MODELISATIONS DE PLAQUES SANDWICHS

Synthèse bibliographique

L’introduction des composites sandwichs dans la plupart des secteurs d’activités a conduit les chercheurs à développer des théories de plaques sandwichs, dédiées à l’analyse et à la prévision de leur comportement et de leur tenue en service. Quelques analyses de plaques sandwichs sont basées sur des formulations d’élasticité tridimensionnelle (Pagano 1969), (Pagano 1970), (Srinivas et Rao 1970), (Srinivas 1973), mais la majorité des analyses développées sont des études 2D issues des théories de plaques multicouches (elles-mêmes élaborées, pour la plupart, à partir de théories de plaques homogènes). Notez cependant, que les toutes premières analyses de plaques sandwichs, publiées entre le milieu des années 1940 et la fin des années 60, ont été développées directement à partir d’études de plaques homogènes. Citons Reissner qui a développé des études de plaques sandwichs (1948), (1950), en utilisant le principe du minimum de l’énergie complémentaire. D a résolu le problème d’une plaque sandwich à peaux et âme isotropes en supposant que l’âme ne reprend que les contraintes en cisaillement transverse et les peaux uniquement les efforts de membrane. Des chercheurs vont tenter d’améliorer et de généraliser sa théorie sandwich (Goodier et Neou 1951), (Heath 1960), (Raville 1955), (Allen 1969). Cheng en 1962 modifie le problème de Reissner pour résoudre des plaques sandwichs à âme orthotrope et à peaux isotropes. Cette étude sera complétée par celle de Liaw et Little (1967), et celle de Azar (1968). Evoquons également Libove et Batdorf (1948) qui traitent le problème de plaques sandwichs anisotropes à peaux minces, à partir de la théorie classique de Love-Kirchhoff qu’ils modifient en introduisant des rigidités de cisaillement, de flexion et de torsion. Ces travaux seront plus tard étendus par ceux de Seide et Stowell (1949) et de Robinson (1955). Enfin, indiquons que Ericksen et March (1950) proposent de résoudre le cas général d’un panneau sandwich non symétrique à peaux épaisses en développant une méthode de Rayieigh  Ritz qui consiste à écrire les solutions sous forme de séries. Ces analyses sont ainsi généralement complexes et aboutissent à des solutions au prix de l’utilisation de nombreuses hypothèses. Signalons néanmoins, que l’on utilise encore certaines de ces théories pour résoudre des problèmes de poutres sandwichs (Mukhopadhyay et Sierakowski 1990), (Van Voorhees et Green 1992), (Mukhopadhyay, Sierakowski et Yu 1994). A partir de 1970, une nouvelle méthode d’investigation va être mise en oeuvre pour l’étude des sandwichs, avec le développement des théories de plaques stratifiées dont les premières formulations datent de la fin des années 1950. Les chercheurs vont associer étroitement l’étude des stratifiés à celles des plaques sandwichs, qui ne sont après tout que des stratifiés un peu particuliers. Jusqu’à présent, la majorité des analyses de plaques stratifiées propose de décrire le multicouche comme un milieu homogène équivalent. Les méthodes employées pour la construction de ces théories s’appuient essentiellement sur l’introduction d’hypothèses initiales de type cinématique. Les premiers développements des stratifiées pour les plaques minces (peu sensibles au cisaillement transverse) sont dus à Ambarsumyan (1958), Lekhnitskii (1968), Reissner et Stavsky (1961), et pour les plaques plus épaisses et sandwichs, par Yang, Norris et Stavsky (1966). Les théories des stratifiés, dites classiques, sont construites à partir d’un schéma de déformation du premier degré, soit de Love-Kirchhoff (Love 1934), (Kirchhoff 1876) pour les plaques minces (Librescu 1975), (Tsai 1988), soit à partir de celles de Reissner-Mindlin (Reissner 1945), (Mindlin 1951) pour des plaques plus épaisses et les plaques sandwichs (Whitney 1972), (Berthelot 1992).

Position du problème

Dans ce qui suit, nous considérons une plaque sandwich constituée de 2 peaux et d’une âme (figure 1.1). A cet objet 3D, on associe un repère orthonormé [e_¡,e2,e3) tel que e3 = e¡ Ae, et tel que le plan défini par (e.\,e2) coïncide avec le plan moyen du sandwich. peau supérieure e? peau inférieure e2 -*»e¡ Figure 1.1: Description de l’objet sandwich 3D La plaque sandwich 3D peut être décrite comme un cylindre ouvert Q. de l’espace R » de base û) c R et de hauteur h. o = £üx]/r,¿+ [ où h = —- < 0 2 Nous noterons hj, h. , et A. la côte supérieure, la côte inférieure, et la côte médiane de la couche j , e’ l’épaisseur de la couche j , tel que e 1 ~hj -h~. L’épaisseur de l’âme sera désignée par la grandeur d. Nous supposerons pour la modélisation classique, que le sandwich est constitué de n couches (p plis pour la peau inférieure numérotés de 1 àp, (n-p-l) plis pour la peau supérieure, numérotés de p+2 à n, l’âme est la couche numérotée p+1), et pour les modélisations multiparticulaires, de 3 couches en considérant les peaux comme, des couches homogènes (cf. figure 1.2a et 1.2b).Nous construirons des modèles de plaques sandwichs en utilisant la méthode des puissances virtuelles. Nous choisirons l’espace vectoriel des vitesses virtuelles qui nous permettront de faire travailler les efforts que l’on désire étudier. Nous écrirons l’expression de la puissance virtuelle des efforts intérieurs à partir de laquelle nous ferons apparaître naturellement les efforts intérieurs généralisés des modèles. De même, nous écrirons l’expression de la puissance virtuelle des efforts extérieurs pour exhiber les efforts extérieurs généralisés avant d’appliquer le principe des puissances virtuelles. Nous obtiendrons ainsi les équations d’équilibre reliant les efforts de plaque et les conditions aux limites des différentes modélisations sandwichs. Le comportement sera déterminé en identifiant l’énergie élastique du milieu 3D à celui du milieu 2D. Nous adopterons l’hypothèse de petites perturbations. La configuration actuelle sera donc confondue avec la configuration de référence. Le mouvement de chacune des particules pourra être décrit par les champs de vitesse virtuelle sur la configuration d’origine. La pertinence des modélisations sandwichs de Sab et multiparticulaires, développées dans ce chapitre, sera évaluée au chapitre suivant par rapport à la modélisation classique de sandwich de Reissner-Mindlin.