Optimisation du schéma à neuf points paramétré par un scalaire

 Résultats numériques

Suite à ces différents calculs de minimisation, plusieurs valeurs optimales de paramètre θ ont été explicitées. Les solutions changeant peu d’une valeur à l’autre de θ, les résultats présentés ici n’utilisent que le paramètre sous-optimal pour l’équation en saturation θ [ . 80 3.4. Résultats numériques 

Cas radial

 Le cas test radial avec un unique puits central, expliqué §2.4.1, est repris ici. En résolvant le problème (2.69) avec le schéma 9P1s, les résultats obtenus sont présentés sur la figure 3.5. Ils sont très bons en maillage carré, à gauche sur la figure. L’erreur en pression est minimale et cela se reflète sur la solution en saturation. Comparés aux résultats obtenus avec le schéma 5P (figure 2.15), l’amélioration est tout de suite visible car les pics dans les directions principales ont disparu et la solution est bien radiale. Cependant, lorsque le maillage reste cartésien mais avec des mailles rectangulaires (à droite sur la figure 3.5), la solution devient de plus en plus ovale. L’effet de maillage existe à nouveau, sous un aspect différent que celui constaté avec le schéma 5P, car l’erreur n’est pas commise sur la direction verticale mais uniquement sur la direction horizontale. Cet étirement de la solution est provoqué par le fait que les mailles sont plus allongées que hautes en maillage rectangulaire. Cette déformation se distingue d’autant plus en regardant les profils de pression et de saturation (figures 3.6 et 3.7). En maillage carré, aucune différence n’est discernable entre les profils médians et diagonaux que ce soit pour la pression ou pour la saturation. Or, dès que les mailles s’allongent dans la direction horizontale (figure 3.7), l’effet d’orientation de maillage réapparaît, notamment sur l’axe médian horizontal (en bleu) dont le front est plus avancé que celui de l’axe médian vertical (en jaune). Cette différence de répartition peut être due au fait qu’un seul paramètre est utilisé pour tout le maillage et dans toutes les directions. En effet, le paramètre du schéma est fixe et ne s’adapte pas au maillage, que ce soit en terme de mailles rectangulaires ou si le maillage est irrégulier.

Cas à 5 puits 

Le cas étudié ici est celui où il y a cinq puits (voir section 2.4.2) et montrant l’influence de l’orientation du maillage. Sur la figure 3.8, l’utilisation du schéma 9P1s a sensiblement réduit l’effet de l’orientation de maillage puisque les solutions obtenues sont presque identiques sur les deux maillages. Là encore, comparé au schéma 5P figure 2.21, l’amélioration est grande : les écoulements sont symétriques par rapport aux puits et non par rapport au maillage puisqu’aucune direction privilégiée n’est visualisée. Les courbes de percées d’eau au cours du temps sont représentées sur la figure 3.9. Même si les débits diffèrent légèrement, les puits du maillage diagonal produisent au même instant que les puits du maillage parallèle. Aucun puits, et par là même aucun axe, n’est privilégié par le schéma 9P1s. Ce résultat est intéressant pour les ingénieurs puisqu’il permet de prédire efficacement la durée de production d’huile et de connaître l’instant de percée d’eau. Cela vient renforcer les conclusions déjà encourageantes vues précédemment lors du cas radial. Lorsque le maillage est composé de mailles carrées, le schéma 9P1s avec le paramètre θ [ est nettement plus efficace que le schéma 5P. Même en changeant de valeur de paramètre, les résultats sur ce cas test sont très bons et donnent des solutions semblables sans effet de maillage.

Cas digitations 

Ce cas test des digitations, détaillé au §2.4.3, permet de mettre en évidence le caractère instable de la solution avec la formation de digitations au cours du temps. Les résultats de cette simulation obtenus avec le schéma 9P1s sont représentés sur la figure 3.10. Contrairement au schéma précédent, les digitations ici n’apparaissent plus au cours du temps ; le front est stable et ne se déforme pas au cours de la simulation. Les instabilités sont « contrôlées » par ce schéma et non développées comme elles l’étaient avec le schéma 5P (figure 2.23). Le schéma 9P1s limite ainsi la propagation des digitations au cours du temps, phénomène pourtant instable pour un rapport de mobilités défavorable.