matricielle du tenseur δS : δS =   −δS33 0 δS13 0 0 0 δS13 0 δS33   (3.21) Une expression de δλ est nécessaire pour déterminer les composantes non nulles de δS. La linéarisation de l’expression du multiplicateur plastique λ donnée par l’expression (2.8) donne : δλ = 3 2Y (b) δε˙p − ε˙ (b) p δY Y (b) ! (3.22) Les composantes du tenseur δS sont donc exprimées en fonction de celles de δD, en 54 Chapitre 3. Extension de l’approche classique d’Analyse Linéaire de Stabilité utilisant l’expression du tenseur S (b) donnée par l’équation (2.32) :    δD13 = 3 ˙ε (b) p 2Y (b) δS13 δD11 = 3 ˙ε (b) p 2Y (b)  » δS11 + Y (b) √ 3 δε˙p ε˙ (b) p − δY Y (b) !# δD33 = 3 ˙ε (b) p 2Y (b)  » δS33 − Y (b) √ 3 δε˙p ε˙ (b) p − δY Y (b) !# (3.23a) (3.23b) (3.23c) Une expression de la perturbation δY de la contrainte d’écoulement est nécessaire. D’après l’égalité (2.10), on écrit 1 : δY = δεpY (b) ,εp + δε˙pY (b) ,ε˙p + δθY (b) ,θ (3.24) avec δεp la perturbation de la déformation plastique, δε˙p la perturbation de la vitesse de déformation plastique et δθ la perturbation de la température. De même, il faut établir une expression pour δε˙p et δεp. Linéarisons l’équation (2.6). Il vient, en l’absence d’élasticité : ε˙ (b) p δε˙p = 2 3 D(b) : δD (3.25) À partir de l’équation (3.25), de la forme matricielle de δD donnée par l’expression (3.10) et des relations (2.23) et (2.33), il vient en vertu de l’égalité (3.13b) : δε˙p = − 2 √ 3 δD33 = − 2 √ 3 δψ˙ ,13 (3.26) 1. Nous adoptons l’écriture : Y,α = ∂Y ∂α avec (α = εp, ε˙p ou θ) 55 Chapitre 3. Extension de l’approche classique d’Analyse Linéaire de Stabilité Par intégration de l’équation (3.26), on voit que : δεp − δε0 p = − 2 √ 3 .