Analyse en stabilité des systèmes linéaires bouclés à temps continu 

Les paragraphes suivants sont consacrés à un rappel des outils d’analyse des systèmes bouclés. Après un bref rappel sur l’analyse de la stabilité et de la performance du système bouclé nominal, nous nous intéressons à la notion de robustesse. Nous rappelons le théorème du petit gain appliqué à l’analyse de la robustesse face à des erreurs de modélisation non structurées. La stabilité est la propriété fondamentale que doit impérativement vérifier tout système à commander. La stabilité d’un système est, de manière qualitative, la capacité de ce dernier à revenir à une position d’équilibre lorsqu’il en est ponctuellement écarté [8]. Figure 1.11 : Schéma bloc du système asservi pour l’étude de la stabilité nominale La région de stabilité de la figure 1.11 est définie par : ࣞ ൌ ሼݏ א ԧ פ ,ߛ ൌ 0, ߱ א Թሽ (1.29) Figure 1.12 : Région de stabilité ࣞ pour assurer la marge de stabilité asymptotique ሻݏሺ ܴ݁ࣞ 0 ሻݏሺ݉ܫ ߲ࣞ ܩ ܭ െ ࢙ ࢉ ൅ 12 

Marge de phase

 La marge de phase est définie comme la distance ∆߮  du lieu de transfert en boucle ouverte au point critique où la pulsation de coupure en boucle ouverte ou pulsation de croisement du système bouclé est la pulsation ߱௖௢ pour laquelle |ܮሺ݆߱௖଴| ൌ 1 . Si ߮ሺ߱௖଴ሻ ൌ arg  ܮሺ݆߱௖଴), on a donc [4], [8] : ∆߮ ൌ ߨ߮ ൅ ሺ߱௖଴ሻ (1.30)

Marge de gain

 La marge de gain est définie comme la distance ∆ܩ du point critique au lieu de transfert en boucle ouverte lorsque arg  ܮሺ݆߱ିగሻ ൌ െ180° , on a donc [4], [8] : ൌ ܩ∆ 1 |ܮሺ݆߱ିగሻ| (1.31) 

 Marge de retard 

La marge de retard mesure la valeur minimale du retard pur introduit dans la boucle qui déstabilise le système asservi. La marge de retard est liée à la marge de phase exprimée en degré par la relation [8] : ∆߬ ൌ ∆߮ ߱௖଴ (1.32) C’est le calcul du retard additionnel qui ne conduira pas à l’instabilité. La marge de retard permet alors de mettre en évidence qu’une marge de phase même confortable peut être critique si la pulsation ߱௖଴ correspondante est élevée. Une grande marge de phase qui intervient en très hautes fréquences n’engendre pas une forte robustesse. Si le transfert en boucle ouverte intercepte le cercle unité à plusieurs pulsations de croisements, caractérisées par les marges de phase correspondantes, nous définissons la marge de retard généralisé. Cette marge qui constitue un minorant de la marge de retard du système est définie par : ∆߬ ൌ ݉݅݊௜ ∆߮௜ ߱௖଴ ௜ (1.33) 

Marge de module

La marge du module est définie comme la plus petite distance du point critique au lieu de transfert en boucle ouverte [8] : 13 ܯ ൌ ఠאோԡሾ1 ൅ ܮሺ݆߱ሻሿԡஶ ௠௜௡ (1.34) Les valeurs typiques de ces grandeurs utilisées pour une conception robuste sont [4] : Ì 45° ൑ ∆߮ ൑ 60° Ì ∆ܩ ൒ 2 Ì ∆߬ ൒ 0,5ܶ௥ Ì ∆ܯ ൒ 0,5 

Autres indicateurs fréquentiels

Nous rappelons aussi d’autres indicateurs fréquentiels qui sont très importants à définir [8] : − La pulsation de résonnance est la pulsation ߱௥ telle que ߱௥ ൌ ܽݎ݃ሾ݉ܽݔఠሺܮሺ݆߱ሻሿ. − L’amplitude de résonance est définie par ܯ ௥ൌ ݉ܽݔఠሾԡܨሺ݆߱௥ሻԡஶሿ. − La bande passante en boucle ouverte est définie par la pulsation ߱௖௢ pour laquelle |ܮሺ݆߱௖଴| ൌ 1 . − La bande passante minimale en boucle fermée d’un système asservi est l’ensemble des fréquences ωୡ pour lesquelles ߪሾܮሺ߱௖ሻሿ ൐ 1. La bande passante mesure la zone de fonctionnement du système asservi

 Stabilité interne 

Figure 1.13 : Diagramme d’analyse de la stabilité interne des systèmes linéaires Définition 1.04 : Un système linéaire est dit stable intérieurement si toute matrice de transfert reliant deux points quelconques du système bouclé de la figure 1.11 n’a que des pôles à partie réelle strictement négative [9]. Le système de la figure 1.13 est décrit par les équations : ܭെ ൅ ܩ ൅ ଵࢉ ଶࢉ ൅ ൅ ଵࢿ ଶࢿ 14 ܿଵ ൌ ߝଵ ൅ ߝܭଶ (1.35) ܿଶ ൌ െߝܩଵ ൅ ߝଶ (1.36) Définition 1.05 : Le système de la figure 1.13 est dit stable intérieurement si la matrice de transfert ܭ ܫ ቂ ଵିቃ  ܫ ܫ de ሺࢉଵ, ࢉଶሻ à ሺࢿଵ, ࢿଶሻ appartient à ܴܪஶ [9]. Ainsi, le système asservi de la figure 1.11 est dit stable nominalement si le correcteur ܭ stabilise de manière interne le processus ayant pour modèle nominal 

 Théorème du petit gain 

Considérons à nouveau le système asservi de la figure 1.11 et sa matrice de transfert en boucle ouverte ܮ ൌ ܭܩ en supposant que tous les matrices ܩሺݏሻ et ܭሺݏሻ ne possèdent que des pôles à partie réelle négative [10]. Théorème 1.02 : Le système bouclé ayant pour matrice de transfert en boucle ouverte ܭܩ est intérieurement stable si : ԡܭܩԡஶ ൏ 1 ֞ ׊ ߱א Թ, ߪതሾܭܩሺ݆߱ሻሿ ൏ 1 (1.37) Démonstration : ¾ Supposons ԡܭܩԡஶ ൏ 1 et que le système bouclé soit instable. D’après le critère de Nyquist, ݀݁ݐሾܫ ൅ ܭܩሺ݆߱ሻሿ ൌ 0 et encercle l’origine. Par continuité, il existe donc ߫ א ሾ0,1ሿ et ߱Ԣ tels que ݀݁ݐሾܫ߫ ൅ ܭܩሺ݆߱Ԣሻሿ ൌ 0. Nous avons alors d’après la propriété des valeurs singulières : ߪതሾ߫ܭܩሺ݆߱ሻሿ ൒ ߪሺܫሻ ൌ 1 ֞ ߪതሾܭܩሺ݆߱Ԣሻሿ 1 ߫ ൒ 1 (1.38) 

Analyse en performance des systèmes linéaires bouclés à temps continus

Un système linéaire bouclé à temps continu est calculé afin de modifier les caractéristiques du régime transitoire et celles du régime permanent du système nominal. Les performances d’un système bouclé doivent être définies et spécifiées précisément afin de faire une analyse et une 15 synthèse adéquate du système de commande. Les spécifications de performances pour un système bouclé peuvent être constituées de critères temporels relatifs au régime transitoire, de critères fréquentiels en relations plus ou moins étroites avec ses dernières et des critères de précision sur le régime permanent [11]. Ces spécifications de nature différente ne vont pas s’en opposer parfois les unes aux autres conduisant le concepteur du système de commande à adopter un compromis entre ces différentes exigences contradictoires. Les spécifications de performances doivent être vues comme un moyen une liste de performances souhaitées et concepteur devra nécessairement tenir compte, dans son étape de synthèse, des propriétés du système bouclé à corriger. L’objet de ce paragraphe est donc de fournir des méthodes permettant de manière systématique la génération de spécifications de performance. 1.9.2 Spécifications fréquentielles de performance nominales Considérons le système bouclé de la figure 1.11 où ܩ et ܭ désignent respectivement le processus à contrôler et le correcteur. Nous définissons d’après ce schéma bloc les différentes matrices de transfert entre les entrées et les sorties considérées ainsi que leurs différentes significations [11], [12]. Figure 1.14 : Schéma bloc du système asservi pour l’étude de la performance nominale Comme le système est linéaire, nous obtenons à partir de ce schéma bloc : – la matrice de transfert entre la référence ࢉ et le signal d’erreur du système global ࢟ est appelée matrice de sensibilité en sortie et est définie par : ܵ ൌ ሾܫ ൅ ܭܩሿିଵ (1.39) ܩ ܭ ܶ ܵ െܶԢ െܵԢ ࢜ ࢉ ࢙ ࢋ ࢛ ࢟ ࢈ ݀௘ ݀௦ ௕ݒ ൅ ൅ ൅ ൅ ൅ ൅ ൅ െ 16 – la matrice de transfert entre la référence ࢉ et la sortie de retour bruitée ࢜ ௕du système est appelée matrice de sensibilité complémentaire en sortie et est définie par : ܶ ൌ ሾሺܫ ൅ ܭܩሻିଵܭܩሿ (1.40) – la matrice de transfert entre la perturbation en entrée ࢋࢊ et l’entrée ࢋ du processus ܩ est appelée matrice de sensibilité en entrée et est définie par : ܵԢ ൌ ሾܫ ൅ ܩܭሿିଵ (1.41) – la matrice de transfert entre la perturbation en entrée ࢋࢊ et la sortie ࢛ du correcteur ܭ est appelée matrice de sensibilité complémentaire en entrée et est définie par : ܶԢ ൌ ሾሺܫ ൅ ܩܭሻିଵܩܭሿ (1.42) Propriétés 1.01 : – Les deux matrices de sensibilité en sortie vérifient l’identité matricielle : ܵ൅ܶൌܫ) 1.43) – Les deux matrices de sensibilité en entrée vérifient l’identité matricielle : ܵԢ ൅ ܶԢ ൌ ܫ) 1.44) Remarque : Les matrices de sensibilité caractérisent le comportement du système asservi. Nous souhaitons prendre en considération les points suivants, pour le système bouclé : Ì un bon suivi de la référence est obtenue lorsque ܵ est faible ; Ì une bonne réjection des bruits de mesure est obtenue lorsque ܶ est faible ; Ì la commande reçue par le processus est faible lorsque ܵԢ est faible ; Ì l’effort de commande est faible lorsque  ܶᇱ est faible. 1.9.3 Condition de performance nominale La performance nominale des systèmes linéaires à temps continu consiste à assurer, pour le système en boucle fermée correspondant au modèle utilisé pour le calcul de la commande, des propriétés convenables, notamment de précision et de rapidité. 17 La performance nominale est caractérisée par les différentes matrices de sensibilité de la boucle de régulation. Cette performance nominale du système asservi de la figure 1.11 est jugée satisfaisante si les objectifs de performance sont satisfaits pour le modèle nominal. La performance du système nominal est évaluée en fonction de l’erreur  ࢟ ൌ ࢉ െ ࢈࢜ . Or la matrice de sensibilité ܵ est le rapport du signal d’erreur global ࢟ sur la consigne . Rechercher la performance nominale revient à fixer un majorant noté ߝ௬ de la norme ܪஶ de la matrice de sensibilité ܵ en fonction de la fréquence ߱ [11]. Définition 1.06: La spécification de la performance nominale du système bouclé peut être exprimée par : ԡܵሺ݆߱ሻԡஶ ൏ ߝ௬ (1.45) Dans ce cas l’erreur de régulation est inférieure à ߝ௬. L’inverse du majorant ߝ௬ définit la matrice de pondération du système linéaire. Cette matrice appartient à ܴܪஶ et est notée : ܹଵሺݏሻ ൌ ݓଵሺݏሻ.ܫ ൌ 1 ௬ߝ ܫ) 1.46) où la fonction de pondération ݓଵ est un filtre du premier ordre ou du second ordre à ݀ degrés de liberté. Cette matrice de pondération traduit la performance nominale du système linéaire. La façon dont cette matrice intervient dans la description du système asservi est représentée schématiquement sur la figure 1.13. Cette matrice de transfert de performance nominale est calculée entre la consigne ࢉ et la sortie pondérée ࢠଵ. Elle est notée ܯ.